函数的周期性与对称性

1、.函数的周期性与对称性1、函数的周期性若 a 是非零常数，若对于函数y f(x) 定义域内的任一变量x 点有下列条件之一成立，则函数 yf(x)是周期函数，且2|a| 是它的一个周期。f(x a) f(x a) f(x a) f(x)f(x a) 1/f(x)f(x a) 1/f(x)2、函数的对称性与周期性性质 5 若函数 y f(x) 同时关于直线x a 与 xb 轴对称， 则函数 f(x)必为周期函数，且 t 2|a b|性质 6、若函数 y f(x)同时关于点（a， 0）与点（ b，0）中心对称，则函数f(x) 必为周期函数，且t 2|a b|性质 7、若函数 y f(x)既关于点（

2、a，0）中心对称，又关于直线x b 轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且t 4|a b|3. 函数 yf ( x) 图象本身的对称性（自身对称）若 f (xa)f ( xb) ，则 f ( x) 具有周期性；若f (ax)f (bx) ，则 f ( x) 具有对称性：“ 内同表示周期性，内反表示对称性”。1、 f ( ax)f (bx)yf ( x) 图象关于直线 x(ax) (bx)ab 对称22推论 1： f (ax)f (a x)yf (x) 的图象关于直线xa 对称推论 2、 f ( x)f (2ax)yf ( x) 的图象关于直线xa 对称推论 3、 f (x)f ( 2ax)yf

3、 ( x) 的图象关于直线xa 对称2、 f ( ax)f (bx)2cyf ( x) 的图象关于点 (ab2, c) 对称推论 1、 f (ax)f (ax)2byf (x) 的图象关于点 (a,b) 对称推论 2、 f (x)f (2ax) 2byf (x) 的图象关于点 (a, b) 对称推论 3、 f (x)f ( 2ax)2byf (x) 的图象关于点 (a,b) 对称例题分析：1设 f ( x) 是 (,) 上的奇函数，f ( x2)f (x) ，当 0x1 时， f ( x)x ，则f (47.5) 等于0.51.5()（ a ） 0.5（ b）（ c） 1.5（ d）2、（山东

4、）已知定义在r 上的奇函数f (x) 满足 f (x2)f ( x) ，则 f (6)的值为（）a 1b 0c 1d 23设 f ( x) 是定义在 r 上的奇函数，f (1)2, f (x1)f ( x6), 求 f (10).4f ( x)对于任意实数 x 满足条件f ( x 2)1，若f (1)5，则f f (5)_函数f (x).5已知f ( x) 是定义在 r 上的奇函数，且它的图像关于直线x1 对称。（1）求 f (0) 的值；（ 2）证明f ( x) 是周期函数；（3）若 f ( x)x(0x1) ，求 xr 时，函数 f ( x) 的解析式，并画出满足条件的函数f (x)至少一

5、个周期的图象。6.设 f(x)是定义在r 上的奇函数，且对任意实数x，恒有 f(x 2) f(x)当 x 0,2 时， f( x) 2x x2.(1)求证： f(x)是周期函数； (2)当 x 2,4 时，求 f(x)的解析式巩固练习：1函数 f(x)是周期为 4 的偶函数，当x0,2 时， f(x) x1，则不等式 xf(x)0 在 1,3 上的解集为 ()a (1,3)b (1,1) c ( 1,0)(1,3) d ( 1,0) (0,1)2设函数 f(x)是定义在 r 上的偶函数，且对任意的x r 恒有 f(x 1) f(x 1)，已知当 x10,1 时，f(x)21 x，则： 2 是函

6、数 f(x)的周期； 函数 f(x) 在 (1,2)上递减， 在(2,3) 上递增；函数 f(x)的最大值是1，最小值是 0；当 x(3,4) 时， f( x) 1 x3 .2其中所有正确命题的序号是 _3设定义在 r 上的奇函数 y f(x)，满足对任意t r ，都有 f(t) f(1 t)，且 x 0， 1 时，2f(x) x2，则 f(3) f 3的值等于 ()a 111d 122b c4534若偶函数 y f(x)为 r 上的周期为6 的周期函数，且满足f(x) (x 1)(x a)( 3 x 3)，则 f( 6)等于 _5、（ 1） f ( x)a x关于点（11f (1x) _ ;

