2016年天津市高考数学试卷(理科)

1、.2016 年天津市高考数学试卷（理科）一、选择题1（5 分）已知集合 a= 1，2，3，4 ，b= y| y=3x 2，xa ，则 ab=（）a 1 b 4c 1，3d 1，42（5 分）设变量 x，y 满足约束条件，则目标函数z=2x+5y 的最小值为（）a 4 b6c10d173（5 分）在 abc中，若 ab=， bc=3， c=120，则 ac=（）a1 b2c3d44（5 分）阅读如图的程序图，运行相应的程序，则输出s 的值为（）a2b4c6d85（5 分）设 an 是首项为正数的等比数列，公比为q，则 “q0”是 “对任意的正整数 n，a2n1+a2n0”的（）a充要条件b充分而

2、不必要条件c必要而不充分条件d既不充分也不必要条件.6（ 5 分）已知双曲线=1（b0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于a，b，c，d 四点，四边形abcd的面积为 2b，则双曲线的方程为（）a=1 b=1 c=1 d=17（ 5 分）已知 abc是边长为 1 的等边三角形，点d、e 分别是边 ab、bc的中点，连接 de 并延长到点 f，使得 de=2ef，则?的值为（）abcd8（5 分）已知函数 f（x） =（a0，且 a 1）在 r 上单调递减，且关于x 的方程 | f（x）| =2 x 恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（）a（0， b

3、， c， d ，） 二、填空题9（ 5 分）已知 a，br，i 是虚数单位，若（ 1+i）（1bi）=a，则的值为10（ 5 分）（x2） 8 的展开式中 x7 的系数为（用数字作答）11（ 5 分）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位： m），则该四棱锥的体积为m3.12（ 5 分）如图， ab 是圆的直径，弦 cd与 ab 相交于点 e，be=2ae=2，bd=ed，则线段 ce的长为13（ 5 分）已知 f（ x）是定义在 r 上的偶函数，且在区间（，0）上单调递增，若实数 a 满足 f（ 2| a 1| ） f （ ），则 a 的取值范围是14（ 5 分）设

4、抛物线（ t 为参数， p 0）的焦点为 f，准线为 l，过抛物线上一点 a 作 l 的垂线，垂足为b，设 c（p，0），af 与 bc 相交于点 e若| cf| =2| af| ，且 ace的面积为 3，则 p 的值为.三、计算题15（ 13 分）已知函数 f （x）=4tanxsin（x）cos（x）（ 1）求 f （x）的定义域与最小正周期；（ 2）讨论 f（x）在区间 ， 上的单调性.16（ 13 分）某小组共10 人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为 1，2，3 的人数分别为 3，3，4，现从这 10 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会（ 1）设 a 为事件 “选

5、出的 2 人参加义工活动次数之和为4”，求事件 a 发生的概率；（ 2）设 x 为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量x 的分布列和数学期望.17（ 13 分）如图，正方形abcd的中心为 o，四边形 obef为矩形，平面 obef平面 abcd，点 g 为 ab 的中点， ab=be=2（ 1）求证： eg平面 adf；（ 2）求二面角 oefc 的正弦值；（ 3）设 h 为线段 af上的点，且 ah= hf，求直线 bh 和平面 cef所成角的正弦值.18（ 13 分）已知 an 是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的 n n+，bn 是 an 和 an+1 的等比

6、中项（ 1）设 cn=bn+1 2 bn2，nn+，求证：数列 cn 是等差数列；（ 2）设 a1， n（）k k2，nn* ，求证：=dt =1b.19（ 14 分）设椭圆+=1（ a）的右焦点为f，右顶点为a已知+ =，其中 o 为原点， e 为椭圆的离心率（ 1）求椭圆的方程；（ 2）设过点 a 的直线 l 与椭圆交于点 b（b 不在 x 轴上），垂直于 l 的直线与 l 交于点 m ，与 y 轴于点 h，若 bfhf，且 moa mao，求直线 l 的斜率的取值范围.20（ 14 分）设函数 f （x） =（ x 1） 3ax b， x r，其中 a， b r（ 1）求 f （x）的单

