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1、第5章,塑性力学,塑性本构变形,China UNIVERSITY of Mining & Technology,第五章 塑性本构关系,5.1 弹性本构关系 5.2 Drucker公设 5.3 加载、卸载准则 5.4 增量理论（流动理论） 5.5 全量理论（形变理论） 5.6 岩土力学中的Coulomb屈服条件和 流动法则,塑性力学,5.1 弹性本构关系,在弹性阶段，材料的本构关系即广义Hooke定律：,张量写法：,其中,其中,（5-1）,（5-2）,为平均正应力。,将三个正应变相加，得：,（5-3）,记：平均正应变,体积弹性模量,则平均正应力与平均正应变的关系：,（5-4）,（5-5）,（5-

2、2）式用可用应力偏量 和应变偏量 表示为,包含5个独立方程,（5-2）,由（5-5）,由等效应力和等效应变的关系：,或,可得：,（5-8）,当应力从加载面（后继屈服面）卸载时，应力和应变的全量不满足广义Hooke定律，但它们的增量仍满足广义Hooke定律。,（5-9）,Mises屈服条件的物理解释中将弹性应变能分解为体积应变能和形状改变比能。这里，由弹性本构关系将三者表示为：,5.2 Drucker公设,两类力学量,外变量：能直接从外部可以观测得到的量。如总应变，应力等。,内变量：不能直接从外部观测的量。如塑性应变，塑性功等。,内变量只能根据一定的假设计算出来。,关于塑性应变和塑性功的假设：,

3、1、材料的塑性行为与时间，温度无关。,2、应变可分解为弹性应变和塑性应变。,3、材料的弹性变形规律不因塑性变形而改变。,根据以上假设，内变量 可以由外变量 表示出来。,对于各向同性材料：,（5-12）,这样，内变量 也可以由外变量 表示出来。,将总功分解为弹性功和塑性功。,对于各向同性材料：,（5-13）,（5-14）,Drucker公设:,对于处于在某一状态下的材料质点（或试件），借助一个外部作用，在其原有的应力状态之上，缓慢地施加并卸除一组附加应力，在这附加应力的施加和卸除的循环内，外部作用所做的功是非负的。,单元体在应力状态 下处于平衡。,在单元体上施加一附加力，使应力达到 ， 刚好在加

4、载面上，即开始发生塑性变形。,继续加载至 ，在这期间，将产生 塑性应变 。,最后，将应力又卸回到 。完成应力循环。,应力循环的过程：,图5-1,以 表示应力循环过程中任一时刻的瞬时应力状态。,按Drucker公设，附加应力 在应力循环中所作的功非负。,（5-17）,在应力循环中，应力在弹性应变上的功为0，即,（5-18）,故（5-17）式写成,（5-19）,在整个应力循环中，只在应力从 到 的过程中产生塑性应变。,当 为小量时，上述积分变为：,（5-20）,这就是图5-1所示的阴影部分面积。,两个重要的不等式：,当 处于加载面的内部，即 ，由于 是高阶小量，则,（5-20）,当 正处于加载面上

5、，即 ，则,（5-21）,由此可对屈服面形状与塑性应变增量的特性导出两个重要的结论。,1、屈服曲面的外凸性。,2、塑性应变增量向量与加载面的外法线方向一致正交性法则。,当 处于加载面上，Drucker公设导致的（5-21）通常叫作Drucker稳定性条件。,1、屈服曲面的外凸性。,图中，A0和A分别表示应力状态 和 。,向量 代表 。,用 表示 。,则（5-20）为,（5-22）,可见，应力增量向量 与塑性应变增量向量 之间的夹角必须小于900,屈服曲面必须是凸的。,如果屈服面是凹的，则5-22式不满足。,2、塑性应变增量向量与加载面的外法线方向一致正交性法则。,n加载面在A点的外法向。,如果

6、 与n不重合，则总可以找到A0， 使5-22式不成立。,因此， 必须与加载面 的外法线重合。,的外法线方向即其梯度方向。,可表示为：,（5-23）,5.3 加载、卸载准则,Drucker稳定性条件：,由于 与外法线n同向，上式改写成：,只有当应力增量指向加载面外部时，材料才能产生塑性变形。,（5-25）,（5-26）,判断能否产生新的塑性变形，需判断：,（1） 是否在 上。,（2） 是否指向 的外部。,加卸载准则,加载：指材料产生新的塑性变形的应力改变。 卸载：指材料产生从塑性状态回到弹性状态的应力改变。,、理想材料的加卸载准则,理想材料的加载面与初始屈服面是一样的。,由于屈服面不能扩大，所以

