函数图像变换公式大全

1、.蕾博士函数图像变换公式大全一、点的变换 . 设 p( x0 , y0 ) ，则它（ 1）关于 x 轴对称的点为 ( x0 , y0 ) ；（ 2）关于 y 轴对称的点为 ( x0 , y0 ) ；（ 3）关于原点对称的点为 ( x0 , y0 ) ；（ 4）关于直线 y x 对称的点为 ( y0 , x0 ) ；（ 5）关于直线 yx 对称的点为 ( y0 , x0 ) ；（ 6）关于直线 y b 对称的点为 (x0 ,2b y0 ) ；（ 7）关于直线 xa 对称的点为 (2ax0 , y0 ) ；（ 8）关于直线 yxa 对称的点为 ( y0a, x0a) ;（ 9）关于直线 yxa 对

2、称的点为 (y0a, ax0 ) ;（ 10）关于点 ( a,b) 对称的点为 (2a x0 ,2b y0 ) ；（ 11）按向量 ( a,b) 平移得到的点为 ( x0 a , y0 b) .二、曲线的变换 . 曲线 f (x, y)0 按下列变换后所得的方程：(1) 按向量 ( a,b)平移，得到 f ( x a, y b) 0 ；(2)关于 x 轴对称，得到 f ( x, y)0；(3)关于 y 轴对称，得到 f ( x, y)0；(4) 关于原点对称，得到 f ( x, y) 0 ；(5)关于直线 xa 对称，得到 f (2ax, y)0；(6)关于直线 yb 对称，得到 f ( x,

3、2by)0；(7)关于点 ( a,b) 对称，得到 f (2ax,2by)0 ；(8) 关于直线 y x 对称，得到 f( y, x) 0；(9) 关于直线 y x a 对称，得到 f ( y a, x a) 0 ；.(10) 关于直线 yxa 对称，得到f ( xa, ay)0 ；(11) 纵坐标不变横坐标变为原来的a 倍，得到方程 f ( x , y)0 ；a(12) 横坐标不变纵坐标变为原来的b 倍，得到方程f( , y )0xb三、两个函数的图象对称性1: 左右平移 : yf (xa) （ a0 ）的图像可由 yf (x) 的图像向左（ +）或向右（）平移 a 个单位而得到； yf (

4、mx a)（ m0, a0 ）的图像可由 yf (mx)的图像向左（ +）或向右（）平移a 个单位而得到 ;m2. 上下平移：y f (x)的图像可由yf (x)的图像向上（ +）或向下（）b（ b 0）平移 b 个单位而得到；3.yf ( x) 的图像与 yf (x) 的图像关于 y 轴对称；换句话说：yf (x) 与yg( x) 若满足 f ( x)g(x) ，即它们关于 x0 对称。4.yf ( x) 的图像与 yf (x) 的图像关于 x轴对称；换句话说：yf (x) 与yg( x) 若满足 f ( x)g (x) ，即它们关于 y0 对称。5.yf ( x) 的图像与 yf ( x)

5、 的图像关于原点对称；6.y |f ( x) |的图像可如此得到：yf ( x) 的图像在 x 轴下方的部分以 x 轴为对称轴翻折到 x 轴的上方，其余不变；7.yf (| x |) 的图像：保留 yf ( x) 的图像在 y 轴右侧的部分，并沿 y 轴翻折到y 轴左边部分代替原 y 轴左边部分；8.y f (x a) 与 yf (bx) 关于直线 xb a 对称 ( 在函数 y f (ax) 上任取2一点 ( x1 , y1) ，则 y1f ( a x1 ) ，点 ( x1 , y1 ) 关于直线 xb a对称点（ ba12x1 ，y ）。由于 f b (b ax1 )f bb ax1 f

6、( ax1 )y1 , 故点（ b a x1， y1）在函数yf ( bx) 上。由点 ( x1 , y1) 是函数 yf ( ax) 图象上任一点因此yf (a x) 与yf ( bx) 关于直线 xba 对称。 ) ；换句话说 , yf ( ax) 与 yf ( xb) 关于2.直线 xa b 对称 ; 换句话说 ,yf (x) 与 yf (xb) 关于直线 xb 对称 .229.yf (x) 与 y2af ( x) 关于直线 ya 对称。换种说法： y f (x) 与 yg( x)若满足 f ( x) g( x)2a ，即它们关于 ya 对称；10.yf ( x)与 y2bf (2ax)

7、 关于点 (a,b) 对称。 换种说法：yf ( x) 与yg( x) 若满足 f ( x)g( 2ax)2b ，即它们关于点 ( a, b) 对称。特别提醒函数 yf (x) 与函数 yf (x) 的图象关于直线x0 ( 即 y 轴 ) 对称 .函数 yf (mx a) 与函数 yf (bmx) 的图象关于直线xa b对称 .2m特殊地 :y f ( xa) 与函数 yf (ax) 的图象关于直线xa 对称函数 yf (x) 的图象关于直线xa 对称的解析式为yf (2 ax)函数 yf (x) 的图象关于点 (a,0)对称的解析式为yf (2ax)函数 yf (x) 与 axf (ay)的

