2007年山东高考数学理科试题及答案

1、.2007 年山东高考数学理科第卷（共60 分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项（ 1）若 zcosisin（ i 为虚数单位），则使 z21的值可能是（）a b4cd632（ 2）已知集合m11，1x 1，则（），24 xzm i nnx2a 11，b 1c 0d10，（ 3）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）正方形圆锥三棱台正四棱锥a bcd（ 4）设1aa 值为（a， ，则使函数yx 的定义域为 r 且为奇函数的所有）1132a 1， 3b 1， 1c 1， 3d 1， 1， 3（ 5）函数

2、ysin2x6cos2x3的最小正周期和最大值分别为（）a ， 1b ， 2c 2 ， 1d 2 ， 2（ 6） 给 出 下 列 三 个 等 式 ： f ( xy) f ( x)f ( y) ，f (x y)f (x) f ( y) ，f ( xy)f ( x)f ( y)，下列函数中不满足其中任何一个等式的是（）1f ( x) f ( y)a f ( x)3xb f (x) sin xc f ( x)log 2 xd f ( x)tan x（ 7）命题“对任意的 xr ， x3x21 0 ”的否定是（）a 不存在 xr ， x3x21 0;.b 存在 xr ， x3x21 0c存在 xr ，

3、 x3x210d 对任意的x r ， x3x21 0（ 8）某班 50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13 秒与19 秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大频率 /组距0.360.34于等于 13 秒且小于14 秒；第二组，成绩大于等于14 秒且小于0.1815 秒； 第六组，成绩大于等于 18 秒且小于等于19 秒右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x ，成绩大于等于 15秒且小于 17秒的学生人数为y ，则从频率分布直方图中可分析出 x 和 y 分别为（）a 0.9， 35b 0.9， 45c 0.1， 35d 0.1，

4、 45（ 9）下列各小题中，p 是 q 的充要条件的是（） p ： m2 或 m6； q ： y x2mx m 3 有两个不同的零点 p : f ( x)1 ； q : yf ( x) 是偶函数f (x) p : coscos ； q : tantan p : a i b a ； q : 痧ubu a a bcd（ 10）阅读右边的程序框图，若输入的n 是 100，则输出的变量0.060.040.0201314 15 16 17 18 19秒开始输入 ns 0，t0x 22否ssns 和 t 的值依次是（）a 2500， 2500b 2550， 2550c 2500， 2550d 2550，2

5、500（ 11）在直角 abc 中， cd 是斜边 ab 上的高，则下列等式不成立的是（）n n 1输出 s， tttn结束uuura acuuurc ab22uuur uuuruuuracgabb bcuuur uuuruuuracgcdd cd2uuur uuurbagbcn n 1uuur uuuruuur uuur2 ( acgab) ( bagbc)uuur 2ab（ 12）位于坐标原点的一个质点p 按下列规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是1 ，质点 p 移动五次后位 于点 (2，3) 的概2率是（）;.232312121121a 2

6、b c3 2c c3 2d c2c32第卷（共90 分）二、填空题：本大题共4 小题，每小题4 分，共 16 分答案须填在题中横线上（ 13）设 o 是坐标原点， f 是抛物线 y2uuur2 px( p0) 的焦点， a 是抛物线上的一点， fa与 x 轴正向的夹角为uuur60o ，则 oa 为x2 y 10，（ 14）设 d 是不等式组2xy 3，d 中的点 p( x， y) 到直线表示的平面区域，则0 x 4，y 1x y 10 距离的最大值是（ 15）与直线 xy20 和曲线 x2y212 x12 y540 都相切的半径最小的圆的标准方程是（ 16 ） 函 数 ylog a ( x

7、3)1 (a0， 且 a 1)的 图 象 恒 过 定 点 a ， 若 点 a 在 直 线mx ny10 上，其中 mn0 ，则12的最小值为mn三、解答题：本大题共6 小题，共74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（ 17）（本小题满分12 分）设数列an满足 a13a232 a33n1 ann ， an*3（）求数列an的通项；（）设 bnn，求数列b的前 n 项和 sn ann（ 18）（本小题满分12 分）设 b 和 c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量表示方程 x2bx c 0 实根的个数（重根按一个计） （）求方程x2bx c0 有实根的概率；（）求的分布列和数学

8、期望；（）求在先后两次出现的点数中有5 的条件下，方程x2bx c 0 有实根的概率（ 19）（本小题满分12 分）;.如图，在直四棱柱abcda1 b1c1d1 中，已知 dcdd1 2 ad 2 ab ， addc ，ab dc d1c1（）设 e 是 dc 的中点，求证： d1e 平面 a1bd1；a1b1（）求二面角 a1bdc1 的余弦值dec（ 20）（本小题满分12 分）ab如图， 甲船以每小时30 2 海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于 a1 处时，乙船位于甲船的北偏西105o 方向的b1 处，此时两船相距20 海里，当甲船航行 20 分钟到达 a2