7、当应力点达到屈服面上， 应力增量 不能指向屈服面外，而只能沿屈服面切线。,对于Tresca屈服面：,加载,卸载,二、强化材料的加载、卸载准则,强化材料的加载面在应力空间不断扩张或移动。,这里，中性变载相当于应力点沿加载面切向变化， 应力维持在塑性状态但加载面并不扩张的情况。,5.4 增量理论（流动理论）,一、概述,塑性本构关系,材料超过弹性范围之后的本构关系。此时，应力与应变之间不存在一一对应的关系，只能建立应力增量与应变增量之间的关系。,这种用增量形式表示的塑性本构关系，称为增量理论或流动理论。,进入塑性阶段后，应变增量可以分解为弹性部分和塑性部分。,由Hooke定律，,由Drucker公设

8、，,（5-30）,（5-31）,（5-32）,进入塑性阶段后，应变增量可以分解为弹性部分和塑性部分。,由Hooke定律，,由Drucker公设，,（5-30）,（5-31）,给出了塑性应变增量 与加载函数 之间的关系。,流动法则,（5-32）,将（5-31）、（5-32）代入（5-30）得：,增量形式的塑性本构关系：,（5-33）,塑性位势理论,将塑性应变增量表示为塑性位势函数对应力取微商。,（5-34）,其中 是塑性位势函数。,两种情况：,1、服从Drucker公设的材料，塑性势函数g就是加载函数， 即 ，此时（5-34）式称为与加载条件相关连的流动法则。,由于加载面和塑性应变增量正交，也称

9、为正交流动法则。,2、当加载面和塑性应变增量不正交， 此时（5-34）式 称为与加载条件非关连的流动法则。主要用于岩土材料。,二、理想塑性材料与Mises条件相关联的流动法则,对于理想塑性材料，屈服函数f就是加载函数。,流动法则写成：,（5-35）,Mises屈服条件：,有,故理想塑性材料与Mises条件相关连的流动法则为：,（5-36）,1、理想弹塑性材料,按照广义Hooke定律求得弹性应变增量，再与（5-36）式所得 的塑性应变增量叠加，就得到理想弹塑性材料的增量本构关系,Prandtl-Reuss关系,对理想塑性材料，比例系数 要联系屈服条件来确定。,Mises屈服条件,此时,可见，给定

10、应力 和应变增量 时从Prandtl-Reuss关系可以求出 及应力增量 。,但反过来，如果给定的是 则定不出 ，也就求不出 。,给定应力求不出应变增量，这正反映出理想塑性材料的特点。,（5-38）,由于塑性变形消耗功，所以 ，则 。,2、理想刚塑性材料Levy-Mises关系,当塑性应变增量比弹性应变增量大得多时，可略去弹性应变增量，从而得到适用于理想刚塑性材料的Levy-Mises关系,（5-39）,此式表明应变增量张量与应力偏张量成比例，也可以写成,（5-40）,如果（5-40）的后三个分式的分母为零，则其分子必须同时为零。这说明Levy-Mises关系要求应变增量张量的主轴与主应力轴重

11、合。,利用Mises屈服条件,可以得到,将（5-41）式代回（5-39）式，可求出,对于刚塑性材料,将（5-38）式与（5-41）式加以比较就发现：,（5-41）,（5-44）,（5-45）,3、实验验证,理想塑性材料与Mises条件相关连的流动法则：,对应于平面上， 与 二向量在由坐标原点发出的同一条射线上。,Lode（1926）采用薄壁圆管受轴力和内压同时作用的实验。,实验中使用的参数：,实验表明， 大致相等，,在消除了实验用薄管的各向异性后，结果表明两个Lode参数相等。,三、理想塑性材料与Tresca条件相关连的流动法则,与Mises条件相关连的流动法则相比，与Tresca条件相关连的

