高中数学人教A选修21课件1123四种命题四种命题间的相互关系

1、1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系,1.四种命题 (1)逆命题 对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别为另一个命题的结论和条件,那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题,其中一个叫做原命题,另一个叫做原命题的逆命题.如果原命题为“若p,则q”,则其逆命题为“若q,则p ”. (2)否命题 对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别为另一个命题的条件的否定和结论的否定,那么我们把这样的两个命题叫做互否命题,其中一个叫做原命题,另一个叫做原命题的否命题.如果原命题为“若p,则q”,则其否命题为“若p,则q ”.,(3)逆否命题 对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别为另一个命题的

2、结论的否定和条件的否定,那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题,其中一个叫做原命题,另一个叫做原命题的逆否命题.如果原命题为“若p,则q”,则其逆否命题为“若q,则p ”.,做一做1已知命题p:若x=y,则cos x=cos y,则命题p的逆命题为;命题p的否命题为;命题p的逆否命题为. 答案：若cos x=cos y,则x=y若xy,则cos xcos y若cos xcos y,则xy,2.四种命题间的关系,做一做2给出以下命题: 若一个四边形的四条边不相等,则它不是正方形;若一个四边形对角互补,则它内接于圆;正方形的四条边相等;圆内接四边形对角互补;对角不互补的四边形不内接于圆;若一个四

3、边形的边相等,则它是正方形. 其中互为逆命题的有;互为否命题的有;互为逆否命题的有. 解析：命题可改写为“若一个四边形是正方形,则它的四条边相等”;命题可改写为“若一个四边形是圆内接四边形,则它的对角互补”;命题可改写为“若一个四边形的对角不互补,则它不内接于圆”.因此互为逆命题的有和,和;互为否命题的有和,和;互为逆否命题的有和,和. 答案：和,和和,和和,和,3.四种命题的真假性关系 (1)四种命题的真假性,有以下四种情况:,(2)四种命题的真假性之间的关系: 两个命题互为逆否命题,它们的真假性相同; 两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系.,做一做3命题“若a-3,则a-6

4、”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为() A.1B.2 C.3D.4 解析：由a-3可得a-6,但由a-6得不出a-3,故原命题及原命题的逆否命题为真命题. 答案：B,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)在四种命题中,只有原命题与否命题具有互否关系. () (2)互逆命题的真假性一定相反. () (3)在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中,假命题的个数一定是偶数. () (4)命题“若ab,则a3b3”的否命题是“若ab,则a3b3”. (),探究一,探究二,思想方法,探究一命题的四种形式 【例1】 写出下列各个命题的逆命题、否命

5、题以及逆否命题.,(2)等底等高的两个三角形是全等三角形; (3)当1x2时,x2-3x+20; (4)若ab=0,则a=0或b=0. 分析：注意分清命题的条件和结论,然后按照四种命题的定义写出相应的命题,其中(2)要注意对“都是”的否定,(5)要注意对“或”的否定.,探究一,探究二,思想方法,(2)逆命题:若两个三角形全等,则这两个三角形等底等高. 否命题:若两个三角形不等底或不等高,则这两个三角形不全等. 逆否命题:若两个三角形不全等,则这两个三角形不等底或不等高. (3)逆命题:若x2-3x+20,则1x2. 否命题:若x1或x2,则x2-3x+20. 逆否命题:若x2-3x+20,则x

6、1或x2. (4)逆命题:若a=0或b=0,则ab=0. 否命题:若ab0,则a0,且b0. 逆否命题:若a0,且b0,则ab0.,探究一,探究二,思想方法,探究一,探究二,思想方法,探究一,探究二,思想方法,变式训练1(1)命题:“若a2+b2=0(a,bR),则a=b=0”的逆否命题是() A.若ab0(a,bR),则a2+b20 B.若a=b0(a,bR),则a2+b20 C.若a0,且b0(a,bR),则a2+b20 D.若a0或b0(a,bR),则a2+b20 (2)命题“若x=3,y=5,则x+y=8”的逆命题是;否命题是;逆否命题是. 解析：(1)原命题的结论“a=b=0”实质是

7、“a=0且b=0”,所以它的否定是“a0或b0”,因此原命题的逆否命题是:若a0或b0(a,bR),则a2+b20,选D. 答案：(1)D(2)若x+y=8,则x=3,y=5若x3或y5,则x+y8若x+y8,则x3或y5,探究一,探究二,思想方法,探究二四种命题的真假判断 【例2】 判断下列各个命题的真假. (1)“若x+y=0,则x,y互为相反数”的否命题; (2)“对顶角相等”的逆命题; (3)“直角三角形的两锐角互为余角”的逆否命题; (4)若a0或b0,则a+b0. 分析：可以直接根据要求写出每个命题,然后判断真假,也可以不写出命题,而利用四种命题之间的等价性关系进行判断. 解：(1

