上海市闸北区2016年高三数学二模(理)试卷及解析

1、.闸北区 2015 学年度第二学期高三数学（理科）期中练习卷一、填空题（ 60 分）本大题共有10 题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6 分，否则一律得零分1设函数 f ( x)axax (a0且 a1），且 f(1)3 ，则 f (0)f (1)f (2) 的值是2已知集合 a x | x2 |a ， b x | x22x30 ，若 ba ，则实数 a 的取值范围是3如果复数 z 满足 | z |1且 z2abi ，其中 a,br ，则 ab 的最大值是uuuruuuruuur4在直角坐标系xoy 中，已知三点 a(a,1), b(2, b), c (3,4) ，若

2、向量 oa ，ob 在向量 oc 方向上的投影相同，则3a4b 的值是5某科技创新大赛设有一、 二、三等奖 ( 参与活动的都有奖) 且相应奖项获奖的概率是以a 为首项， 2 为公比的等比数列，相应的奖金分别是以7000 元、 5600元、 4200 元，则参加此次大赛获得奖金的期望是元6 已知 f1 、 f2 是椭圆 c :x2y21(a b 0)的两个焦点，p 为椭圆上一点，且a2b2uuuruuuurpf1f2 的面积为9 ，则 bpfpf ，若127 abc 中， a,b, c 分别是a,b, c 的对边且 acc2b2a2 ，若 abc 最大边长是7 且 sin c 2sin a ，则

3、abc 最小边的边长为8在极坐标系中，曲线sin2 与sin2 的公共点到极点的距离为_9如右图， a 、 b 是直线 l 上的两点，且ab2 ，两c个半径相等的动圆分别与l 相切于 a 、b 两点， c 是这两个圆的公共点，则圆弧ac ，圆弧 cb 与线段ablab 围成图形面积s 的取值范围是10设函数 f (x)x21 ，对任意 x3,， fx4m2 f (x)f ( x1) 4 f ( m) 恒2m成立，则实数 m 的取值范围是二、 选择题（ 15 分）本大题共有3 题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5 分，否则一律

4、得零分.r rrr, 5 ) 的11已知 a 与 b 均为单位向量， 其夹角为，则命题 p : | ab | 1 是命题 q :26().a 充分非必要条件b 必要非充分条件c 充分且必要条件d 非充分且非必要条件12已知 s, a, b,c 是球 o 表面上的点，sa平面 abc ， abbc ， saab1bc2 ，则球 o 的表面积等于（）a 4b 3c 2d 13已知数列 an 的前 n 项和为 sn ，对任意正整数 n ， an 13sn ，则下列关于 an 的论断中正确的是（）a 一定是等差数列b 一定是等比数列c 可能是等差数列，但不会是等比数列d 可能是等比数列，但不会是等差数

5、列三、解答题（本题满分75 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤14（本题满分 12 分，第（ 1）小题 5 分，第（ 2）小题7 分）在长方体 abcda1b1c1d1 中， ab2 ， ad1 ， aa11 ，点 e 在棱 ab 上移动 .（1）探求 ae 等于何值时，直线d1e 与1cd平面 aa1 d1 d 成 45o 角；a1b1（2）点 e 移动为棱 ab 中点时，求点e 到dc平面 a1 dc1 的距离ae.b15、（本题满分 14 分，第（ 1）小题 6 分，第（ 2）小题8 分）某公司生产的某批产品的销售量p 万件（生产量与

6、销售量相等）与促销费用x 万元满足 px 2(其中 0x a ， a 为正常数 )已知生产该批产品还需投入成本6( p1 ) 万420 ) 元件p元( 不含促销费用 )，产品的销售价格定为(4p（ 1）将该产品的利润 y 万元表示为促销费用 x 万元的函数；（ 2）当促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？16（本题满分15 分，第（ 1）小题 7 分，第（ 2）小题 8 分）已知函数f ( x)sin(x) (0,0) 的周期为，图象的一个对称中心为,0. 将函数f ( x) 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍 ( 纵坐标不变 ) ，再将所得到4.的图象向右平移个单位长度后得到函数g

7、( x) 的图象2（1）求函数 f ( x) 与 g( x) 的解析式；（2）求证：存在x0 (, )，使得f (x0 )，g(x0 )，f ( x0 )g(x0 )能按照某种顺序 成等差64数列17（本题满分16 分，第（ 1）小题 8 分，第（ 2）小题 8 分）若动点 m 到定点 a(0,1) 与定直线 l : y3 的距离之和为4 （1）求点 m 的轨迹方程，并在答题卡所示位置画出方程的曲线草图；（2）记（ 1）得到的轨迹为曲线c ，问曲线 c 上关于点 b(0, t)(tr) 对称的不同点有几对？请说明理由18（本题满分18 分，第（ 1）小题 4 分，第（ 2）小题 6 分，第（