7、a xa2，）对称： f ( x)2（2）f ( x)4x12x1关于（ 0，1）对称：f( )(x)_x1x f2（3）若 f ( x)f (2ax), 设 f ( x)0有 n个不同的实数根，则x1 x2xn_ .6设 f(x)是 (， )上的奇函数， f(x 2) f(x)，当 0 x 1 时， f(x) x.(1)求 f(3)的值； (2) 当 4 x 4 时，求 f(x)的图像与x 轴所围成图形的面积.7设 f (x) 是定义在 (,) 上以 2 为周期的周期函数， 且 f (x) 是偶函数，在区间2,3 上，f ( x)2(x 3) 24. 求 x1,2 时， f ( x) 的解析

8、式 .8. 设函数f ( x) 对任意实数x 满足 f (2x)f (2x) ， f (7x)f ( 7x)且 f (0)0,判断函数f ( x) 图象在区间30,30 上与 x 轴至少有多少个交点.9. 已知函数 yf ( x) 是定义在r 上的周期函数， 周期 t 5 ，函数 y f ( x) (1 x 1) 是奇函数 . 又知 yf (x) 在 0,1上是一次函数，在 1,4 上是二次函数，且在 x2 时函数取得最小值 5 .（1）证明：f (1)f (4)0 ；（ 2）求 yf (x), x1,4 的解析式；（ 3）求 y f ( x) 在 4,9 上的解析式 .10.已知 f (x)

9、 x(11 ) ，（ 1）判断 f (x) 的奇偶性；（ 2）证明： f ( x)02x1211 、 定 义 在 1，1上 的 函 数 yf ( x) 是 减 函 数 ， 且 是 奇 函 数 ， 若f (a2a 1)f (4a5) 0 ，求实数 a 的范围。12（重庆文）已知定义域为r 的函数 f ( x)2xb 是奇函数。2x 1a（）求 a,b 的值；（）若对任意的 t r ，不等式f (t 22t ) f (2t 2k)0 恒成立，求 k 的取值范围。复习题：.1已知数列 an ，其前 n 项和为 sn ，点 (n, sn ) 在抛物线 y3 x21 x 上；各项都为正数的1122等比数

10、列 bn 满足 b1b3, b5.（）求数列 1632an， bn 的通项公式；（）记 cn anbn ,求数列 cn 的前 nn项和 t 2在 abc 中，角 a 、 b 、 c 所对的边分别是a 、 b 、 c ，且 b2c2a28 s abc （其中 s abc 为 abc 的面积）23（）求 sin 2 bccos2a ；（）若 b2 ， abc 的面积为3，求 a 23某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数x 依次为 1,2,3,4,5现从一批该日用品中随机抽取20 件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：x12345频率a0 20 45bc（ 1）若所抽取的20 件

11、日用品中，等级系数为4 的恰有3 件，等级系数为5 的恰有 2 件，求 a ， b ， c 的值；（）在（ 1）的条件下，将等级系数为4 的 3 件日用品记为 x1 ， x2 ， x3 ，等级系数为 5的 2 件日用品记为 y1 ， y2，现从 x1 ， x2 ， x3 ， y1 ， y2 这 5 件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同） ，写出所有可能的结果， 并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率p4. 如图，在三棱锥pabc 中， pa底面 abc ， acbc ，hh 为 pc 的中点，pa ac 2 ， bc 1.（）求证： ah平面 pbc ；（）求经过点pabc

12、的球的表面积。ac5.已知抛物线 x28( y8) 与 y 轴交点为 m ，动点 p, q 在抛物线buuuruuuur0上滑动，且 mp mq（ 1）求 pq 中点 r 的轨迹方程 w ；（ 2）点 a, b, c, d 在 w 上， a, d 关于 y 轴对称， 过点 d 作切线 l ，且 bc 与 l 平行，点 d 到ab, ac 的距离为 d1 , d2 ，且 d1d22 | ad |，证明：abc 为直角三角形6. 设函数 f ( x)ln x. （ 1）求 f ( x) 的极大值；2x2)l 2 1 ( n2n * )（2）求证： 12eln n( n 1) (nn)(2n 1)(

