高中数学人教A选修11课件32习题课导数运算及几何意义的综合问题

1、习题课导数运算及几何意义的综合问题,1,2,1.导数的几何意义 (1)曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线的斜率等于函数f(x)在x0处的导数f(x0). (2)曲线的切线与该曲线不一定只有一个公共点. (3)“曲线在点P处的切线”与“曲线过点P的切线”含义是不同的,“曲线在点P处的切线”时,点P就是切点,而“曲线过点P的切线”时,点P不一定是切点.,1,2,1,2,做一做1若函数 处的导数值与函数值互为相反数,则x0的值() A.等于0B.等于1 D.不存在,1,2,做一做2已知直线y=kx+b与曲线f(x)=ax2+2+ln x相切于点P(1,4),则b=() A.3B.1 C.

2、-1D.-3 解析由点P(1,4)在曲线f(x)=ax2+2+ln x上可得a=2, 所以曲线在x=1处的切线的斜率k=f(1)=5, 因此切线方程为y=5x+b.由点P(1,4)在切线上,可得b=-1. 答案C,1,2,1,2,做一做4若函数f(x)=2f(1)ln x+3x,则f(2)= () A.1B.-1 C.3D.0,1,2,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一导数几何意义的综合问题 【例1】 已知函数f(x)=x3+x-16. (1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程; (2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点的坐标. 分析利用导数的

3、几何意义求解,但要注意(2)中切线经过原点,而原点不在曲线上,故应另设切点. 解(1)因为f(x)=(x3+x-16)=3x2+1, 所以在点(2,-6)处的切线的斜率k=f(2)=322+1=13, 故切线的方程为y+6=13(x-2),即y=13x-32.,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究二导数运算的综合问题 【例2】用导数的方法求和:1+2x+3x2+4x3+2 016x2 015(x0,且x1). 分析结合幂函数的求导法则以及等比数列的前n项和公

4、式求解. 解设f(x)=1+2x+3x2+4x3+2 016x2 015, g(x)=x+x2+x3+x4+x2 016, 则有f(x)=g(x).,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一,探究二,探究三,思想方法,变式训练2已知函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-2 016),求f(1)+f(2 016)的值. 解由于f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-2 016), 令g(x)=(x-2)(x-3)(x-2 016), 则f(x)=(x-1)g(x), 所以f(x)=g(x)+(x-1)g(x), 于是f(1)=g(1)+0g(1)=g(1)=-1232 015.

5、 同理,设h(x)=(x-1)(x-2)(x-2 015), 即f(x)=(x-2 016)h(x), 则f(x)=h(x)+(x-2 016)h(x), 所以f(2 016)=h(2 016)=2 0152 0142 0131, 故f(1)+f(2 016)=0.,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一,探究二,探究三,思想方法,等价转化思想在导数几何意义中的应用 典例已知点P是曲线y=f(x)=x2-ln x上任意一点,求点P到直线y=x-2的距离的最小值. 【审题视角】 所求点P应为与直线y=x-2平行的曲线y=x2-

6、ln x的切线的切点,此时最小距离应为该切线与已知直线之间的距离,亦即切点到已知直线的距离,从而转化为求曲线y=x2-ln x的斜率等于1的切线的切点坐标问题,故可借助导数的几何意义进行求解.,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一,探究二,探究三,思想方法,【方法点睛】 这类“求某曲线上一点到某已知直线的最小距离”问题,都可结合图形,利用等价转化思想,将问题转化为求曲线的平行于已知直线的切线的切点问题,从而借助导数的几何意义进行求解.其基本步骤与方法如下: (1)根据切线与已知直线平行,它们的斜率相等,得到切线的斜率. (2)根据导数的几何意义,由切线的斜率得到切点的横坐标. (3)由切点

7、在曲线上,求得切点的纵坐标,得到切点的坐标. (4)利用点到直线的距离公式求得最小距离.,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一,探究二,探究三,思想方法,1,2,3,4,5,1.若曲线 的切线中,只有一条与直线x+y-3=0垂直,则实数m的值等于() A.2B.0C.0或2D.3 解析依题意,只有一条切线的斜率等于1, 又f(x)=x2+2x+m,所以方程x2+2x+m=1只有一个实数根, 于是=4-4(m-1)=0,解得m=2. 答案A,1,2,3,4,5,2.如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程为x-y+2=0,则f(1)+f(1)=() A.1B.2C.3D.4 解析由条件知点(1,f(1)在直线x-y+2=0上,且f(1)=1, 所以f(1)+f(1)=3+1=4. 答案D,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,5.求垂直于直线2x-6y+1=0,且与曲线y=x3+3x2-5相切的直线方程. 解设切点为P(a,b),因为y=3x2+6x,直线2x-6y+