7、调区间；（ 2）若 f（x）存在极值点 x0，且 f（x1） =f（x0），其中 x1x0，求证： x1+2x0=3；（ 3）设 a0，函数 g（x） =| f（ x）| ，求证： g（x）在区间 0，2 上的最大值不小于 .2016 年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1（5 分）（2016?天津）已知集合a= 1，2，3，4 ， b= y| y=3x 2， x a ，则ab=（）a 1 b 4c 1，3d 1，4【分析】把 a 中元素代入 y=3x2 中计算求出 y 的值，确定出 b，找出 a 与 b 的交集即可【解答】 解：把 x=1，2，3，4 分别代入 y=3x2

8、 得： y=1，4，7，10，即 b= 1，4，7，10 ， a= 1， 2， 3，4 ， a b= 1， 4 ，故选： d2（5 分）（2016?天津）设变量 x， y 满足约束条件，则目标函数z=2x+5y 的最小值为（）a 4 b6c10d17【分析】作出不等式组表示的平面区域，作出直线 l0：2x+5y=0，平移直线 l0，可得经过点（ 3，0）时， z=2x+5y 取得最小值 6【解答】 解：作出不等式组表示的可行域，如右图中三角形的区域，作出直线 l0：2x+5y=0，图中的虚线，平移直线 l0，可得经过点（ 3， 0）时， z=2x+5y 取得最小值 6故选： b.3（ 5 分）

9、（ 2016?天津）在 abc中，若 ab=，bc=3，c=120，则 ac=（）a1b2c3d4【分析】 直接利用余弦定理求解即可【解答】 解：在 abc中，若 ab=，bc=3， c=120，2 2+ac2 2ac?bccosc， ab =bc可得： 13=9+ac2+3ac，解得 ac=1或 ac=4（舍去）故选： a4（5 分）（2016?天津）阅读如图的程序图，运行相应的程序，则输出s 的值为（）a2b4c6d8.【分析】 根据程序 行 次模 算即可【解答】 解：第一次判断后：不 足条件， s=24=8， n=2，i 4，第二次判断不 足条件 n 3：第三次判断 足条件： s6，此

10、算 s=86=2，n=3，第四次判断 n3 不 足条件，第五次判断 s6 不 足条件， s=4n=4，第六次判断 足条件n3，故 出 s=4，故 ： b5（5 分）（2016?天津） an 是首 正数的等比数列，公比 q， “q0”是 “ 任意的正整数 n， a2n 1+a2n 0”的（）a充要条件b充分而不必要条件c必要而不充分条件 d既不充分也不必要条件【分析】 利用必要、充分及充要条件的定 判断即可【解答】 解： an是首 正数的等比数列，公比 q，若 “q0”是 “ 任意的正整数 n， a2n 1 2n ”不一定成立，+a0例如：当首 2，q= ，各 2， 1， ， ，此 2+（ 1）

11、=1 0，+（ ）=0；而 “ 任意的正整数n， a2n 1+a2n 0”，前提是 “q0”，则 “q0”是 “ 任意的正整数 n， a2n 1+a2n 0”的必要而不充分条件，故 ： c6（ 5 分）（2016?天津）已知双曲 =1（b0），以原点 心，双曲 的 半 半径 的 与双曲 的两条 近 相交于a，b，c，d 四点，四 形 abcd的面 2b， 双曲 的方程 （）a=1 b=1 c=1 d=1.【分析】 以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x2+y2，双=4曲线的两条渐近线方程为 y= x，利用四边形 abcd的面积为 2b，求出 a 的坐标，代入圆的方程，即可得出结论