9、 处时，乙船航行到甲船的北偏西120o 方向的 b2处，此时两船相距 102海里，问乙船每小时航行多少海里？北120oa2b2105oa1b1（ 21）（本小题满分12 分）乙甲已知椭圆 c 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆 c 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为 1（）求椭圆c 的标准方程；（）若直线l : ykxm 与椭圆 c 相交于 a ， b 两点（ a， b 不是左右顶点） ，且以 ab为直径的圆过椭圆c 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标（ 22）（本小题满分14 分）设函数 f (x)x2b ln( x1) ，其中 b0 （）当 b1f ( x) 在定义

10、域上的单调性；时，判断函数2（）求函数f ( x) 的极值点；（）证明对任意的正整数n ，不等式 ln1111都成立nn2n32007 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）;.理科数学参考答案第卷一、选择题（ 1） d（ 2）b（ 3） d（ 4）a（ 5） a（ 6） b（ 7） c（ 8）a（ 9） d（ 10）d（ 11） c（ 12）b第卷二、填空题（ 13）21 p（ 14） 4 2（ 15） (x2) 2( y 2)22（ 16） 82三、解答题（ 17）（本小题满分12 分）解：（） q a13a232 a3 3n 1 ann ，3n 1 当 n 2 时， a13a232 a

11、3 3n 2 an 1113 - 得 3n 1 a， an3n3n在中，令 n1 ，得 a1131ann 3（） q bnn，anbnn3n sn3 2 323 33 n3n ，3sn322 333 34 n3n 1 - 得2snn3n 1(3 3233 3n ) 即 2snn13(13n )n313，sn(2 n1)3n 1344（ 18）（本小题满分12 分）;.解：（）由题意知：设基本事件空间为，记“方程 x2bxc0 没有实根”为事件a ，“方程 x2bxc0 有且仅有一个实根”为事件b ，“方程 x2bxc0 有两个相异实数”为事件 c ，则(b，c) b，c1，2，6 ，a (b，

12、 c) b b (b， c) b c (b， c) b2224c0， b， c1，2，6 ，4c0， b， c1，2，6 ，4c 0， b， c1，2， ，6 ，所以是的基本事件总数为36 个，a中的基本事件总数为b中的基本事件总数为217 个，个， c 中的基本事件总数为17 个又因为 b，c 是互斥事件，21719故所求概率 p p( b) b(c)363636（）由题意，的可能取值为01，2，则17p0，361p1，1817p2，36故的分布列为：012以的数学期望 e0 17112 171 361836（）记“先后两次出现的点数有中5”为事件 d ，“方程 x

13、2bx c 0 有实数” 为事件 e ，由上面分析得p( d )11， p(d i e)736，36p( e d )p(die)7 p( d )11（ 19）（本小题满分 12 分）解法一：（）连结 be ，则四边形 dabe 为正方形，d1c1;.a1b1g.beada1 d1 ，且 be ad a1d1 ，四边形 a1d1 eb 为平行四边形d1 e a1b 又 d1e平面 a1 bd ， a1b平面 a1bd ，d1 e 平面 a1 bd （）以 d 为原点， da， dc， dd1 所在直线分别为x 轴， y 轴， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设 da 1 ，则 d (0

14、，0，0) ， a(10，0) ， b(11，0) ， c(0，2，2) ， a1 (1，0，2) ，uuuuruuurda1， ， db (11，0) ，(10 2)z设 n(x， y， z) 为平面 a1 bd 的一个法向量d1c1uuuuruuura1b1由 n， nda1db ，mx2z，得0xy0.eydc取 z1，则 n( 2，31)， afbxuuuuruuur，又， db (11，0) ，dc2 (0 2 3)设 m( x1， y1， z1 ) 为平面 c1bd 的一个法向量，由 muuuruuurdc ， mdb ，2 y12 z10，得x1y10.取，则(1， 11)，z1

15、 1m设 m 与 n 的夹角为 a ，二面角 a1bd c1 为，显然为锐角，cosmgn33m n9 33cos3，3;.即所求二面角 a1bd c1 的余弦为3 3解法二：（）以 d 为原点， da， dc， dd1 所在直线分别为x 轴， y 轴， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设 daa ，由题意知：d(0，0，0) ， a(a，0，0) ， b(a， a，0) ，c (0，2a，0) ，c1 (0，2a，2a) ， a1 (a，0，2a) ， d1 (0，0，2a) ，e(0， a，0) xuuuuruuuuruuurd1c1(a， a，0) ，d1 e， ，2a)，da1，

16、dba1(0a(a 0 2a)b1又 (0， a， 2a)(a， a，0)(a，0，2a) ，muuuuruuuruuurd1 edbda deycq da1， db平面 a1 bd ， d1e 平面 a1bd ，afbzd1 e 平面 a1 bd （）取 db 的中点 f ， dc1 的中点 m ，连结 a1 f ， fm ，由（）及题意得知：aaf， ， ， m (0， a， a) ，202uuura，a，uuuuraa，fa1fm，a222a22uuur uuura ， a ，2a g(a， a，0) 0fa1 gdb，22uuuuruuuraa， ，fmdb， ，a022(aa 0)f