8、)方法一:“若x+y=0,则x,y互为相反数”的否命题为“若x+y0,则x,y不互为相反数”,是真命题. 方法二:“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题是“若x,y互为相反数,则x+y=0”,显然是真命题,而逆命题和否命题等价,因此“若x+y=0,则x,y互为相反数”的否命题是真命题.,探究一,探究二,思想方法,(2)方法一:“对顶角相等”的逆命题是“若两个角相等,则它们是对顶角”,是假命题. 方法二:“对顶角相等”的否命题是“若两个角不相等,则它们不是对顶角”,显然是假命题,而逆命题和否命题等价,故“对顶角相等”的逆命题是假命题. (3)方法一:“直角三角形的两锐角互为余角”的逆否命题

9、是“若一个三角形的两个锐角不互为余角,则这个三角形不是直角三角形”,是真命题. 方法二:由于命题“直角三角形的两锐角互为余角”是真命题,而原命题与逆否命题等价,因此“直角三角形的两锐角互为余角”的逆否命题是真命题.,探究一,探究二,思想方法,(4)方法一:取a=4,b=-6,满足a0或b0,但这时a+b0不成立,故原命题是假命题. 方法二:命题“若a0或b0,则a+b0”的逆否命题是“若a+b0,则a0且b0”,显然是假命题,而原命题与逆否命题等价,所以原命题是假命题.,探究一,探究二,思想方法,探究一,探究二,思想方法,变式训练2(1)命题“当AB=AC时,ABC为等腰三角形”与它的逆命题、

10、否命题、逆否命题中真命题的个数是 () A.4B.3 C.2D.0 (2)有下列四个命题:“若x+y=0,则x,y互为相反数”的否命题;“若xy,则x20”的否命题;“等边三角形有两边相等”的逆命题.其中真命题的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3,探究一,探究二,思想方法,解析：(1)当AB=AC时,ABC为等腰三角形为真命题,故逆否命题为真命题.逆命题是ABC为等腰三角形,则AB=AC为假命题,故否命题为假命题. (2)是真命题.其逆命题为“若x,y互为相反数,则x+y=0”,是真命题,因为原命题的否命题与其逆命题有相同的真假性,所以其否命题是真命题.是假命题.原命题(如取x=1,y

11、=0)是假命题,所以其逆否命题是假命题.是假命题.该命题的否命题为“若x3,则x2-x-60”,显然是假命题.是假命题.该命题的逆命题是“有两边相等的三角形是等边三角形”,显然是假命题. 答案：(1)C(2)B,探究一,探究二,思想方法,等价性命题的应用 典例导学号03290002求证:当a2+b2=c2时,a,b,c不可能都是奇数. 分析：可将要证明的问题看作一个命题,只需证明这个命题是真命题即可,若证明这个命题本身比较困难,则可以利用命题的等价性证明其逆否命题为真命题. 证明：构造命题p:若a2+b2=c2,则a,b,c不可能都是奇数. 该命题的逆否命题是:若a,b,c都是奇数,则a2+b

12、2c2.下面证明该逆否命题是真命题. 由于a,b,c都是奇数,则a2,b2,c2都是奇数,于是a2+b2必为偶数,而c2为奇数,所以有a2+b2c2,故逆否命题为真命题,从而原命题也是真命题.,探究一,探究二,思想方法,探究一,探究二,思想方法,变式训练求证:若a+b6,则a,b中至少有一个不小于3. 证明：构造命题p:若a+b6,则a,b中至少有一个不小于3, 则其逆否命题为:若a,b都小于3,则a+b6. 而当a3且b3时,必有a+b6,所以逆否命题为真,从而原命题p为真,故原结论成立.,1 2 3 4 5,1.命题“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题是 () A.若f(x

13、)是偶函数,则f(-x)是偶函数 B.若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数 C.若f(-x)是奇函数,则f(x)是奇函数 D.若f(-x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数 答案：B,1 2 3 4 5,2.在命题“若a=5,则a2=25”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,假命题是() A.原命题、否命题 B.原命题、逆命题 C.原命题、逆否命题 D.逆命题、否命题 解析：因为原命题为真,逆命题为假,所以逆否命题为真,否命题为假. 答案：D,1 2 3 4 5,3.下列命题中,正确的个数是() “若x,y都是奇数,则x+y是偶数”的否命题;“全等三角形是相似三角形”的逆命题;“圆内接四边形对角互补”的逆否命题. A.3B.2C.1D.0 答案：C,1 2 3 4 5,4.命题“若=,则sin =sin ”的等价命题是. 解析：原命题与逆否命题是等价命题,所以命题“若=,则sin =sin ”的等价命题是“若sin sin ,则”. 答案：若sin sin ,则,1 2 3 4 5,5.分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假. (1)若x2-5x-14=0,则x=7或x=-2; (2)已知a,b,c,d是实数,若a=b,c=d,则a+c=b+d. 解：(1)逆命题:若x=7或x=-2,则x2-5x-14=0,真命题. 否命题:若x2-