12、【解答】解：以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x2+y2=4，双曲线的两条渐近线方程为y=x，设 a（x，x），则四边形 abcd的面积为 2b， 2x?bx=2b， x=1将 a（1， ）代入 x2+y2=4，可得 1+ =4， b2=12，双曲线的方程为=1，故选： d7（5 分）（2016?天津）已知 abc是边长为 1 的等边三角形，点d、 e 分别是边 ab、bc的中点，连接 de并延长到点 f，使得 de=2ef，则?的值为（）abcd【分析】 由题意画出图形，把、都用表示，然后代入数量积公式得答案【解答】 解：如图， d、 e 分别是边 ab、bc的中点，且 de

13、=2ef，?=.=故选： b8（5 分）（2016?天津）已知函数f（x）=（ a0，且 a 1）在 r 上单调递减，且关于x 的方程 | f（x）| =2x 恰好有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是（）a（0， b， c， d ，） 【分析】利用函数是减函数，根据对数的图象和性质判断出a 的大致范围，再根据 f（ x）为减函数，得到不等式组，利用函数的图象，方程的解的个数，推出a的范围【解答】 解： y=loga（x+1）+1 在 0， +）递减，则 0 a1，函数 f （x）在 r 上单调递减，则：；解得，；由图象可知，在 0，+）上， | f（x）| =2 x 有且仅有一个解，故在

14、（， 0）上， | f（x）| =2x 同样有且仅有一个解，当 3a 2 即 a 时，联立 | x2+（4a 3） x+3a| =2x，则 =（4a2） 24（3a2） =0，解得 a=或 1（舍去），当 13a 2 时，由图象可知，符合条件，综上： a 的取值范围为 ， ，.故选： c二、填空题9（5 分）（2016?天津）已知 a，br，i 是虚数单位，若（ 1+i）（ 1 bi）=a，则的值为2【分析】根据复数相等的充要条件，构造关于a，b 的方程，解得 a，b 的值，进而可得答案【解答】 解：（ 1+i）（1bi） =1+b+（1b）i=a，a，br，解得：， =2，故答案为： 210

15、（5 分）（ 2016?天津）（x2）8 的展开式中 x7 的系数为 56 （用数字作答）【分析】 利用通项公式即可得出【解答】 解： tr+1=x16 3r，令 16 3r=7，解得 r=3（ x2 ） 8 的展开式中 x7 的系数为=56故答案为： 56.11（ 5 分）（2016?天津）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位： m），则该四棱锥的体积为2m3【分析】由已知中的三视图可得： 该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥， 进而可得答案【解答】解：由已知中的三视图可得： 该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，棱锥的底面是底为 2，高为 1 的平行四边形，故底

16、面面积 s=21=2m2，棱锥的高 h=3m，故体积 v=2m3，故答案为： 212（5 分）（ 2016?天津）如图，ab是圆的直径，弦 cd与 ab 相交于点 e，be=2ae=2，bd=ed，则线段 ce的长为【分析】由 bd=ed，可得 bde为等腰三角形，过 d 作 dhab 于 h，由相交弦定理求得 dh，在 rtdhe中求出 de，再由相交弦定理求得 ce【解答】 解：如图，过 d 作 dh ab于 h，. be=2ae=2，bd=ed， bh=he=1，则 ah=2， bh=1， dh2=ah?bh=2，则 dh= ，在 rtdhe中，则，由相交弦定理可得： ce?de=ae?

17、eb，故答案为：13（ 5 分）（ 2016?天津）已知 f（ x）是定义在 r 上的偶函数，且在区间（，）上单调递增， 若实数| a 1|） f（），则 a 的取值范围是（ ，0a 满足 f（2）【分析】 根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化进行求解即可【解答】 解： f（x）是定义在 r 上的偶函数，且在区间（， 0）上单调递增， f（x）在区间（ 0，+）上单调递减，则 f（ 2| a 1| ）f （ ），等价为 f（ 2| a 1| ） f（ ），即 2| a 1| ，则 | a1| ，即 a ，故答案为：（ ， ）14（ 5 分）（2016?天津）设抛物线（t 为参数，

