空间直线与平面

1、.一对一 vip 辅导讲义年级：高二辅导科目：数学课题空间直线与平面（一）1.熟练掌握平面基本性质；教学目的2.理解空间中的线线关系；3.锻炼初步的空间想象能力，体会数学空间中的抽象美。教学内容【知识讲解】（一） 平面公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内。注意：（1）关于公理 1 可以使用集合的符号把它简明准确地表达 .al ， b l， a ， b l 。（2）公理 1 判定直线在平面内的依据，进一步可判定图形共面。（3）公理 1 说明平面具有无限延展性。a b公理 2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。如图： l注

2、意：1. “有且只有一条”的含义是： “有”说明直线是存在的， “只有”说明直线是唯一的。2. 如果两个平面和有一条公共直线，就说平面和相交，交线是a，则可记作 a3. 公理 2 可表示成如下形式：若 a ， a ，则 a，且 a a。4. 两个平面如果有一个公共点，那么就有无穷多个公共点，所有公共点在公共直线上，即它们的交线上；交线的每一个点都是两个平面的公共点。5. 公理 2 是作出两个平面交线的依据。6. 在公理指导下画出两个相交平面的一般步骤如下：先画表示两个平面的平行四边形的相交两边，如图（ 1）再画出表示两个平面交线的线段，如图（ 2）过图（ 1）中线段的端点分别引线段，使它平行且

3、等于（ 2）中表示交线的线段，如图（ 3）。画图中表示两个平面的平行四边形的第四边 （被遮住的线， 可以用虚线，也可以不画，如图（4）;.（ 1） （ 2） （3） （ 4）公理 3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。注意：公理 3 实际上是给出了确定平面的条件。讲解是应突出“不在同一直线上”和“三点”几个字“有且只有”的理解： “有”说明直线是存在的； “只有”说明直线是唯一的。公理 3 推论推论 1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。推论 2经过两条相交直线，有且只有一个平面推论 3经过两条平行直线，有且只有一个平面（二） 空间直线相交共面1. 空间两条直线的位置关

4、系平行异面不同在任何一个平面内的两条直线。2. 平行公理：若a / /b的数学意义 )，则 a / /c，其中 a、 b、 c为空间三直线 。 ( 即公理 4c / /b3. 定理 1：若一个角的两边分别与另一角的两边平行，则这两个角相等或互补( 注意互补的情况 ).4. 异面直线的判定定理：经过平面外一点和平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线是异面直线。baa5. 异面直线所成角：过空间任意一点o，分别作异面直线a 与 b 的平行线 a、 b，则 a与 b所成的锐角或直角叫做 a 与 b 的（夹角）所成角。6. 异面直线所成角求法：（1）作角：平移 a 或 b，使 a 与 b 相交，得到

5、所求角。（2）以该角为一可解三角形一内角，解三角形、求角的大小。注意：若 cos0，则所求角为 - 。【例题分析】;.例 1、画出经过已知直线ab 的三个平面。aabb c例 2. 三个不同平面可能把空间分成几部分？画图说明可能分成4，6，7，8 个部分。练习 1. 已知：延长 abc 三边， ab d， bc e， ac f，求证： d、e、f 共线。acbedf例 3. 三个平面两两相交有三条直线，求证这三条直线交于一点或互相平行。已知：平面两两相交且 a， b， c;.求证： a、b、c 相交于一点或互相平行分析：两种情况（ 1）交线相交（ 2）交线不相交证明：（1）设 a bp 则 p

6、 a， p b a， b p ， p ， p p 而c p c a.b.c 相交于一点 p（2）若 a.b.c 不相交，在 内必有 ac同理b ca b c练习 2.在正方体 ac1 中， m、n分别是 a1b1 、b1b 的中点，求（1）am和 cn所成角的大小；（2）am和 bd1 所成角的大小。（3）am和 bd所成角的大小；d1c1ga1b1mndcaqpb练习 3. 如图正方体 abcda1 b1c1 d1 中：（1）与对角线 ac1 成异面的直线的棱有多少条？;.（2）与 ab 成异面直线的棱有多少条？（3）与 bd 成异面直线的棱有多少条？（4）正方体 12 条棱中异面直线共有多