13、n（3）当方程 f ( x)a0(ar ) 有唯一解时， 方程 g(x)ax22txttxf ( x)20也有2ex唯一解，求正实数t 的值；函数的周期性与对称性.1、函数的周期性若 a 是非零常数，若对于函数y f(x) 定义域内的任一变量x 点有下列条件之一成立，则函数 yf(x)是周期函数，且2|a| 是它的一个周期。f(x a) f(x a) f(x a) f(x)f(x a) 1/f(x)f(x a) 1/f(x)2、函数的对称性与周期性性质 5 若函数 y f(x) 同时关于直线x a 与 xb 轴对称， 则函数 f(x)必为周期函数，且 t 2|a b|性质 6、若函数 y f(

14、x)同时关于点（a， 0）与点（ b，0）中心对称，则函数f(x) 必为周期函数，且t 2|a b|性质 7、若函数 y f(x)既关于点（ a，0）中心对称，又关于直线x b 轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且t 4|a b|3. 函数 yf ( x) 图象本身的对称性（自身对称）若 f (xa)f ( xb) ，则 f ( x) 具有周期性；若f (ax)f (bx) ，则 f ( x) 具有对称性：“ 内同表示周期性，内反表示对称性”。1、 f ( a x)f (bx)yf ( x) 图象关于直线 x(ax) (bx)ab 对称22推论 1： f (ax)f (a x)yf (x)

15、的图象关于直线xa 对称推论 2、 f ( x)f (2ax)yf ( x) 的图象关于直线xa 对称推论 3、 f ( x)f ( 2ax)yf ( x) 的图象关于直线xa 对称2、 f ( a x)f (bx)2cyf ( x) 的图象关于点 ( ab , c) 对称2推论 1、 f (ax)f (ax)2byf (x) 的图象关于点 (a,b) 对称推论 2、 f (x)f (2ax) 2byf (x) 的图象关于点 (a, b) 对称推论 3、 f ( x)f ( 2ax)2byf (x) 的图象关于点 (a,b) 对称例题分析：1设 f ( x) 是 (,) 上的奇函数，f ( x

16、2)f (x) ，当 0x1 时， f ( x)x ，则f (47.5) 等于()（ a ） 0.5（ b）0.5（ c） 1.5（ d）1.52、（山东）已知定义在r 上的奇函数f (x) 满足 f (x2)f ( x) ，则 f (6)的值为（）a 1b 0c 1d 23设 f ( x) 是定义在 r 上的奇函数，f (1)2, f (x1)f ( x6), 求 f (10).4函数 f ( x) 对于任意实数 x 满足条件 f ( x 2)15 ，则 f f (5)_，若 f (1)f (x).5已知f ( x) 是定义在 r 上的奇函数，且它的图像关于直线x1 对称。（1）求 f (0

17、) 的值；（ 2）证明f ( x) 是周期函数；（3）若 f ( x)x(0x1) ，求 xr 时，函数 f ( x) 的解析式，并画出满足条件的函数f (x)至少一个周期的图象。6.设 f(x)是定义在r 上的奇函数，且对任意实数x，恒有 f(x 2) f(x)当 x 0,2 时， f( x) 2x x2.(1)求证： f(x)是周期函数； (2)当 x 2,4 时，求 f(x)的解析式解： (1)证明： f(x 2) f(x)，f(x4) f(x 2) f(x)f(x)是周期为4 的周期函数(2)x2,4 ，x 4， 2，4 x 0,2 ，f(4x)2(4 x) (4 x)2 x2 6x

18、8.又f(4 x) f( x) f(x)，f(x) x2 6x 8，即 f(x) x2 6x 8， x 2,4 巩固练习：1函数 f(x)是周期为4 的偶函数，当x0,2 时， f(x) x1，则不等式xf(x)0 在 1,3 上的解集为 ()a (1,3)b (1,1) c ( 1,0)(1,3)d ( 1,0) (0,1)解析： 选 cf(x)的图像如图当 x ( 1,0)时，由 xf(x)0 得 x ( 1,0)；当 x (0,1)时，由 xf( x)0 得 x (1,3) 故 x ( 1,0) (1,3) 2设函数 f(x)是定义在 r 上的偶函数，且对任意的x r 恒有 f(x 1)