17、a1db ， fmdb ， a1 fm 为所求二面角的平面角uuur uuuurfa1 gfmcosa1 fmuuur uuuurfa1 fm;.a，a，gaaa， ，222a223 2ag 6a22a2a22a244333a232所以二面角 a13bd c1 的余弦值为3解法三：（）证明：如解法一图，连结ad1 ， ae ，设 ad1 ia1dg ， ae i bdf ，连结 gf ，由题意知 g 是 a1 d 的中点，又 e 是 cd 的中点，d1ha1b1.c1四边形 abed 是平行四边形，故f 是 ae 的中点，在 aed1 中， gf d1e ，mde又 gf平面 a1 bd ，

18、d1e平面 a1bd ，d1 e 平面 a1 bd （）如图，在四边形abcd 中，设 ada ，q abad ， addc ， ab dc ，adab 故 bd2a ，由（）得bc2be 2ec 2a2a22a2 ， dc2a ， dbc90o ，即 bdbc 又 bdbb1 ，bd平面 bcc1b1 ，又 bc1平面 bcc1 b1 ，bdbc1 ，取 dc1 的中点 m ，连结 a1f ， fm ，acfb;.由题意知：fm bc1 ，fmbd 又 a1 da1b ，a1 fbd a1 fm 为二面角 a1 bd c1 的平面角连结 a1 m ，在 a1fm 中，由题意知：a1 f3 2

19、 a ， fm1 bc11bc 2cc126 a ，2222取 d1c1 的中点 h ，连结 a1h ， hm ，在 rt a1hm 中，q a1 h2a， hma ，a1 m3a cos a1 fma1f 2fm 2a1m 22 a f fm1g9 a23 a23a2222g3 ag6 a2233二面角 a1bdc1的余弦值为3 3（ 20）（本小题满分12 分）解法一：如图，连结a1b1 ，由已知 a2 b210 2 ，a1 a23022010 2，60a1 a2a2 b1 ，又 a1 a2b2180o120o60o ， a1 a2 b2 是等边三角形，北120oa2b2oa1105b1甲

20、乙;.a1 b2a1a210 2 ，由已知， a1b120 ， b1 a1 b2105o60o45o ，在 a1b2 b1 中，由余弦定理，b1 b22a1b12a1b222a1 b2 ga1b2 gcos45o20 2(102) 222010222200 b1 b210 2 因此，乙船的速度的大小为10230 2 （海里 /小时）2060答：乙船每小时航行 302 海里解法二：如图，连结a2 b1，由已知a1b220 ，a1 a22010 2b1a1a2105o，30 2，60cos105ocos(45 o60o )cos45o cos60osin 45o sin 60o2(13)北4，12

21、0oa2sin105 osin(45o60o)b2105oa1b1sin 45o cos60ocos45o sin 60o甲乙2(13)4在 a2 a1b1 中，由余弦定理，a b2a b2a a22 a ba acos105o2 1221 21 1 g 1 2 g(102) 22022102202(13)4;.100(42 3) a1 b110(13)由正弦定理sina1 a2 b1a1 b1 gsinb1 a1 a220g2(1 3)2，a2 b210(13)42 a1 a2 b145o，即 b1a2b160o45o15o ，cos15osin105 o2(1 3)4在 b1a1b2 中，

22、由已知a1 b210 2 ，由余弦定理，b1 b22a1b12a2 b222 a2 b1 ga2 b2 gcos15o10 2 (13) 2(102) 2210(13)1022(13)4200 b1 b210 2 ，乙船的速度的大小为102海里 /小时2060 30 2答：乙船每小时航行302 海里（ 21）（本小题满分12 分）x2y21(a b 0) ，解：（）由题意设椭圆的标准方程为2b2a由已知得： ac3 ， ac 1，a2 ， c1，b2a2c23椭圆的标准方程为x2y2413（）设a(x1， y1 ) ， b( x2， y2 ) ，ykxm，联立x2 y21.43;.得 (34k

23、 2 ) x28mkx4( m23)0 ，64m2k216(34k223)，即34k2m2，则)( m00x1 x28mk，34k 2x1gx24(m23) .34k 2又 y1 y2(kx1m)(kx2m)2mk (x1x2 )23(m24k2 )k x1 x2m32，4k因为以 ab 为直径的圆过椭圆的右顶点d (2，0) ，k ad kbd1 ，即x1y1 g y221 ，2 x2y1 y2x1 x22( x1x2 ) 4 0 ，3(m24k 2 )4( m23)16mk40 ，3 4k 23 4k 23 4k29m216mk4k20 解得：m12k ， m22k，且均满足 34k2m20 ，7当 m12k 时， l 的方程为 yk ( x2) ，直线过定点 (2，0)，与已知矛盾；当m22k时， l 的方程为 ykx2，直线过定点2 ，7707所以，直线l过