2016高考全国1卷理科数学试题和答案解析[精校解析版]

1、.2016 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）理科数学注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 用 2b 铅笔将答题卡上试卷类型a 后的方框涂黑.2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2b 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域内均无效.3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内. 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4、选考题的作答： 先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2b 铅笔涂黑 . 答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题

2、卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5、 考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.第卷一 . 选择题：本大题共12 小题 , 每小题 5 分 , 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的 .1.设集合 ax x24x 30 ，x 2x30, 则 a i b（ a）3, 3（ b）3, 3（ c） 1, 3（ d） 3 ,322222.设 (1i )x1 yi ，其中 x, y 是实数，则xyi（ a） 1（ b） 2（c） 3（d） 23. 已知等差数列 an前 9 项的和为27， a108 ，则 a100（ a） 100（b） 99（ c） 98（ d） 974. 某公司的

3、班车在 7:00 ，8:00 ，8:30 发车，小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10 分钟的概率是1123（ a） 3（b） 2（ c） 3（ d）45. 已知方程x2y24, 则 n 的取值范围m2n3m21表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为n.是（ a）1,3（ b）1,3（c）0,3（ d）0,36. 如图 , 某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径 . 若该几何体的体积是28, 则它的表面积是3（ a） 17（ b） 18（ c） 20（d） 287. 函数 y2x2ex在2,2的图像大致

4、为yy（ a）1（ b）12o2 x2o2 xyy11（ c）2o2 x（ d） 2o2 x8. 若 ab 10， c1, 则（ a） acbc（ b） abcba c（ c） alog b cblog a c （ d） log a clog b c9. 执行右面的程序框图, 如果输入的 x0， y1， n1, 则输出 x, y 的值满足（ a） y2x（ b） y3x （c） y 4x（ d） y 5x开始10. 以抛物线c的顶点为圆心的圆交c于 、两点，交c的准线a b于 d、e 两点 . 已知 | ab|= 42 ,| de|=25 , 则 c的焦点到准线的距输入x,y,nn-1离为n=

5、n+1x=x+，y=ny2(a)2(b)4(c)6(d)811. 平面过正方体 abcd-a1b1c1d1 的顶点 a,/ 平面 cb1d1,x2+y236？否是i平面 abcdmi平面 ab b1a1n则 m、 n 所成角的正弦值为输出x,y= ,= ,(a)3(b)231结束2(c)(d)233.12. 已知函数 f ( x) sin( x+ )(0，), x为 f ( x) 的零点 , x为 yf (x) 图2445像的对称轴，且f (x) 在，单调，则的最大值为18 36（ a） 11（b） 9（ c） 7（ d） 5二、填空题：本大题共3 小题 , 每小题5分13.设向量a=( ,1

6、)，=(1,2)，且 |+|2=|a| 2+|2，则 =mba bbm14.(2 xx )5 的展开式中， x3 的系数是（用数字填写答案）15.设等比数列an满足 a +a=10， a +a =5，则na a a的最大值为13241216. 某高科技企业生产产品 a 和产品 b需要甲、乙两种新型材料 生产一件产品 a 需要甲材料 1.5kg ，乙材料 1kg ，用 5 个工时；生产一件产品 b 需要甲材料 0.5kg ，乙材料 0.3kg ，用 3 个工时生产一件产品a 的利润为2100 元，生产一件产品b 的利润为900 元该企业现有甲材料150kg ，乙材料 90kg，则在不超过600

7、个工时的条件下， 生产产品 a、产品 b 的利润之和的最大值为元三 . 解答题：解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.17. （本小题满分为 12 分）abc 的内角 a， b， c的对边分别为a，b， c，已知 2cos c (a cos b+b cos a)c.（ i ）求 c；（ ii ）若 c7 ，abc 的面积为 3 3 ，求abc 的周长218. （本小题满分为 12 分）如图，在以 a，b，c， d， e，f 为顶点的五面体中，面 abef为正方形，af=2fd，afd90o ，且二面角d- af- e 与二面角 c- be- f 都是 60o （ i ）证明：平面 abef