12、流动法则有两个显著的特点：,2、在Tresca六角柱的棱线上（在平面内，就是在正六边形的角点上），不存在唯一的外法线。,1、在Tresca六角柱的屈服平面上（在平面内，就是在正六边形的直边上），给出沿外法向的 并不能就此确定S，因为同一个屈服平面上的任一点都具有相同的外法向。,实际上，角点可以看成是一段光滑曲线无限缩小的极端情况，因此角点的法线不唯一，而可为上述夹角范围内的任一方向。,考察图5-11中的角点B。它的两侧面，AB面和BC面的方程分别为：,对AB面,同理，对BC面有,角点B处的塑性应变增量可以AB面和BC面上的塑性应变增量的线性组合得到。,其中,四、强化材料的增量本构关系,Duck

13、er公设,可令,其中h0称为强化模量，依赖于加载面的变化规律，一般不为常数。,称为线性增量理论。,这样就有：,间成线性关系，这时,具有Mises加载条件的等向强化材料,加载面,在加载时，虽然 ，但应力点始终保持在扩大的加载面上，因而 的全微分 为零，即,（5-51）,（5-52）,则,即,代入（5-52）式得,（5-53）,（5-54）,上式左边自乘求和得 右边自乘求和得，,比较这二者，可知 =1，或,利用（5-51）和（5-55）式，得出,其中 可由简单拉伸曲线来决定。事实上，退化到简单拉伸情形时（5-51）式就是 ，即,它就是曲线 的斜率。作为特例，在线性强化时就有:,（5-55）,（5-

14、56）,（5-57）,5.5 全量理论（形变理论）,认为应力和应变之间存在着一一对应的关系，因而用应力和应变的全量建立起来的塑性本构方程，又称形变理论。,全量理论,在单调加载的情况下应力和应变之间存在一一对应关系，这时塑性变形相当于非线性弹性问题，可用全量理论求解。,一、 理论,基本假定:,1. 物体是各向同性的；,2. 体积改变服从弹性定律:,其中,3. 应力偏量与应变偏量成正比,(5-58),其中 是一个标量，它是应力张量和应变张量不变量的待定函数。,由假设3可得，主剪应变与主剪应力成正比,即,(5-59),在（5-58）式中，如果取,可得弹性状态下的应力应变关系,即Hooke定律。,在弹

15、塑性变形的情况下，若令,则可以认为是弹塑性变形时的折算剪切模量。,（5-58）式可写成,（5-60）,弹性部分,塑性部分,将 两边自乘后开方，有：,（5-61）,（5-62）,于是，应力应变关系:,全量建立起来的塑性本构关系理论,（5-63）,二、简单加载和单一曲线假定,简单加载：,单元体的应力张量各分量之间的比值保持不变， 按同一参量单调增长。,复杂加载：不满足这一条件的加载情形。,对于Mises条件，不论强化模型如何， 加载路径始终沿半径方向。即 沿 的方向。,而 的方向可由 表示。,则,加入弹性应变增量,此即理想弹塑性材料的Prandtl-Reuss关系,在简单加载条件下，将上式积分，得

16、,在简单加载条件下增量理论同全量理论是等价的。,单一曲线假定:,实验证明，只要是简单加载或偏离简单加载不大，尽管在主应力空间中射线方向不同， 曲线可近似地用单向拉伸曲线表示。,三、简单加载定理,简单加载定理（，1946）：,如果满足下面一组充分条件，物体内部每个单元体都处于简单加载之中。这组条件是：,1.小变形； 2.材料不可压缩，即 ； 3.载荷按比例单调增长，如果有位移边界条件，则只能是零位移边界条件； 4.材料的 曲线具有幂函数的形式。,其中，1、3是必要条件，2、4是充分而非必要条件。,四、几种理论的总结与比较,与增量理论相比，全量理论应用起来方便得多，因为它无须按照加载路径逐步积分。全量理论的加载路径允许和简单加载路径有一定的偏离。这样造成的误差有时并不大，比如屈曲分析。,5.6 岩土力学中的Coulomb屈服条件和流动法则,岩土材料的特点：,屈服应力和破坏应力都会随着静水压力的增加而增大。,即使是各向同性，屈服条件也应采用下面的一般形式：,岩土材料的破裂准则：,单元体的任何截面上的剪应力 都不能超过某一临界值。 当 超过该临界值时，材料就要发生剪切滑移。,（5-67）,C