课件_SARS的传播.ppt

1、数学建模案例选讲,SARS 的传播 (2003 年 A 题),一、SARS 的传播 SARS(严重急性呼吸道综合症，俗称：非典型肺炎)是 21 世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS 的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。请你们对 SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下：,(1) 对附件 1 所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。 (2) 建立你们自己的模型，说明为什么优于附件 1 中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供

2、可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后 5 天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件 2 提供的数据供参考。,(3) 收集 SARS 对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。附件 3 提供的数据供参考。 (4) 给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。 以下只考虑建立 SARS 的传播模型。,二、微分方程 在研究一些涉及到变化规律的问题，特别是所研究的问题中涉及变量的变化率时，我们就可考虑微分方程模型。 许多自然现象以及社会、经济、工程等领域中的问题，如传染病的蔓延，种群的相互竞争，经济增

3、长的预测等，均可以通过微分方程模型来描述。,所谓微分方程，就是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程。未知函数是一元函数的微分方程，称之为常微分方程；未知函数是多元函数的微分方程，称之为偏微分方程。,下面列出的等式都是微分方程。 Malthus人口方程： 虎克定律, 牛顿万有引力方程： 波动方程, 热传导方程： 势方程或 Laplace 方程,许多自然现象以及社会、经济、工程等领域中的问题，如地震破坏程度的估计，传染病的蔓延，种群的相互竞争，经济增长的预测等，其内在规律和发展趋势的描述，不能通过实验的方式来实现，必须通过机理分析的方法用微分方程模型来表示。,这些问题又不像高等数学

4、课程中所谓的微分方程应用题那样：假设条件给定，求解的结果就是问题的答案，并且答案是唯一确定的；而是要分析具体情况或进行类比才能给出假设条件，做出不同的假设，就会得到不同的方程(模型)；结论也不是确定的、唯一的，求解的结果还要用来解释实际现象并接受检验。,三、传染病传播模型 人们不可能去做传染病传播的试验以获取数据，从医疗卫生部门得到的资料也是不完全和不充分的。不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点，弄清这些特点需要相当多的病理知识，这里更不可能从医学的角度来分析各种传染病的传播，所以，我们只能按照一般的传播机理建立模型。,传染病传播问题和自然科学中一些已经有确定规率的问题不同，不可能立即

5、对它做出恰当的假设，建立完善的模型，只能先做出最简单的假设，建立模型，得出结果，分析是否符合实际，然后针对其不合理或不完善处，进行修改或补充假设，逐步得到较为合理的模型。,模型 1 (SI 模型) 假设条件 (1) 人群分为易感染者(Susceptible)和已感染者(Infective)两类，以下简称健康者和病人。时刻 t 这两类人在总人数中所占的比例分别记为s(t) 和 i(t)。 (2) 在疾病传播期内所考察地区的总人数 N不变，既不考虑生死，也不考虑迁移，并且时间以天为计量单位。,(3) 每个病人每天有效接触的平均人数是常数 ， 称为日接触率。当病人与健康者有效接触时，使健康者受感染变

6、为病人。,根据假设，每个病人每天可使 s(t) 个健康者变为病人。因为病人数为 Ni(t)，所以每天共有 Ns(t)i(t) 个健康者被感染，即病人数 Ni(t) 的增加率为 Ns(t)i(t)。于是得到人员流程图如下,进而有 再设初始时刻(t = 0)病人的比例为 i0，则由 s(t) + i(t) = 1，得到初值问题,初值问题的解为,可画出 i(t) t 和 di/dt i 的图形为,i(t) t 的图形,di/dt i 的图形,于是可知： 当 t 时，i1，即所有人终将被传染，全变为病人(见下图及公式)。 这显然不符合实际情况。其原因是模型中没有考虑到病人可以治愈，人群中的健康者只能变

7、成病人，病人不会再变成健康者。, 然而，这个模型在传染病流行的前期还是可用的，可用它来预报传染病高潮的到来：当 i = 1/2 时，di/dt 达到最大值 (di/dt)m，这个时刻为 这时病人增加得最快，可以认为是医院得门诊量最大的一天，预示着传染病高潮的到来，是医疗卫生部门关注的时刻(见 di/dt i 图)。, 还可以看出，tm 与 成反比。因为日接触率 表示给定地区的卫生水平， 越小卫生水平越高，所以改善保健设施、提高卫生水平可以推迟传染病高潮的到来。,模型 2 (不考虑出生和死亡的 SIS 模型) 有些传染病如伤风、痢疾等治愈后免疫力很低，可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变成健康者

