高数常系数非齐次线性微分方程

1、9/23/2020,常系数非齐次线性微分方程,第八节,一、,二、,9/23/2020,二阶常系数线性非齐次微分方程 :,根据解的结构定理 , 其通解为,求特解的方法,根据 f (x) 的特殊形式 ,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 ., 待定系数法,9/23/2020,一、, 为实数 ,设特解为,其中 为待定多项式 ,代入原方程 , 得,为 m 次多项式 .,(1) 若 不是特征方程的根,则取,从而得到特解,形式为,Q (x) 为 m 次待定系数多项式,9/23/2020,(2) 若 是特征方程的单根 ,为m 次多项式,故特解形式为,(3) 若 是特征方程的重根 ,是 m 次

2、多项式,故特解形式为,小结,对方程,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .,即,即,当 是特征方程的 k 重根 时,可设,特解,9/23/2020,代入方程,即可确定系数：,从而确定特解.,特解的形式为,将,9/23/2020,提示,因为f(x)Pm(x)ex3x1 0不是特征方程的根 所以非齐次方程的特解应设为 y*b0 xb1 把它代入所给方程 得,例1 求微分方程y2y3y3x1的一个特解,解,齐次方程y2y3y0的特征方程为r22r30,b0 xb12b0 xb13b0 xb1,3b0 x2b03b1,2b03b0 x3b1,3b0 x2b03b13x1,提示,3b03 2b03b1

3、1,9/23/2020,例2 求微分方程y5y6yxe2x的通解,解,齐次方程y5y6y0的特征方程为r25r 60,其根为r12 r23,提示,齐次方程y5y6y0的通解为YC1e2xC2e3x ,因为f(x)Pm(x)exxe2x 2是特征方程的单根 所以非齐次方程的特解应设为 y*x(b0 xb1)e2x 把它代入所给方程 得,2b0 x2b0b1x,提示,2b01 2b0b10,因此所给方程的通解为,9/23/2020,二、,第二步 求出如下两个方程的特解,分析思路:,第一步将 f (x) 转化为,第三步 利用叠加原理求出原方程的特解,第四步 分析原方程特解的特点,9/23/2020,

4、第一步,利用欧拉公式将 f (x) 变形,9/23/2020,第二步 求如下两方程的特解,是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1),故,等式两边取共轭 :,为方程 的特解 .,设,则 有,特解:,9/23/2020,第三步 求原方程的特解,利用第二步的结果, 根据叠加原理, 原方程有特解 :,原方程,均为 m 次多项式 .,9/23/2020,第四步 分析,因,均为 m 次实,多项式 .,本质上为实函数 ,9/23/2020,小 结:,对非齐次方程,则可设特解:,其中,为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1),上述结论也可推广到高阶方程的情形.,9/23/2020,例4.,的一个特

5、解 .,解: 本题,特征方程,故设特解为,不是特征方程的根,代入方程得,比较系数 , 得,于是求得一个特解,9/23/2020,例5.,的通解.,解:,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,比较系数, 得,因此特解为,代入方程:,所求通解为,为特征方程的单根 ,因此设非齐次方程特解为,9/23/2020,内容小结, 为特征方程的 k (0, 1, 2) 重根,则设特解为,为特征方程的 k (0, 1 )重根,则设特解为,3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形.,9/23/2020,思考与练习,时可设特解为,时可设特解为,提示:,1 . (填空) 设,9/23/2020,2. 求微分方程,的通解 (其中,为实数 ) .,解: 特征方程,特征根:,对应齐次方程通解:,时,代入原方程得,故原方程通解为,时,代入原方程得,故原方程通解为,