2010年江苏高考数学试题及答案

1、.2010 年江苏高考数学试题一、填空 1、 集合 a=-1,1,3 ，b= a+2,a 2 +4,a b=3 ， 数 a=_ _ 析：由集合中元素的互异性有a+2=3 或 a2+4=3 ，a=1 或 a2= 1(舍 ) a=12、 复数 z 足 z(2-3i)=6+4i （其中 i 虚数 位）， z 的模 _ 析：由 意z= 6+4i(6+4i)(2+3i)26i2 3i=13= 13 =2i |z|=23、盒子中有大小相同的3 只白球， 1 只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球 色不同的概率是_ _ 析： 124、某棉 厂 了了解一批棉花的 量，从中随机抽取了100 根棉花 的 度（棉花

2、 的 度是棉花 量的重要指 ） ，所得数据都在区 5,40中，其 率分布直方 如 所示， 其抽 的100根中，有 _ _根在棉花 的 度小于 20mm。 析： 察 率分布直方 ，知有0.065 100=30 根 度小于 20mm5、 函数 f(x)=x(e x+ae -x),(xr) 是偶函数， 数 a=_ _ 析：由偶函数f( x)=f(x)x(ex+ae-x)= x(e-x+aex)x(ex +e-x)(1+a)=0x r a= 1频率0.06组距0.050.040.030.020.01长度 mo510152025303540x2y26、在平面直角坐 系xoy 中，双曲 412=1 上一点

3、 m ，点 m 的横坐 是 3， m 到双曲 右焦点的距离是 _ _ 析：法一直接运用焦半径公式求。因焦半径知 本中未作介 ，此不重点 明；法二基本量法求解。由 意知右焦点坐 f(4,0) ，m 点坐 (3, 15) mf=47、右 是一个算法的流程 ， 出s 的 是 _ 析： 知 是 算s=1+21+22+ +2n 的一个算法， 由 s=2n 133 且 n 正整数知 n=5 跳出循 ， 此 ， 出 s=1+21+22+ +2 5=63n n+1否开始s 1n 1s s+2n是 出 s 束s 338、函数y=x 2(x0) 的 像在点 (ak,ak2) 的切 与 x 交点的横坐 ak+1,k

4、 正整数，a1=16 ， a +a +a =_ _135 析： 原函数求 得y =2x (x0) ，据 意，由 a4 依次求得 a，a5=1，所以 a1+a3+a5=211=16=22=8，a3=4，a4=2.9、在平面直角坐标系xoy 中，已知圆 x2+y2=4 四个点到直线 12x 5y+c=0 的距离为 1，则实数 c 的取值范围是 _ _简析：若使圆上有且仅有四点到直线12x 5y+c=0 距离为 1，则圆心到该直线之距应小于1，即 |c|，解13f(2x) 的 x 的范围是 _11、已知函数 f(x)=1 ， x0,则满足不等式简析：设 t=1 x2，当 x 1 时， t0 ，2x1

5、 时， t2 ， f(1 x2)=1， f(2x)=(2x) 2 +15，显然不满足 f(1 x2)f(2x)当 1x0 时， t 0， 2xf(2x) (x 1)；当 0 x1 时， t 0， 2x0，所以 f(1 x2)=(1 x2)2+1 1， f(2x)=(2x) 2+1，由 f(1 x2)f(2x)(1 x2)2+1(2x) 2+1 x4 6x2+10 0x2 1综上， x( 1, 2 1)12、设实数 x,y 满足 3 xy 2 8，4x2x3 9，则y4的最大值是 _y简析：由题意知x,y 均为非0 的正实数。1 1 2 1，又 4 x22x21 x3 323由 3 xy 2 8

6、9113，即41 x x3 9 3x4 278 xy 3y2 xyy2 y2 y yyb atanctanc13、在锐角三角形abc ， a、 b、 c 的对边分别为a、b、c， a+b=6cosc，则 tana +tanb=_ 简析：据正、余弦定理，由已知等式，角化边得3c2=2a2+2b2，边化角得 sin2a+sin 2b=6cosc sinasinbtanctanccosacosbsin(a+b)sin2c因为 tana +tanb= tanc( sina +sinb )=tanc sinasinb =sinasinbcosc至此，式还有多种变形，此不赘举，仅以下法解本题。6sin2c

7、6c26sin2c6c2据式，式=sin2a+sin 2b=a2+b2 ，又据式，式 =sin2 a+sin 2b=a2+b2=4(梯形的周长 )214、将边长为1 的正三角形薄片， 沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形， 记 s= 梯形的面积 ,则 s 的最小值是 _简析：如图，abc 是边长为1 的正， ef bc ，四边形bcfe 为梯形；23设 ae=x (0x1)，则梯形 bcfe 周长 =3 x，梯形 bcfe 面积 =(1 x )，4所以据题意知：(3x) 24(3 x)2as=32(0x1)3(1x2)x4 (1 x )ef对 s(x)求导，令 s (x)=0 ，联系