18、p0）的焦点为 f，准线为 l，过抛物线上一点 a 作 l 的垂线，垂足为 b，设 c（p，0），af 与 bc相交.于点 e若 | cf| =2| af| ，且 ace的面积为 3，则 p 的值为【分析】化简参数方程为普通方程，求出 f 与 l 的方程，然后求解 a 的坐标，利用三角形的面积列出方程，求解即可【解答】 解：抛物线（ t 为参数， p 0）的普通方程为： y2=2px 焦点为f（，0），如图：过抛物线上一点a 作 l 的垂线，垂足为 b，设 c（p，0），af与 bc相交于点 e| cf| =2| af| ，| cf| =3p，| ab| =| af| =p，a（p，）， ac

19、e的面积为 3，可得=s ace即：=3，解得 p=故答案为：三、计算题15（13 分）（2016?天津）已知函数 f（x）=4tanxsin（x）cos（x）（ 1）求 f （x）的定义域与最小正周期；（ 2）讨论 f（x）在区间 ， 上的单调性【分析】（1）利用三角函数的诱导公式以及两角和差的余弦公式，结合三角函数的辅助角公式进行化简求解即可.（ 2）利用三角函数的单调性进行求解即可【解答】 解：（1） f（ x） =4tanxsin（x）cos（x） xk+，即函数的定义域为 x| x k+， k z ，则 f（ x）=4tanxcosx?（ cosx+ sinx）=4sinx（cosx

20、+sinx）=2sinxcosx+2sin2x=sin2x+（1cos2x）=sin2xcos2x=2sin（2x），则函数的周期 t=；（ 2）由 2k 2x 2k+ ， k z，得 k x k+，kz，即函数的增区间为 k， k+ ，kz，当 k=0 时，增区间为 ， ，kz， x ， ，此时 x ， ，由 2k+ 2x 2k+，kz，得 k+ x k+，kz，即函数的减区间为 k+，k+ ，kz，当 k=1 时，减区间为 ， ，kz， x ， ，此时 x ， ，即在区间 ， 上，函数的减区间为 ， ，增区间为 ， .16（ 13 分）（2016?天津）某小组共 10 人，利用假期参加义工

21、活动，已知参加义工活动次数为 1，2， 3 的人数分别为 3，3，4，现从这 10 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会（ 1）设 a 为事件 “选出的 2 人参加义工活动次数之和为4”，求事件 a 发生的概率；（ 2）设 x 为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量x 的分布列和数学期望【分析】（1）选出的 2 人参加义工活动次数之和为4 为事件 a，求出选出的 2 人参加义工活动次数之和的所有结果，即可求解概率则p（a）（ 2）随机变量 x 的可能取值为 0，1，2 分别求出 p（x=0），p（ x=1）， p（ x=2）的值，由此能求出 x 的分布列和 ex【解答】

22、 解：（1）从 10 人中选出 2 人的选法共有=45 种，事件 a：参加次数的和为4，情况有： 1 人参加 1 次，另 1 人参加 3 次， 2人都参加 2 次；共有+=15 种，事件 a 发生概率： p=（ ）x 的可能取值为 0，1，2p（x=0） =p（x=1） =，.p（x=2） =， x 的分布列为：x012p ex=0 +1 +2 =117（ 13 分）（ 2016?天津）如图，正方形abcd的中心为 o，四边形 obef为矩形，平面 obef平面 abcd，点 g 为 ab 的中点， ab=be=2（ 1）求证： eg平面 adf；（ 2）求二面角 oefc 的正弦值；（ 3）

23、设 h 为线段 af上的点，且 ah= hf，求直线 bh 和平面 cef所成角的正弦值【分析】（1）取 ad 的中点 i，连接 fi，证明四边形 efig是平行四边形，可得 eg fi，利用线面平行的判定定理证明： eg平面 adf；（ 2）建立如图所示的坐标系 oxyz，求出平面 oef的法向量，平面 oef的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角 oefc 的正弦值；（ 3）求出=（，），利用向量的夹角公式求出直线bh和平面 cef所成角的正弦值【解答】（1）证明：取 ad 的中点 i，连接 fi，矩形 obef， ef ob，ef=ob，. g， i 是中点， gibd，gi= bd