7、少对？练习 4、 正方体 abcda1b1c1 d1 棱长为 a ，对角线 a1 c 长为3a 。 异面直线 ba1 与 cc1 所成的角。 异面直线 bc 与 aa1 的距离。 异面直线 a1b 与 b1c 所成的角。 异面直线 a1b 与 ac1 所成的角。 m、 n 为 d1c1 、 c1 b1 中点， mn与 ac所成角。 h 为 bc中点， c1h 与 d1 b 所成角。练习 5、 四面体 abcd，棱长均为 a （正四面体） 求异面直线 ad、bc的距离。 求 ac、bd所成的角。;. e 、 f 为 bc、ad中点，求 ae、cf所成角。练习 6、p 为abc所在平面外一点， e

8、 为 pa中点，且，（b）。be ac pcac paa pcb a求异面直线 be、pc的距离。练习 6、 正方体 ac1 中， e、f 为 ab、 b1 b 中点，求 a1 e 、 c1 f 所成的角。【随堂练习及课后作业】1、 已知 e，f，g，h 是空间的四个点。命题甲：点 e，f，g，h 不共面；命题乙：点 e，f，g， h 中任何三点不共线。那么甲是乙成立的条件。;.a. 充分非必要b. 必要非充分c. 充要d. 非充分非必要2、 a 、 b 异面， b 、 c 异面，则 a 、 c的关系为（）a. 平行b. 相交c. 异面d. 以上均有可能3、分别与两条异面直线都相交的两条直线的

9、位置关系是（）a. 平行或相交b. 相交或异面c. 平行或异面d. 均有可能4、 a 、 b 为异面直线， a， b，l ，则有（）a. a 、 b 同时与 l 相交b. l 至少与 a 、 b 中一条相交c. l 至多与 a 、 b 中一条相交d.l 与 a 、 b 中一条平行，一条相交5、 ab 、cd 分别是两条异面上线段， m 、n 分别是它的中点，则有（）a. mn1 ( acbd )b. mn1bd )( ac22c. mn1 (acbd )d. mn 与 1 ( acbd) 无法比较226、 若 a、 b 为异面直线，直线c/a ，则 c 与 b 的位置关系是（）a.相交b. 异

10、面c.平行d. 异面或相交7、 两两相交的四条直线确定平面的个数最多的是（）a. 4个b. 5 个c. 6个d. 8 个8、 正方体 abcd-a1b1c1 d1 中，所有各面的对角线能与ab1 成 60角的异面直线的条数有（）a. 2条b. 4 条c. 5条d. 6 条9、 在空间四点中，三点共线是四点共面的（）a. 充分必要条件 b. 必要非充分条件 c. 充分非必要条件 d. 既非充分又非必要条件10、 教室内有一把尺子，无论怎样放置，地面上总有这样的直线与该直尺所在直线（）a.平行b. 垂直c.相交但不垂直d. 异面11、 如图所示，点 p、q、r、s 分别在正方体的四条棱上并且是所在

11、棱的中点，则直线pq与 rs是异面直线的一个图是（）12、 在空间四边形 abcd的边 ab、 bc、cd、da上分别取 e、f、g、h 四点，如果 ef 与 hg交于点 m，则（）a. m一定在直线 ac上b. m一定在直线 bd上c. m可能在 ac上，也可能在 bd上d. m不在 ac上，也不在 bd上13、 如图所示是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题：（ 1） ab与 cd所在直线垂直；（2）cd与 ef所在直线平行；（ 3） ab与 mn所在直线成 60角； （ 4） mn与 ef所在直线异面。其中正确命题的序号是（）;.（二）填空题1、 l1 / l 2 ， a 、 b

12、 与 l1 、 l 2 均垂直，则 a 、 b 的关系为 _2、已知异面直线 a 、 b 成 60 角， p 为空间一点，则过p 且与 a 、 b 所成角均为 60 的直线有 _条3、空间直线 a, b 满足（1）与 a 异面；（2）与 a 成 45 角；（ 3）与 a 距离为 10cm；则这样的 b 有_条4、空间四边形 abcd棱长为 a ，对角线也为 a ， e为 ad中点， ab与 ce所成角为 _、若l 是两两异面的直线，a与b 所成的角是， l与、al 与b 所成的角都是，则的取值范5a、b、3围是6、在正方体 abcda1b1c1d1 中，e、f、g分别为 ab、bc、cc1 的中点，则 ef与 bg所成角的余弦值为 _(三) 解答题1、 已知：四边形 abcd中， ab/cd，ab、 bc、dc、