8、，健康者还可以被感染再变成病人，所以在 SI 模型的基础上，增加一个假设条件就会得到 SIS 模型。,假设条件 (1) 人群分为易感染者(Susceptible)和已感染者(Infective)两类，以下简称健康者和病人。时刻 t 这两类人在总人数中所占的比例分别记为 s(t) 和 i(t)。 (2) 在疾病传播期内所考察地区的总人数 N不变，既不考虑生死，也不考虑迁移，并且时间以天为计量单位。,(3) 每个病人每天有效接触的平均人数是常数 ， 称为日接触率。当病人与健康者有效接触时，使健康者受感染变为病人。 (4) 每天被治愈的病人数占病人总数的比例为常数 ，称为日治愈率。病人被治愈后称为仍

9、可被感染的健康者，1/ 称为这种传染病的平均传染期。,如果考虑到假设条件 (4)，则人员流程图如下,于是有,记初始时刻的病人的比例 i0(i0 0)，从而 SI 模型可以修正为,我们称之为 Bernolli(贝努里)方程的初值问题，其解析解为,其中 = /。 由 和 1/ 的含义可知， 是整个传染期内每个病人有效接触的平均人数，称为接触数。于是有,我们画出 di/dt i 和 i t 的图形为,di/dt i 的图形 （ 1）,i(t) t 的图形 （ 1）,di/dt i 的图形 （ 1）,i(t) t 的图形 （ 1）,模型 3 (考虑出生和死亡的 SIS 模型) 当传染病的传播周期比较长

10、时，若不考虑出生和死亡因素显然不妥，接下来考虑带有出生和死亡情况的 SIS 模型。 假设条件 (1) 人群分为易感染者(Susceptible)和已感染者(Infective)两类，以下简称健康者和病人。时刻 t 这两类人在总人数中所占的比例分别记为 s(t) 和 i(t)。,(2) 在疾病传播期内所考察地区的总人数为N，总认为人口的出生率与死亡率相同，并且新生婴儿全为易感染者。记平均出生率为 ，则人口的平均寿命为 1/。 (3) 每个病人每天有效接触的平均人数是常数 ， 称为日接触率。当病人与健康者有效接触时，使健康者受感染变为病人。,(4) 每天被治愈的病人数占病人总数的比例为常数 ，称为

11、日治愈率。病人被治愈后称为仍可被感染的健康者，1/ 称为这种传染病的平均传染期。 在上述的假设条件下，人员流程图如下,于是有,记初始时刻的健康者和病人的比例分别是 s0(s0 0)和 i0(i0 0)，从而考虑出生和死亡的 SIS 模型为,而由 s + i = 1 有 ds/dt = di/dt，于是，上式的第二个方程变为恒等式，从而模型简化为 如果令 = /( + )，则 仍表示整个传染期内每个病人有效接触的平均人数，即接触数。于是，以下的求解与讨论与不考虑出生和死亡的 SIS 模型相同。,模型 4 (不考虑出生和死亡的 SIR 模型) 许多传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免

12、疫力，所以病愈的人既非健康者(易感染者)，也非病人(已感染者)，它们已经退出传染系统。,模型的假设条件为 (1) 人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者(Removed)三类，三类人在总人数 N 中占的比例分别为 s(t)，i(t) 和 r(t)。 (2) 病人的日接触率为 ，日治愈率为 ，传染期接触数为 = /。 (3) 在疾病传播期内所考察地区的总人数 N不变，既不考虑生死，也不考虑迁移，并且时间以天为计量单位。,在上述的假设条件下，人员流程图如下 于是有 s(t) + i(t) + r(t) = 1,记初始时刻的健康者和病人的比例分别是s0(s0 0)和 i0(i0 0)(不妨设移出者的

13、初始值 r0 = 0)，于是得到 SIR 模型为如下的初值问题,而由 s + i + r = 1 有 dr/dt = di/dt ds/dt ，于是，上式的第三个方程变为恒等式，从而模型简化为,上述的初值问题无法求出解析解，只能通过数值解法求出数值解。,例如，取 = 1， = 0.3，i(0) = 0.02，s(0) = 0.98，则求得数值解如下表。 相应的 i(t)、s(t) 曲线和 i s 曲线如下图。,SIR 模型的 i(t)、s(t) 曲线,SIR 模型的 i s 曲线,在实际应用 SIR 模型时，模型中的参数经常通过一些统计资料来估计。 事实上，能够求出解析解的微分方程模型是非常有