8、 平面 efdc；（ ii ）求二面角 e- bc- a 的余弦值dcf.19. （本小题满分12 分）某公司计划购买2 台机器 , 该种机器使用三年后即被淘汰. 机器有一易损零件 , 在购进机器时 , 可以额外购买这种零件作为备件, 每个 200 元. 在机器使用期间, 如果备件不足再购买 , 则每个 500 元. 现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件, 为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数, 得下面柱状图：频数40200891011更换的易损零件数以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替1 台机器更换的易损零件数发生的概率, 记 x 表示 2台机器三年

9、内共需更换的易损零件数, n 表示购买2 台机器的同时购买的易损零件数.（ i ）求 x 的分布列；（ ii ）若要求p( xn)0.5 , 确定 n 的最小值；（ iii）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据, 在 n19 与 n20 之中选其一 , 应选用哪个？20. （本小题满分12分）设圆x2y22x 15 0,直线 l 过点 b（1,0）且与 x 轴不的圆心为 a重合，l交圆a于,两点，过b作的平行线交于点 .c dacade（ i ）证明 eaeb 为定值，并写出点e 的轨迹方程；（ ii ）设点 e 的轨迹为曲线 c1，直线 l 交 c1 于 m, n两点，过 b且与 l 垂

10、直的直线与圆a 交于 p, q两点，求四边形mpnq面积的取值范围 .21.（本小题满分 12f xx 2 ex a2分）已知函数x 1 有两个零点 .(i)求 a 的取值范围；(ii) 设 x,x是 fx 的两个零点 ,证明： x1 x2 2 .12.请考生在22、23、 24 题中任选一题作答, 如果多做 , 则按所做的第一题计分.22. （本小题满分 10 分）选修 4-1 ：几何证明选讲如图， oab是等腰三角形，aob=120. 以 o为圆心， 1 oa为半径作圆 .2(i) 证明：直线 ab与 o相切；(ii) 点 c， d在 o上，且 a， b， c， d四点共圆，证明： ab

11、cd.dcoab23. （本小题满分 10 分）选修 4 4：坐标系与参数方程在直角坐标系 x y 中，曲线 c1的参数方程为xa cost（t 为参数， a 0）y1 a sin t在以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线c2： = 4 cos.（ i ）说明 1 是哪一种曲线，并将1 的方程化为极坐标方程；cc（ ii ）直线 c 的极坐标方程为0 ，其中0 满足 tan 0=2，若曲线 c与 c的公共点都在c上，3123求 a24. （本小题满分 10 分）选修 4 5：不等式选讲已知函数fxx12x3 .（ i ）画出 y f x 的图像；（ ii ）求不等式 f x

12、1 的解集.2016 年高考全国1 卷理科数学参考答案题号123456789101112答案dbcbaadccbab1. ax x24 x 3 0x 1 x 3 ， bx 2 x 3 0x x3 2故 a ibx 3x32故选 d2. 由 1ix1yi 可知： xxi1yi ，故x1 ，解得：x1 xyy1所以， xyix2y22 故选 b3. 由等差数列性质可知：s99 a1a992a59a5 27，故 a53 ，22而 a108，因此公差 da10a51105 a100a1090d98 故选 c4. 如图所示，画出时间轴：7:307:407:508:008:108:208:30acdb小明

13、到达的时间会随机的落在图中线段ab 中，而当他的到达时间落在线段ac 或 db 时，才能保证他等车的时间不超过10 分钟根据几何概型，所求概率 p10 101 402故选 b.5.x2y21 表示双曲线，则22m2n 3m2mn 3m n 0n m2 n 3m2由双曲线性质知：c2m2n3m2n 4m2 ，其中 c 是半焦距焦距 2c2 2 m4，解得 m1 1 n3故选 a6. 原立体图如图所示：是一个球被切掉左上角的1 后的三视图8表面积是7 的球面面积和三个扇形面积之和8s= 7422 +3122 =1784故选 a7. f 28 e282.820，排除 af 28e282.721 ，排

14、除 bx 0 时， f x2x2ex f x 4x ex ，当 x0, 1 时， f x14 e0044因此 fx 在0, 1 单调递减，排除c4故选 d8. 对 a：由于 0c1，函数 y xc 在 r 上单调递增，因此 a b 1acbc ，a 错误对 b：由于1c1 0 ，函数 y xc 1 在 1,上单调递减， a b 1 ac 1bc 1bacabc ， b 错误.对 c：要比较 alogb c 和 bloga c ，只需比较 a ln c和 b ln c ，只需比较ln c 和 ln c，只需 bln bln bln abln baln a和 a ln a构造函数 fxx ln x