8、2）小题 8 分）已知数列 an ， sn 为其前 n 项的和，满足 snn( n 1)（1）求数列 an 的通项公式；2（2）设数列 1 的前 n 项和为 tn ，数列 tn 的前 n 项和为 rn ，求证：当 n2, n n * 时anrn 1n(tn1) ；（ 3 ）已知当nn * ，且 n6 时有 (1m)n( 1) m ，其中 m1,2,l , n ，求满足n323n4nl( n 2)n(an 3)an 的所有n 的值高三数学（理科）期中练习卷参考答案一、填空题1、 122、 a33、24、 25、 5000.6、37、18、139、(0,210、m3或 m3222填空题详解：1、解

9、： f (2)a2a 2(aa 1 )22f 2 (1) 37 ，原式237122、解： a x | 2a x2a ，b x |1x3 ，a2a1a3q b2a33、解：由 | z |1 可知 | z2| 1，a2b21(ab)22(a2b2 )2a b2取等 ab22uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuroa obob oc4、解： ：向量 oa ， ob 在向量 oc 方向上的投影分别为uuur，uuur，由uuuruuuruuuruuur|oc | oc |3a4uuur64b3a4b 2条件 oa obob oc ，即，uuuruuurab oc ， 即 ： 向 量

10、oa ， ob 在 向 量 oc 方 向 上 的 投 影 相 同 ，uuuruuur0 3(2a)4(b1)0 ，即 3a4b2ab oc5、解：设获得的奖金为元，则= 7000,5600,4200p(7000)a ， p(5600)2a ， p(4200)4a，q 7a1a17124e7000560042005000777uuuruuuurpf1f2 的面积为 9 ，1uuuruuuuruuuruuuur186、解： pf1pf2 ，2| pf1 | | pf2 |9, | pf1 | | pf2 |uuuruuuuruuuruuuruuuuruuuur2a222由椭圆定义， | pf1 |

11、 pf2 | pf1 |2| pf1 | pf2 | pf2 |4auuuruuuuruuuruuuur(2c)2代 入 上 式 得 ， (2c)2uuuruuuur(2a) 2q pf1pf2 ,| pf1 |2| pf2 |22| pf1| pf2 |，(2a)2(2c)2uuuruuuurb21 uuuruuuur9，b32| pf1 | pf2 | ，| pf1 | pf2 |27、解： q acc2b2a2cos b1，b2，最大边为 b又 q sin c2sin a ， c2a ，2a3最小边为由余弦定理 (7) 2a24a22a 2a(1 ) 解得 a128、解：联立方程组得(2

12、)213 ，又0 ，故所求为 1 39、解：两圆半径 r时，点 c 趋向直线 ab ，此时s0两圆外切时， r 1，s扇形=412 ，s=2-2=2-2，s （0, 2-4210、解：依据题意得x21 4m2 ( x21)( x1)21 4( m21) 在 x 3 ,) 上恒定成m22立，即 14m2321在 x 3 ,) 上恒成立。m2x2x2.当 x3 时 函 数 y3 21 取 得 最 小 值5 ， 所 以 14m25 ， 即2x2x3m23(3m21)(4m23)0 ，解得 m3或 m322二、选择题：11、 b12、a13、 c选择题详解：rrrr(,) 若, 5 )111、解：由向

13、量几何意义知| ab | 1| ab |32612、解： .由已知，球 o 的直径为2rsc 2，表面积为 4r2413 、解： n2 时有an13sn，则 an 1 an3(snsn 1 ) ，于是 an 1an3an ，即an3sn 1an 14an又 a23s1 ，即 a23a1 ，数列 an 一定不是等比数列。若 a10 ，则对任意正整数n ，有 an 0 ，它不是等比数列但它是等差数列三、解答题14、（本题满分 12分，第（ 1）小题 5 分，第（ 2）小题7 分）解：（ 1）法一：长方体abcda1 b1c1d1 中，因为点 e 在棱 ab 上移动，所以 ea平面 aa1 d1 d

14、 ，从而ed1 a 为直线 d1e 与平面 aa1d1d 所成的平面角，rted1 a中，ed1 a45oae ad2 .1法二：以 d 为坐标原点， 射线 da, dc , dd1 依次为 x, y, z 轴轴，建立空间直角坐标系，uuur， 设 e(1,y,0)则 点 d1(0,0,1) ， 平 面 aa1 d1d 的 法 向 量 为 dc(0, 2,0)， 得uuuuruuuur uuurd1e dcd1 e (1, y, 1)，由sin ，得 y2，故 ae2uuuur uuurd1e dc4（ 2）以 d 为坐标原点，射线da, dc, dd1 依次为 x, y, z 轴，建立空间直