14、限的，所以人们经常利用定性理论从方程本身推出解的相关性质。 对于上述的 SIR 模型，就可以采用相轨线分析的方法，来获得i(t)、s(t) 的一般变化规律。(参教案，略),模型 5 (考虑出生和死亡的 SIR 模型) 模型的假设 (1) 人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者(Removed)三类，三类人在总人数 N 中占的比例分别为 s(t)，i(t) 和 r(t)。 (2) 病人的日接触率为 ，日治愈率为 ，传染期接触数为 = /。,(3) 在疾病传播期内所考察地区的总人数为N，总认为人口的出生率与死亡率相同，并且新生婴儿全为易感染者。记平均出生率为 ，则人口的平均寿命为 1/。 在上述的

15、假设条件下，人员流程图如下,此时由假设条件有 s(t) + i(t) + r(t) = 1,记初始时刻的健康者和病人的比例分别是s0(s0 0)和 i0(i0 0)(不妨设移出者的初始值 r0 = 0)，于是得到考虑出生和死亡的 SIR模型如下,而由 s + i + r = 1 有 dr/dt = di/dt ds/dt，于是，上式的第三个方程变为恒等式，从而模型简化为,采用相轨线分析，可以证明： 若 1，则 i = 0，s = 1； 若 1，则 i = ie，s = se，于是 (ie, se) = (1/, (1)/),四、SARS 的传播模型 SARS 作为一种传染病，它的发生、传播、控

16、制与消失有着传染病的一般规律。而它作为一种新发生的传染病，又具有特殊性传染性强、一旦感染就有生命危险。 由于人们初期对 SARS 认识不足，导致传染范围过广，速度过快，这和以往的传染病不同。但我们仍可根据传染病建模原理，建立 SIR 及其推广模型。它们的基本思路相同，差异在于人口分类的多少，关键在于参数的确定。,1. 问题的分析 建立 SARS 模型，需要我们考虑以下几个方面。 了解 SARS 传播机理和传播状况，并且给出建模原理、方法、思路和框图。 模型中的人群至少有三类：易感者 S、确诊病人 I 和退出者 R(包括治愈与死亡)，也可以再加入潜伏者 Z、隔离者 Q、疑似病人 L 等，要弄清楚

17、他们之间的关系。, 模型应包含对于传染率、治愈率和死亡率等重要概念的清晰表述。模型分析和计算中要给出上述参数的估计方法和估计值。还可包括平均治愈天数、隔离率和潜伏期等参数。 模型的结果应该提供预测值(用数量或曲线来说明高峰期和持续时间)和隔离措施的效果(包括提前和推迟控制时间的影响，隔离人数多少的影响及遗漏病人的影响)。对于结果的分析应包括误差分析及模型和方法的通用性分析。,2. 基本假设 在了解 SARS 传播机理的基础上，不难做出如下的合理假设。 单位时间内感染人数与现有的感染者成比例，称之为传染率； 单位时间内治愈人数与现有的感染者成比例，称之为治愈率； 单位时间内死亡人数与现有的感染者

18、成比例，称之为死亡率；, SARS 患者治愈恢复后不再被感染； 可以忽略各类人口的自然死亡率，忽略迁移的影响。 上述的三个比例系数传染率、治愈率和死亡率是三个最关键的参数，它们可以是常数，也可以是时间或人口的函数。,传染率的含义是每天每个 SARS 感染者传染的人数，其确定的原则是：当天新增 SARS病人人数除以当天 SARS 感染者人数，再进行曲线拟合即可。 治愈率和死亡率是 SARS 患者每天治愈和死亡所占的比例，可以通过当天 SARS 感染治愈和死亡人数除以当天 SARS 感染人数，再进行曲线拟合即可。,3. SARS 模型的假设、参数说明及建立 3.1 假设 地区人口总数 N 可视为常