15、 x1 ，则 f xln x 11 0 ， fx 在 1,上单调递增，因此 f afb 0aln a bln b011a ln ab ln b又由 0c 1得 ln c0 ， ln caln a对 d：要比较 loga c 和 logb c ，只需比较ln cblog a ca logb c ， c 正确b ln bln c 和 ln cln aln b而函数 yln x 在 1,上单调递增，故ab 1ln aln b110ln bln a又由 0c1得 ln c0 ， ln cln clog a clog b c ， d 错误ln aln b故选 c9. 如下表：循环节运x x x n 1判

16、断是否y y nyn n n 1行次数2x2y236输出运行前01/1第一次01否否2第二次12否否32第三次36是是2输出 x3 ， y6 ，满足 y4x2故选 c10. 以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理设抛物线为y22 pxp0 ，设圆的方程为x2y2r 2 ，题目条件翻译如图：设 a x0 ,22 ， dp , 5 ，2.点 ax0 ,22在抛物 y22 px 上， 82 px0 p ,p2点 d5在 x2y2r2 上， 5r 2 22点 ax0 ,2222228 r2在 xyr上， x0 立解得： p4 ，焦点到准 的距离 p 4 故 bdcba11. 如 所示： 平面 cb

17、1d1 ，若 平面 cb1 d1 i 平面 abcd m1 ，c1d 1则 m1 ma1b 1又平面 abcd 平面 a1 b1c1 d1 ， 合平面 b1d1c i 平面 a1 bc11 d1b1 d1 b1d1m1 ，故 b1d1m同理可得： cd1n故 m 、 n 的所成角的大小与b1 d1 、 cd1 所成角的大小相等，即cd1b1 的大小而 b cb dcd （均 面 交 ） ，因此cd b，即1 13 11 111 1sin cd b23故 a12. 由 意知： +k 41 +k2+ 42则2k 1 ，其中 k zq f ( x) 在, 5 ，518 t ,1218 3636122

18、接下来用排除法若11,， f (x) 在33,5 减，不 ，此 f (x)sin 11x, 增，在4418444436足 f ( x) 在 5单调,3618.若9,sin9x，满足f ( x) 在 5单调递减，此时 f ( x)418,436故选 b13.-214.1015 6416 216000rrm1,313. 由已知得： abrr2r 2r2m232m2121222 ，解得 m2 abab114 设展开式的第 k1项为 tk 1， k0,1,2,3,4,55 kk5k tk 1c5k2 xxc5k 25 k x 2 5k3时， k4 ，即 t5c54 2554当4 x2 10x32故答案

19、为 1015. 由于 an是等比数列，设 ana1q n 1 ，其中 a1 是首项， q 是公比a1a310a1a1q 210a18a2a45a1q a1q35，解得：1 q21n 4132 .n 411 n n 711 n7 249故 an，a1a2 . an222422223 或 4 时， 121当 nn749 取到最小值6 ，此时22421 n 7 2 492 24取到最大值26 所以 a1 a2 . an 的最大值为6416 设生产 a 产品 x 件， b 产品 y 件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，构造线性规则约束为.目标函数 z 2100 x 900 y作出可行域为

20、图中的四边形，包括边界，顶点为(60,100) (0,200) (0,0) (90,0)在 (60,100) 处取得最大值，z 2100 60 900100 21600017. 解： 2cos c a cos bb cos a c由正弦定理得：2cos c sin a cos bsin b cos asin c2cos c sinabsin c a b c ， a 、b 、c0 ， sinabsin c0 2cosc11 ， cosc2 c0 ， c3 由余弦定理得：c2a 2b22 ab cosc7a2b22ab 12ab23ab7s1absin c3ab33242 ab62 ab187ab