15、角坐标系，则点e(1,1,0) ， a1 (1,0,1) ，c1(0, 2,1) ，uuuuruuuuruuur从而 da1(1,0,1) ， dc1(0,2,1) ， de(1,1,0)rr uuuurxz0( x, y, z) ，由n da10设平面 da1c1 的法向量为 nr uuuur2 yz0n dc10.r uuurr1，所以点 e 到平面 a1dc1 的距离为 dn de1.令 n ( 1,1)r2n15、（本题满分 14分，第（ 1）小题 6 分，第（ 2）小题 8 分）解：（ 1）由题意知，y (420) px6( p1 )pp将 px 2代入化简得：y19243 x（ 0

16、 xa ） .4x 22（2） y 223 (16x2)22316(x2)10 ，2x2x2上式当且仅当162,即 x2时，取等号。xx 2当 a 2 时 , 促销费用投入 2 万元时，厂家的利润最大 ;当 a2 时 ,易证y 在 x0,a 上单调递增 , 所以 x a 时 ,函数有最大值。综上：当 a2 时,促销费用投入2 万元，厂家的利润最大 ;当 0a 2时促销费用投入a 万元，厂家的利润最大。16、（本题满分15 分，第（ 1）小题 7 分，第（ 2）小题 8 分）解： (1) 、由函数 f ( x) sin(x) 的周期为，0 ，得22t又曲线 yf ( x) 的一个对称中心为,0，

17、(0, ) ，4故 fsin 20 ，得cos2 x2，所以 f ( x)44将函数 f (x) 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍 ( 纵坐标不变 ) 后可得 ycosx 的图象，再将ycosx 的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)=cos x 的图象，所以 g( x)sin x22(2) 、当 x, 时， 1sin x2， 0cos2 x1，64222所以 sin xcos2x sin x cos2x问题转化为方程2cos2 xsin x sin x cos2x 在 ,内是否有解64设 g (x)sin x sin x cos 2x2cos 2x ， x 6,4.q g ()1)2

18、0 ，0 ， g(2644且函数 g( x) 的图象连续不断，故可知函数g( x) 在 内存在零点 x0 ，6,4注：事实上可以证明这样的零点是唯一的任取 x1 , x2( ,) ，不妨 x1x264g ( x1) g ( x2 )(sin x1sin x2 )(sin x12)cos 2x1(sin x22)cos 2x2qx1x2，32x12x22cos2x1cos2x2 064又q sin x12sin x220，(sin x1 2)(sin x22)0由不等式的性质得(sin x12)cos 2 x1 (sin x22)cos 2x2 ， 又显然 sin x1 sin x2g (x1)

19、g (x2 )g ( x) 在, 内单调递增，可知函数 g (x) 在 , 内存在唯一零点646417、（本题满分 16 分，第（ 1）小题 8 分，第（ 2）小题8 分）解： (1)、设 m ( x, y) ，由题意x2( y1)2| y3|4 ：当 y3 时，有x2( y1)2y1 ，化简得： x24y ：当 y3 时，有x2( y1)27y ，化简得： x212( y4) （二次函数）综 上 所 述 ： 点m的 轨 迹 方 程 为x24 y, y3（如图）12( y 4), y 3(2) 、当 t 0 或 t 4 显然不存在符合题意的对称点当 0 t4 时，注意到曲线c 关于 y 轴对称

20、，至少存在一对（关于y 轴对称的）对称点下面研究曲线 c 上关于 b(0, t) 对称但不关于 y 轴对称的对称点设 p(x0 , y0 ) 是轨迹 x24 y ( y3)上任意一点，则 x024 y0 ( y03)，它关于 b(0, t)的 对 称 点 为 q(x0 , 2ty0 ) ， 由 于 点 q在 轨 迹x212( y4) 上 ， 所 以( x0 )212(2 ty04)， 联 立方 程 组x02x024 y0（ * ） 得12(2t y04)4 y012(2 t y04) ，化简得 ty06 (0 y03)3. 当 y0(0,3)时， t(2,3) ，此时方程组 (*) 有两解，

21、即增加有两组对称点。 当 y00 时， t2 ，此时方程组 (*) 只有一组解，即增加一组对称点。（注：对称点为p(0,0) ， q(0,4) ） 当 y03 时 ， t3 ， 此 时 方 程 组 (*)有 两 解 为p(23,3), q(23,3) ，没有增加新的对称点。t0,t4,不存在t(0,2), l对1综上所述：，对t2 l l2t（，对2,3) l3t）， 对3,4l 118、（本题满分18 分，第（ 1）小题 4 分，第（ 2）小题 6 分，第（ 2）小题 8 分）解：当 n 2 时， ansnsnn( n 1)(n1)nn122又 q a1s1 1，所以 ann(2) 、 q 11，tn 11l1，ann2nrn