19、数，流入人口等于流出人口。 据人口所处的健康状态可将人群分为健康者、SARS 病人、疑似 SARS 病人、隐性感染者、退出者(被治愈者、免疫者和死亡者)等情况。 在政府的强制措施下，人口基本不流动，故无病源的流入和流出，避免了交叉感染，降低了感染基数。, 隔离的人断绝了与外界的联系，不具有传染性。 SARS 康复者二度感染的概率为 0。 国家完善了监控手段，加强了对 SARS 病毒监控的力度，故可假设所有感染 SARS 病毒的人群都进入了 SARS 病人类和疑似类。 由于对 SARS 病原体的研究不够深入，无有效药物可以使人体免疫，同时 SARS 病毒感染后，大量繁殖，破坏免疫系统，故不可免疫

20、。,3.2 参数的设定和符号说明 s(t): t 时刻健康者（不包括病愈和死亡）在总 体人群中的比例； i(t)：t 时刻SARS病人在总体人群中的比例； l(t)：t 时刻疑似病人在总体人群中的比例； r(t)：t 时刻被治愈者、死亡者和免疫者在总体 人群中的比例之和； z(t)：t 时刻潜伏病人在总体人群中的比例；,：SARS病人日接触率：每个病人每天有效接触（足以使健康者受感染变为病人）的平均人数. ：日治愈率：每天被治愈的病人占病人总数的比例. ：日转化率：每天危险群体中的疑似病人被确诊为SARS患者的比例. ：每天危险群体中的疑似病人被确诊为SARS免疫者的比例.,：日死亡率：每天S

21、ARS病人死亡的数量和当天病人总数量的比值. ：疑似感染率：每天健康者被感染为疑似病人的比例. ：隐性感染者被确诊为病人占总隐性患者的比例. ：隐性感染者被确诊为免疫者占总隐性患者的比例. ：健康者转换为隐性感染者占总健康者的比例.,3.3 SARS 传播模型 SARS 的 SIR 模型 SARS 作为一种传染病，符合传染病的传播机理。当传染病处于初始阶段，人们对其认识不足，对病人没有进行分类(疑似、确诊)，也无控制措施，因此处于一种自然传播状态，可以将总人口分成三类：易感者、病人和退出者时，可直接套用前面的 SIR 模型处理问题。,由假设，每个病人每天可使 1s(t) 个健康者变为病人，因为

22、病人人数为 Ni(t)，所以每天共有 1Ns(t)i(t) 个健康者被感染，于是 1Nsi 就是病人数 Ni 的增加率。 又因为每天治愈率为 ，死亡率为 ，所以 每天有 Ni 个病人被治愈，有 Ni 个病人死亡。 于是，病人的变化率为,由于 s(t) + i(t) + r(t) = 1，且对于移出者有 故 SARS 传染病的 SIR 模型如下：,SARS 的 SILR 模型 随着人们对 SARS 病情的了解，政府采取强有力的预防措施，医院也对病人进行了分类(疑似、确诊)。故此时我们可将人群分为四类：易感者、病人、疑似病人及移出者，其人员框图和建立 SILR 模型如下：,而由 s(t) + i(

23、t) + l(t)+r(t) = 1，有 dr/dt = di/dt ds/dt dl/dt 上式中的第四个方程变为恒等式，于是得到简化三维模型：,SARS 的 SILZR 模型 我们也可考虑易感者中包含处于潜伏期的病人的情况。此时我们将人群分为五类：易感者、潜伏期病人、确诊病人、疑似病人及退出者，其人员框图和建立的 SILZR 模型如下：,而由 s(t) + i(t) + l(t)+r(t)+ z(t) = 1，有 dr/dt = di/dt ds/dt dl/dt dz/dt ， 于是上述系统简化为如下的四维系统,3.4 模型求解 3.4.1 参数的确定和分析 (1) 参数 、 的确定,利

24、用 EXCEL 电子表格处理附件 2 中所给的数据得： = 0.055076， = 0.038183 = 0.002443 注：也可根据附件 2 中所给数据，画出上述各个参数的统计曲线，再根据统计曲线画出其对应的概率分布，取其概率平均值作为参数值。,(2) 参数 1 和 2 的确定 确定 1。 显然，从我们建立的模型无法得到 s、i 的解析解，因为所得到的模型均为非线性的。 为了解决这个问题，我们采用 MATLAB软件中“龙格库塔”方法求它们的数值解。具体确定方法如下：,第一步，通过附件中给的实际统计数据算出每一天的 s 和 i，做出它们与时间的函数关系，如图 2.3.1 所示。 图 2.3.1 根据实际数据