因式分解的应用

1、因式分解的应用山东 张国军因式分解是中考命题中很重要的一个考点，单独命题的题型多见填空题、选择题，也经常与方程、函数、化简求值、分式运算、根式运算等知识电结合进行综合考察因此，复习这一部分应从定义、方法、和一般步骤三个方面入手，在正确理解其定义、方法、和一般步骤的基础上应当明确运用公式法分解因式的思路：当多项式只有两项，各项指数都是2的倍数，且两项系数异号时，可考虑用平方差公式加以分解；若多项式为三项时，可考虑用完全平方式加以分解；若四项以上多项式，可考虑分组分解分解因式时，常见的思维误区有：1、 提公因式时，其公因式应找字母指数最低的，而不是以首项为准2、 提取公因时，如有一项被全部提出，括

2、号内的项“1”易漏掉3、 结果不彻底，如保留中括号形式等只要掌握了以上几点，分解因式就不难在此，主要是讲一下：利用因式分解巧妙地简化计算或求值，解方程，解实际应用问题，解决整数论等问题：典例剖析：例1、解方程：（x+1）(x2-1)-(x-1)3=(2x+1)(2x-1)析答：先化简方程得：（x-1）(x+1)2-(x-1)2=4x2-1，即4x(x-1)=4x2-1,-4x=-1.x=配套练习1：(x-1)(x+2)+(x+3)(x-4)+(x-1)(x+3)+(x+2)(x-4)=(2x-1)2答案：x=例2：解方程组：析答：由平方差公式，得配套练习2：正方形甲的周长比正方形乙的周长长96

3、cm，它们的面积相差为960cm2 ，求这两个正方形的边长答案：正方形甲的边长为32 cm，正方形乙的边长为8cm.例3、如图，水压机有4根钢管立柱，每根的高h都是18 米，外径D为1米，内径d为0.4米，每立方米钢的重量为7.8吨，求4根立柱的总重量（取3.14，结果保留两个有效数字） D d h析答：易知，R=D=0.5米，r=d=0.2米，W=（0.52-0.22）187.84=答：4根立柱的总重量为3.7102吨配套练习3：在一块边长为am的正方形铁皮的四角，各剪去一个边长为b（b）m的正方形，求其余部分的面积，并利用因式分解计算，当a=1.8m,b=0.6m时剩余部分的面积答案：其余

4、部分的面积为1.8m2.例4、利用因式分解计算：（1）1.992-2.992；（2）803.52+1603.51.5+801.52（3）（4）1297的5%，减去897的5%，差是多少？精析：（1）（3）先用平方差公式分解后再计算，（2）先提取公因式80，再用完全平方公式；（4）先提取公因式5%解：（1）1.992-2.992 =（1.99+2.99）-（1.99-2.99）=4.98（-1）=-4.98（2）803.52+1603.51.5+801.52 =80（3.52+23.51.5+1.52） =80（3.5+1.5）2 =2000 （3）= （4）12975%-8975%=（1297

5、-897）5%=4005%=20解后反思：化零为整是计算的技巧之一，要认真掌握配套练习4：（1） 869的36%，加上869的54%，和是多少？（2）计算：1002-992+982-972+22-1答案： （1）782.1；（2）5050例5、已知a、b、c为三角形三边，且满足a2+b2+c2-ab-bc-ac=0 ，试说明该三角形是等边三角形精析：联系完全平方公式中各项特征解：a2+b2+c2-ab-bc-ac=0，2（a2+b2+c2-ab-bc-ac）=0， a2+b2-2ab+b2+c2-2bc+a2+c2-2ac=0，（a-b）2+(b-c)2+(a-c)2=0,又因为（a-b）20，(b-c)20，(a-c)2 0，所以 a-b=0，b-c=0，a-c=0，所以a=b=c所以此三角形为等边三角形规律探究：本题是一道因式分解与三角形综合的探索性题目，解题关键在于恰当分组后，应用非负数的性质使问题得到解决配套练习5：（1）已知：a2+