21、5 abc 周长为 abc57.18解： (1) abef 为正方形 afef afd 90 af df df i ef =f af 面 efdcaf面 abef平面 abef平面 efdc 由知dfecef60 ab efab平面 efdcef平面 efdc ab 平面 abcdab平面 abcd面 abcd i 面 efdccd ab cd cd ef四边形 efdc 为等腰梯形以 e 为原点，如图建立坐标系，设fdae 0 ，0 ，0b 0 ，2a ，0ca， ，3a，202a 2a 2a 0uuur，uuura ， 3，uuureb0，bc2aaab2a ，0 ，02a022urx ，

22、y ，z .设面 bec 法向量为 muruuur02ay10m ebx13 ，y10 ，z11uruuur，即ax12ay13a z10m bc022ur， ，m310r设面 abc 法向量为 nx2 ，y2 ，z2ruuura3nbc=0即 2x22ay22az20x20 ，y23 ，z24ruuur.nab02ax20.rn0，34设二面角 ebca的大小为 .urr4219cosm nurr3 131619mn二面角ebca 的余弦值为2191919 解： 每台机器更换的易损零件数为8， 9， 10， 11记事件 ai为第一台机器 3年内换掉 i7 个零件 i1,2,3,4记事件 bi

23、为第二台机器 3年内换掉 i7个零件 i1,2,3,4由题知 pa1pa3pa4p b1p b3p b40.2， p a2p b20.4设 2 台机器共需更换的易损零件数的随机变量为x ，则 x 的可能的取值为16， 17，18，19， 20， 21， 22px16p a1 p b10.20.20.04px17p a1 p b2p a2 p b10.20.40.40.20.16px18p a1 p b3p a2 p b2pa3pb10.20.2 0.20.20.40.40.24px19pa1p b4p a2 p b3pa3p b2p a4 p b10.20.20.20.2 0.4 0.20.2

24、0.40.24p x20p a2p x21pa3p x22pa4xpb4pa3 pb3pa4 pb20.40.2 0.2 0.4 0.2 0.2 0.2pb4pa4pb30.20.20.20.20.08pb40.20.20.0416171819202122p0.040.160.240.240.20.080.04 要令 p x n 0.5， q 0.04 0.16 0.240.5 ， 0.040.160.24 0.24 0.5则 n 的最小值为 19 购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用当 n19 时，费用的期望为19200500 0.2

25、 1000 0.08 1500 0.044040当 n20时，费用的期望为202005000.08 1000 0.04 4080所以应选用 n1920. (1) 圆 a 整理为 x2y216 ， a 坐标1,0，如图，14q beac ，则 cebd ，由 acad ,则 d c ，32 ebd d，则 eb ed ae eb ae ed ad 4c1ax42b241e所以 e 的轨迹为一个椭圆，方程为x2y221 ， ( y0 ) ；433d4. c1 : x2y21 ；设 l : xmy 1 ，43p因为 pq l ，设 pq : ym x 1 ，联立 l与椭圆 c1a4321nxxmy1

26、2224y26my9 0；xy得 3m431则| mn | 1 m2 | ymyn | 1 m236m236 3m2412 m23m243m2圆心 a 到 pq 距离 d|m1 1 | 2m |，1m21m2所以 | pq | 2 | aq |2d 22 164 m24 3m24 ，1m21 m21122212 m 1 4 3m 4 24 m 124smpnq| mn | | pq |222223m4143m3m21.（）f() (x1)x2(x1)(x1)( x2)xeaea （ i ）设 a0，则 f( x)(x2)ex ， f (x) 只有一个零点（ ii）设 a0 ，则当x(,1) 时

27、， f (x)0 ；当 x(1,) 时， f (x)上单调递减，在(1,) 上单调递增又 f(1)e ， f (2)a ，取 b 满足 b0且 bln a ，则a (b32f (b)2)a(b1)2a(b2b)0 ，22故 f (x) 存在两个零点（ iii）设 a0 ，由 f (x)0得 x1或 xln(2a)若 ae1 ，故当 x(1,) 时， f (x)0 ，因此 f (x)，则 ln( 2a)242b241qm2341；4112,8312m10 所以 f ( x) 在 (,1)在 (1,) 上单调递增 又.当x1f (x)0，所以f ( x)不存在两个零点时，若 ae1 ，故当x (1,ln( 2a) 时， f (x)0 ；当 x (ln( 2a),) 时，则 ln(