8、 0x1 得 x=1，1 x3bc.又 0x1， s (x)0 ，1x033所以 x=11323时 s(x)有最小值s( )=333二、解答题15、（ 14 分）在平面直角坐标系xoy 中，点 a(-1,-2),b(2,3),c(-2,-1)(1) 求以线段 ab 、 ac 为邻边的平行四边形两条对角线的长 (2) 设实数 t 满足 (ab toc) oc=0=0 ，求 t 的值简析： 据题意， 本小问解法不唯一，如利用平行四边形性质求出第四点d ，然后运用两点间距离公式求两对角线；又如， 亦可利用向量知识， 求向量 ab与 ac 和、差的模；两对角线长为 210,4 211因为 ab =(3

9、,5),oc=( 2, 1)，所以由 (ab toc) oc=0 知 t=516、（ 14 分）如图，四棱锥 p-abcd 中， pd平面 abcd ， pd=dc=bc=1,ab=2,ab dc， bcd=90 0(1) 求证： pc bc(2) 求点 a 到平面 pbc 的距离ppfddceca16题图bab简析：证：因pd底面 abcd ， bc 在底面上，所以pd bc ；又因 bcd=90 0，所以 bc dc；又 pd、dc 相交于 d ，所以 bc平面 pdc又 pc 在平面 pdc 上，所以 bc pc，即 pc bc在底面 abcd 上作 ae bc 交 cd 延长线于e，则

10、 e 在平面 pdc 上；在平面 pdc 上作 ef pc 交 pc 于 f，结合推知ef平面 pbc，所以垂线段 ef 长就是点 a 到平面 pbc 的距离。在 pec 中，利用面积的等积性有ec pd pc ef所以 ef=2 12= 2，所以点 a 到平面 pbc 之距为2此法求解，主要依据线面平行时，直线上每一点到平面的距离都相等；另外，本题也可以通过构造三棱锥，利用等积法来求点面距；如三棱锥a pbc 与三棱锥 p abc 实为同一个锥， 而三棱锥p abc 的底112，面积 = ab bc=1 ，高 =pd=1 ；三棱锥 a pbc 的底面积 = pc bc=222.所以可求得三棱

11、锥a pbc 的高为2，亦即点 a 到平面 pbc 的距离为217、（ 14 分）某兴趣小组测量电视塔ae 的高度 h(单位 m），如示意图，垂直放置的标杆bc 高度 h=4m ，仰角 abe= ， ade= (1) 该小组已经测得一组、的值，tan =1.24,tan =1.20,请据此算出 h 的值(2) 该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d（单位m），使与之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m，问 d 为多少时，最大echdbad17题图解析：18.（ 16 分）在平面直角坐标系 xoy 中，如图，已知椭圆x2 y29 + 5 =1 的左右顶点为

12、a,b ，右焦点为 f，设过点t(t,m) 的直线 ta,tb 与椭圆分别交于点m(x 1,y1)， n(x 2,y2)，其中 m0,y 10,y2cs求证： c 的最大值为92.20.（ 16 分）设 f(x) 使定义在区间 (1,+ )上的函数，其导函数为 f (x).如果存在实数 a 和函数 h(x) ，其中 h(x) 对任意的 x (1,+ )都有 h(x)0 ，使得 f (x)=h(x)(x 2ax+1) ，则称函数 f(x) 具有性质 p(a).b+2设函数f(x)=h(x)+ x+1(x1) ，其中 b 为实数求证：函数f(x) 具有性质p(b)求函数 f(x) 的单调区间已知函

13、数 g(x) 具有性质 p(2) ，给定 x1,x2 (1,+ )，x11， 1 ，若 |g( ) g( )|g(x 1) g(x2 )|,求 m 的取值范围.【理科附加题】21（从以下四个题中任选两个作答，每题10 分）几何证明选讲ab 是 o 的直径， d 为 o 上一点，过点d 作 o 的切线交 ab 延长线于c，若 da=dc ，求证 ab=2bcdabco.矩阵与变换xoy 中， a(0,0),b(-3,),c(-2,1),k001在平面直角坐标系设 k 0，k r，m=1,n=,点 a 、b、c 在矩010阵 mn 对应的变换下得到点 a 1,b1 ,c1, a 1 b1c1 的面积是 abc 面积的 2 倍，求实数 k 的值参数方程与极坐标在极坐标系中，圆 =2cos与直线 3 cos+4 sin +a=0 相切，求实数 a 的值不等式证明选讲已知实数a,b 0，求证： a3+b3ab(a2+b2).22、（ 10 分）某厂生产甲、乙两种产品，生产甲产品一等品80%，二等品 20%；生产乙产品，一等品90%，二等品