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1、杨辉三角和二项式系数性质,杨辉三角,九章算术,杨辉,杨辉三角,详解九章算法中记载的表,1“杨辉三角”的来历及规律,杨辉三角,展开式中的二项式系数，当时，如下表所示：,1 1,1 2 1,1 3 3 1,1 4 6 4 1,1 5 10 10 5 1,1 6 15 20 15 6 1,（a+b）的n次方展开式的系数的规律,杨辉简介,南宋末年钱塘人，是当时有名的数学家 和教育家，杨辉一生编写的数学书很多， 但散佚严重。 杨辉生活在浙江杭州一带，曾当过地方官， 到过苏州、台州等地，他每到一处都会有人 慕名前来 请教数学问题。,二项式系数的性质,展开式的二项式系数依次是：,从函数角度看， 可看成是以r

2、为自变量的函数 ,其定义域是：,当 时，其图象是右图中的7个孤立点,二项式系数的性质,2二项式系数的性质,（1）对称性,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,这一性质可直接由公式 得到,图象的对称轴：,二项式系数的性质,（2）增减性与最大值,由于：,所以 相对于 的增减情况由 决定,二项式系数的性质,（2）增减性与最大值,由：,二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。,可知，当 时，,二项式系数的性质,（2）增减性与最大值,先增后减，中间最大,（3）各二项式系数的和,二项式系数的性质,在二项式定理中，令 ，则：,这就是说， 的展开式的各二项式系数的

3、和等于：,同时由于 ，所以有时求等式,例1 证明在 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和,二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。,内容小结,例5计算（0.997）3的近似值（精确到0.001）,分析：二项展开式中x按升幂排， 当x很小时，x2小，x3更小， 当n趋于正无穷，xn趋于0 求近似值可用展开式前若干项代替。,解：（0.997）3 =（1-0

4、.003）3,1-30.003=0.991,注：(0.003)2小数点后有5个0离精确度 要求很远所以舍去 若精确到0.0001则要3项,若(x21)(x2)9a0a1(x1)a2(x1)2a11(x1)11，则a1a2a11_. 解析：令x2，则有a0a1a2a11(221)(22)90，再令x1，则有a0(121)(1)2， a1a2a3a112.,例：在(1+2x)10的展开式中，(1)求系数最大的项 (2)若x=2.5，则第几项的值最大？,例：求(1-2x)7展开式中系数最大的项,杨辉三角中，从一个数的“左肩”出发 向右上方作一条和左斜边平等的直线 位于这条直线上的各数和等于这个数.,前12项分别为：,1，1，2，3，5，8，13，21，34，55， 89，144.,任何一个数都

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