8、图像关于直线xya 成轴对称。11. 伸缩变换 : yaf ( x)( a0) 的图像，可将 y f ( x) 的图像上每一个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的a 倍而得到；12.yf (kx)( k0) 的图像，可将 yf ( x) 的图像上每一个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 1 倍而得到；k13.yf 1( x) 与 yf (x) 关于直线 yx 对称；14.yf 1 ( x) 的图像与 y f ( x) 的图像关于直线 yx 对称；15. 函数 yf (a mx) 的图像与 yf (b mx) 的图象关于直线 xb a 对称。2m四 . 单个函数的图象1. 若对任意 x, f ( x

9、a)f (bx) ，则 yf ( x) 的图像关于直线 x = a b 对称；反2之亦然 ; 若对任意 x ， f ( x)f (c x) ，则 y f ( x) 的图像关于直线 x = c 对称，2反之亦然；若 f ( xa) 是偶函数，则 yf ( x) 关于 x a 对称。（在 y f ( x) 上.任 取一 点 ( x1, y1 ) ， 则 y1f ( x1 ) ， 点 (x1, y1 ) 关 于 直线 xab 的对 称 点2( abx1 , y1)，当xabx1时f ( abx1 )f a(bx1 )f b( bx1 )f ( x1 )y1 ，故点 ( abx1, y1 ) 也在函数

10、 y f ( x) 图象上。由于点 ( x1 , y1) 是图象上任意一点， 因此，函数的图象关于直线 x a b 对称（特别地， a b 0 时，该函数为偶函数） .22.对任 意 x ，f ( xa)f (ax) （或 f ( x)f (2ax) 的充分 必要条件是yf (x) 的图像关于点 (a,0) 对称；3.若 f ( x) 有两 条对 称轴 xa 和 x b(ab) ( 证 明： f ( a x) f (a x)得f ( x)f (2a x) , f (bx)f (bx) 得 f ( x)f (2b x) f (2ax) f (2 b x) , f ( x)f (2b2ax)函数

11、yf ( x) 是周期函数，且2b 2a是一个周期。 ), 或有两个对称点 (a,0)和(b,0) （ ab ）, 则 2(ba) 是 f (x) 的一个周期；4.若 f (x) 以 x a 为对称轴，且以 (b,0) 为对称中心，则 4(ba) 是 f (x) 的一个周期；5. y f ( x) 的 图 像 关 于 点 (a,b) 对 称 的 充 分 必 要 条 件 是 对 任 意x, f (a x) f ( ax)2b 成立（更一般地， 若 f (a x) f (b x) c ，则 yf (x)的图像关于点 ( ab,c ) 对称 ( 在函数 yf (x) 上任取一点 ( x1 , y1)

12、 ，则 y1f (x1 ) ，22点 ( x1 , y1 ) 关于点（ a2b ， c ）的对称点（ a b x1 ， cy1），当 x a bx1 时，2f ( a b x1 ) c f b(b x1 ) c f (x1 ) cy1 , 即点（ a bx1 ， c y1 ）在函数y f ( x) 的图象上。由于点 ( x1 , y1 ) 为函数 y f ( x) 图象上的任意一点可知函数 y f (x) 的图象关于点（ a b ， c ）对称。（注：当 a=b=c=0 时，函数为奇函数。）22特别提醒：.函数 yf (x) 的图象关于点 (a,0) 对称f (x)函数 yf (x) 的图象关

13、于原点对称（奇函数）函数 yf ( x a) 是奇函数f ( x) 关于点 a,0f (2a x)。f ( x)f ( x) 。对称。6. 若 f ( xa)f (xb) ，则 f ( x) 是周期函数， ba 是它的一个周期7.对于非零常数a ，若函数 yf ( x) 满足 f ( xa)f ( x) ，则函数 yf ( x) 必有一个周期为 2a 。8. 对于非零常数 a ，函数 yf ( x) 满足 f ( xa)1，则函数 yf (x) 的一个周f ( x)期为 2a 。9. 对于非零常数 a ，函数 yf ( x) 满足 f (xa)1，则函数 yf (x) 的一个周f ( x)期为 2a 。10.已知函数 yf x对任意实数 x , 都有 faxfxb ，则 yfx 是以2a为周期的函数11.若函数 yf ( x) 对定义域中的任意 x 的值，都满足f ( a mx)f (bmx) ，则函数 yf (x) 的图象关于直线 xa b 对称 .212.对于非零常数 a ，函数 yf ( x) 满足 f (xa)1f (x) 或 f