19、 f(x 1)，已知当 x1x，则： 2 是函数 f(x)的周期； 函数 f(x) 在 (1,2)上递减， 在(2,3) 上递增；0,1 时，f(x) 21函数 f(x)的最大值是1，最小值是0；当 x(3,4) 时， f( x) 1 x3 .2其中所有正确命题的序号是_解析： 由已知条件：f( x 2) f(x)，.则 y f(x)是以 2 为周期的周期函数，正确；当 1 x 0 时 0 x 1，f(x) f(x) 1 1 x，2函数 yf(x)的图像如图所示：当 3x4 时， 1x 40，1x3，因此正确，不正确f(x) f(x 4) 2答案： 3设定义在 r 上的奇函数 y f(x)，满

20、足对任意t r ，都有 f(t) f(1 t)，且 x 0，1时，2f(x) x2，则 f(3) f 3的值等于 ()21111a 2b 3c 4d 5解析： 选 c由 f( t) f(1 t)得 f(1 t) f( t) f(t)，所以 f(2 t) f(1 t) f(t)，所以 f(x)的周期为 2.又 f(1) f(1 1)f(0) 0，31121所以 f(3) f 2 f(1) f 2 0 2 4.4若偶函数 y f(x)为 r 上的周期为6 的周期函数，且满足f(x) (x 1)(x a)( 3 x 3)，则 f( 6)等于 _解析： y f(x)为偶函数，且f(x) (x 1)(x

21、 a)( 3 x 3)，f(x) x2 (1 a)x a,1 a 0.a 1.f(x) (x1)(x1)( 3 x 3) f( 6) f(6 6) f(0) 1.5、（ 1） f ( x)a x关于点（11f (1x) 1;2，）对称： f ( x)axa24 x12x1关于（ 0，1）对称： f (x)f ( x)2（2） f ( x)2 x 1（3）若 f ( x)f (2ax), 设 f ( x)0有 n个不同的实数根，则.x1x2xn x1 (2ax1 )x2(2ax2 )xn( 2a xn ) na .22(当 n2k1时，必有 x12ax1 ,x1a)6设 f(x)是 (， )上的

22、奇函数， f(x 2) f(x)，当 0 x 1 时， f(x) x.(1)求 f(3)的值； (2) 当 4 x 4 时，求 f(x)的图像与x 轴所围成图形的面积解： (1)由 f(x 2) f(x) 得， f( x4) f(x 2) 2 f(x 2) f(x) ，所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数，所以f(3) f(3 4) f(1) 1.(2) 由 f(x)是奇函数与 f(x 2) f(x)，得 f(x 1) 2 f(x 1) f (x1) ，即 f(1 x) f(1 x)故知函数 y f(x)的图像关于直线x1 对称又 0x 1 时， f(x) x，且 f(x)的图像关于原点成

23、中心对称，则1 x 0 时， f(x) x，则 f(x)的图像如图所示当 4 x4时，设 f(x)的图像与 x 轴围成的图形面积为1 2 1s，则 s 4soab 4 24.7设 f (x) 是定义在 (,) 上以 2 为周期的周期函数， 且 f (x) 是偶函数，在区间2,3 上，f ( x)2(x3) 24. 求 x1,2时， f ( x) 的解析式 .解：当 x3,2 ，即x2,3，f ( x)f ( x)2(x3) 242( x3) 24又 f (x) 是以 2 为周期的周期函数，于是当x1,2，即3 x 42 时，有f ( x)f (x4)f ( x)2 ( x 4)3 242(x1

24、)24(1x2).f ( x)2( x1)24(1 x 2).8. 设函数 f ( x) 对任意实数x 满足 f (2x)f (2x) ， f (7x)f ( 7x)且 f (0)0,判断函数 f ( x) 图象在区间30,30 上与 x 轴至少有多少个交点 .解：由题设知函数f (x) 图象关于直线 x2和 x7 对称，又由函数的性质得f (x) 是以 10 为周期的函数 . 在一个周期区间0,10 上，.f (0) 0, f (4)f (2 2)f ( 2 2)f ( 0) 0且 f ( x)不能恒为零 ,故 f (x) 图象与 x 轴至少有2 个交点 .而区间30,30有 6个周期，故在

