高中数学人教A选修11课件332函数的极值与导数

1、3.3.2函数的极值与导数,1,2,1.函数极值的概念 (1)若函数f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f(a)=0;而且在点x=a附近的左侧f(x)0,就把点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. (2)若函数f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f(b)=0;而且在点x=b附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,就把点b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. (3)极大值点和极小值点统称为极值点,极大值和极小值统称为函数的极值.,1,2,1,2,做一做1下列

2、说法不正确的是() A.函数y=x2有极小值 B.函数y=sin x有无数个极值 C.函数y=2x没有极值 D.x=0是函数y=x3的极值点 答案D,1,2,2.函数极值的求法 一般地,求函数y=f(x)的极值的方法是: (1)求函数y=f(x)的导数f(x); (2)解方程f(x)=0,得方程的根x0(可能不只一个); (3)如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极小值.,1,2,做一做2函数f(x)=x3-3x的极大值等于,极小值等于. 解析f(x)=3x2-3,令f(x)=3x2-3=0,得x=1,当x(-,-1)时,f(x)0, 当x(-1,1)时,f(x)0

3、, 所以当x=-1时,函数取极大值f(-1)=2; 当x=1时,函数取极小值f(1)=-2. 答案2-2,1,2,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)导数值为0的点一定是极值点. () (2)在定义域上的单调函数一定没有极值. () (3)对于任意函数,极值点处的导数值一定等于0. () (4)函数f(x)=x3+ax2+bx+c最多有两个极值点. () 答案(1)(2)(3)(4),探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解(1)函数的定义域为R,f(x)=x2-2x-3. 令f(x)=0,得x=3或x=-1. 当x变

4、化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:,所以函数在x=-1处取得极大值f(-1)=e.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究二与函数极值有关的参数问题 (1)求a,b的值; (2)求函数的另一个极值. 分析(1)可利用 建立a,b的方程组求解;(2)按照求极值的步骤求解.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析

5、,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究三由函数图象分析函数的极值 【例3】已知函数y=xf(x)的图象如下图所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数),给出以下说法:函数f(x)在区间(1,+)上是增函数;函数f(x)在x=-1取得极大值;函数f(x)在 处取得极大值;函数f(x)在x=1处取得极小值,其中正确的说法有.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解析从图象上可以发现,当x(1,+)时,xf(x)0, 于是f(x)0,故f(x)在区间(1,+)上是增函数,正确; 当x0. 当-10,所以f(x)0. 故函数f(x)在x=-1处取得极大值.正确; 当x(-1,1)时,f(x)0,所以函

6、数f(x)在区间(-1,1)上是单调递减函数,错; 当0x1时,xf(x)0,于是f(x)0,故f(x)在区间(0,1)上是减函数,而在区间(1,+)上是增函数,所以函数f(x)在x=1处取得极小值,故正确. 答案,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练3 已知函数f(x)的导函数f(x)的图象如图所示,给出以下结论:函数f(x)在(-2,-1)和(1,2)上是单调递增函数;函数f(x)在(-2,0)上是单调递增函数,在(0,2)上是单调递减函数;函数f(x)在x=-1处取得极大值,在x=1处取得极小值;函数f(x)在x=0处取得极大值,则正确命题的序号是

7、(填上所有正确命题的序号),探究一,探究二,探究三,思维辨析,解析函数f(x)在(-2,-1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,故错; 因为在(-2,0)上f(x)0,所以函数f(x)在(-2,0)上是单调递增函数,同理在(0,2)上是单调递减函数,故正确;错误; 当-20,当0x2时f(x)0,故函数f(x)在x=0处取得极大值,正确. 答案,探究一,探究二,探究三,思维辨析,忽视极值存在的条件致误 典例已知函数f(x)=x3+6mx2+4nx+8m2在x=-2处取得极值,且极值为0,求m+4n的值. 错解f(x)=3x2+12mx+4n, 因此m+4n=13或m+4n=38, 即m+4n

8、的值等于13或38.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练函数f(x)=x3-ax2-bx+a2在x=1时有极值10,则a,b的值为() A.a=3,b=-3或a=-4,b=11 B.a=-4,b=2或a=-4,b=11 C.a=-4,b=11 D.以上都不对 解析f(x)=3x2-2ax-b,f(1)=0,即2a+b=3, f(1)=a2-a-b+1=10,即a2-a-b=9, 解由组成的方程组,得a=-4,b=11(有极值)或a=3,b=-3(无极值,舍去). 答案C,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,2.函数y=1+3x-x3有() A.极小值-1,极大值1B.极小值-2,极大值3 C.极小值-2,极大值2D.极小值-1,极大值3 解析y=3-3x2,令y=3-3x2=0,得x=1, 所以当x=-1时取得极小值-1,当x=1时取得极大值3. 答案D,1,2,3,4,5,3.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f(x)在(a,b)内的图象如图所示, 则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点() A.