24、 o 是正方形 abcd的中心， ob= bd efgi， ef=gi，四边形 efig是平行四边形， egfi， eg?平面 adf，fi? 平面 adf， eg平面 adf；（ 2）解：建立如图所示的坐标系 o xyz，则 b（0， ，0），c（ ，0， 0），e（0，2），f（0，0，2），设平面 cef的法向量为 =（x，y，z），则，取 =（ ，0，1） oc平面 oef，平面 oef的法向量为=（1，0，0）， | cos ， | =二面角 oef c 的正弦值为=；（ 3）解： ah= hf，=（，0，）设 h（a，b，c），则=（a+，b， c）=（，0，） a=，b=0， c

25、= ，=（，），直线 bh和平面 cef所成角的正弦值 =| cos， | =.18（ 13 分）（2016?天津）已知 an 是各 均 正数的等差数列，公差 d， 任意的 n n+，bn 是 an 和 an+1 的等比中 （ 1） cn=bn+1 2 bn2，nn+，求 ：数列 cn 是等差数列；（ 2） a1=d，tn=（ 1）kbk2，nn* ，求 ：【分析】（1）根据等差数列和等比数列的性 ，建立方程关系，根据条件求出数列 cn 的通 公式， 合等差数列的定 行 明即可（ 2）求出 tn=（ ） kk2 的表达式，利用裂 法 行求解， 合放 法 行1b不等式的 明即可【解答】 明：（1

26、） an 是各 均 正数的等差数列，公差 d， 任意的 n n+，bn 是 n 和 n+1 的等比中 aa cn=bbn+1 n+2 n n+1n+1，=aaa a=2da cn+1 n（ n+2 n+1）2 定 ；c =2d aa=2d数列 cn 是等差数列；（ 2） tn= （ 1） kbk2=（ b12+b22） +（ b32+b42）+（ b2n 12+b2n2） =2d（ a2+a4+a2n） =2d=2d2n（ n+1），=（1+）=（1）.即不等式成立19（ 14 分）（ 2016?天津）设椭圆+=1（ a）的右焦点为 f，右顶点为a已知+=，其中 o 为原点， e 为椭圆的离心

27、率（ 1）求椭圆的方程；（ 2）设过点 a 的直线 l 与椭圆交于点 b（b 不在 x 轴上），垂直于 l 的直线与 l 交于点 m ，与 y 轴于点 h，若 bfhf，且 moa mao，求直线 l 的斜率的取值范围【分析】（1）由题意画出图形，把| of| 、| oa| 、 | fa| 代入+=，转化为关于 a 的方程，解方程求得a 值，则椭圆方程可求；（ 2）由已知设直线 l 的方程为 y=k（x2），（k0），联立直线方程和椭圆方程，化为关于 x 的一元二次方程， 利用根与系数的关系求得 b 的坐标，再写出 mh 所在直线方程，求出h的坐标，由bf hf ，得，整理得到m 的坐标与 k

28、 的关系，由moa mao，得到 x01，转化为关于 k 的不等式求得 k 的范围【解答】 解：（1）由+=，得，即， a a2（ a23） =3a（a23），解得 a=2椭圆方程为；（ 2）由已知设直线 l 的方程为 y=k（x2），（k0），设 b（x1 ，y1），m（ x0，k（x02），. moa mao， x01，再设 h（0，yh），联立，得（ 3+4k2）x216k2x+16k2 12=0 =（ 16k2） 24（3+4k2）（16k212） =144 0由根与系数的关系得，mh 所在直线方程为，令 x=0，得， bfhf，即 1x1+y1yh=，整理得：，即 8k23或.20（ 14 分）（ 2016?天津）设函数f （x）=（ x 1） 3 axb，xr，其中 a，b r（ 1）求 f （x）的单调区间；（ 2）若 f（x）存在极值点 x0，且 f（x1） =f（x0），其中 x1x0，求证： x1+2x0=3；（ 3）