25、闭区间30,30 上 f (x) 图象与 x 轴至少有13 个交点 .9. 已知函数 yf ( x) 是定义在 r 上的周期函数， 周期 t 5 ，函数 y f ( x) (1x 1) 是奇函数 . 又知 yf (x) 在 0,1 上是一次函数，在 1,4 上是二次函数，且在 x2时函数取得最小值5 .（1）证明：f (1)f (4)0 ；（ 2）求 yf (x), x1,4 的解析式；（ 3）求 y f ( x) 在 4,9 上的解析式 .解 ： f ( x) 是 以5为 周 期 的 周 期 函 数 ， 且在 1,1上 是 奇 函 数 ， f (1)f ( 1)f (51)f (4) ， f

26、 (1)f (4)0 .当 x1,4 时，由题意可设f ( x)a( x 2) 25 ( a0) ，由 f (1)f (4)0 得 a(12)25a(42) 250 ， a2 ， f ( x)2( x2)25(1x4) . yf ( x)(1x1) 是奇函数，f (0)0 ，又知 yf ( x) 在 0,1 上是一次函数，可设f ( x)kx(0x 1)而 f (1)2(1 2) 253， k3，当 0x1时， f ( x)3x ，从而 1x 0时， f (x)f ( x)3x ，故 1 x1时， f ( x)3x .当4x 6 时，有1x5 1， f (x)f (x 5)3( x5)3x 1

27、5 .当 6x9 时， 1x54， f ( x)f (x5)2( x5)2 252( x7) 25 f ( x)3x15,4 x6.2( x7) 25,6x9.10.已知 f (x)x(11) ，（ 1）判断 f (x) 的奇偶性；（ 2）证明： f ( x)02x1211 、 定 义 在 1，1上 的 函 数 yf ( x) 是 减 函 数 ， 且 是 奇 函 数 ， 若f (a2a1)f (4a5)0 ，求实数 a 的范围。12（重庆文）已知定义域为r的函数 f ( x)2xb 是奇函数。2x 1a（）求 a,b 的值；（）若对任意的tr ，不等式 f (t 22t )f (2t 2k)

28、0 恒成立，求 k 的取值范围。10(1) 偶函数(2)奇函数11(1)偶函数12、1,3332复习题：2已知数列 a ，其前n 项和为 s(n, s )在抛物线y3 x21 x上；各项都为正数的nn ，点n2211等比数列 b 满足b1b3, b5n16.（）求数列 32an， bn的通项公式；（）记cn求数列 cn的前n项和 n anbn ,t2在 abc 中，角 a 、 b 、 c 所对的边分别是a 、 b 、 c ，且 b2c2a28 s abc （其中 s abc 为 abc 的面积）23（）求sin2 bccos2a；（）若b2，abc的面积为3a 2，求x 依次为 1,2,3,4

29、,53某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数现从一批该日用品中随机抽取20 件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：x12345频率a0 20 45bc（ 1）若所抽取的20 件日用品中，等级系数为4 的恰有3 件，等级系数为5 的恰有 2 件，求 a ， b ， c 的值；（）在（ 1）的条件下，将等级系数为4 的 3 件日用品记为x1 ， x2 ， x3 ，等级系数为 5的 2 件日用品记为 y1 ， y2，现从 x1 ， x2 ， x3 ， y1 ， y2 这 5 件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率p4. 如图，在三棱锥pabc 中， pa底面 abc ， acbc ，h 为 pc 的中点，paac2 ， bc1.h（）求证： ah平面 pbc ；（）求经过点pabc 的球的表面积。5.已知抛物线 x28( y8) 与 y 轴交点为 m ，动点 p, q 在抛物线acb.uuur uuuur上滑 ，且 mp mq0（ 1）求 pq 中点 r 的 迹方程 w ；（ 2）点 a, b, c, d 在 w 上， a, d 关于 y 称， 点 d 作切 l ，且 bc 与 l 平行，点 d 到ab, ac 的距离 d1 , d2 ，且 d1d22 | ad |， 明：a