预测控制中的模型与预测.ppt

1、本章目录,概述 基于SISO阶跃响应模型的预测 基于SISO传递函数模型的预测 基于状态空间模型的预测 模型之间的转换,概述,预测控制中，基于模型预测对象的未来输出是否足够准确是控制成功的关键。这里，预测所用的模型往往是通过系统辨识获得的模型。 最早用于预测控制的模型是基于阶跃响应的模型，然后是传递函数模型，最后是状态空间模型。本章将详述基于这些模型的预测方法。 预测的目标是在k时刻基于数据，预测y(k+j)：,基于SISO阶跃响应模型的预测,设被控对象的冲激响应为h0 = 0, h1, h2, 该对象的阶跃响应为s0 = 0, s1, s2, 则两者具有关系 sk=h0+hkhk=sk-sk

2、-1 实际的冲激响应序列和阶跃响应序列都是无限的。在计算机中，因为计算时间和内存大小都是有限的，故只能截取其中的一部分。如果对象是稳定的，可不失合理性地假设当kn时，hk=0，也即有sn=sn+1=sn+2=,基于SISO阶跃响应模型的预测（续）,在假设外部扰动为零的前提下，对象输出y(k)和控制量u(k)的关系式为：,将外部扰动建模为累加白噪声，记白噪声为v(k)。 有：,基于上式推导，得：,为何将扰动建模为累加白噪声？,因为将扰动假定为累加白噪声比较符合真实情况。对象的真实模型与预测模型的误差可以认为是一种扰动，而且是总扰动的主要成分。而这种扰动在一个小的时间区间内是比较恒定的。如果将扰动

3、假定为白噪声，则不同时刻的扰动毫不相关，这与实际情况不符合。 此外，将扰动假定为积分白噪声在模型上比较简单，计算上也是比较方便的。 用直观的语言来说，这个假设就是：上次的扰动是多少，这次的扰动差不多还是那么大。,基于SISO阶跃响应模型的预测（续）,回到刚才推得的模型。该模型为一输入输出模型，它有一个等价的状态空间模型：,基于SISO阶跃响应模型的预测（续）,令,则,注意到 v(k)=y(k)-Nx(k), 将其代入状态方程可得：,我们可以利用上式来构造状态x(k)的观测器：,对象的状态x(k)和观测器的状态(k)将会在至多n步内相同(deadbeat observer)，这是可以证明的。有兴

4、趣的同学可以自己证明。,因此，在k时刻，x(k+1) 的最佳预估值为,在k时刻， x(k+j),j1 的最佳预估值为,在k时刻， y(k+j)的最佳预估值为： 所以Y*(k)的公式为：,附：M-1N幂零性的证明,而,注意到,基于SISO传递函数模型的预测,前面给出的预测算式，只有在对象是稳定时才是可行的。因为阶跃响应截尾假设只对稳定对象适用。不过，对于一般的SISO线性对象，无论其是否稳定，其传递函数总是有的。在无干扰的情况下，对象输出y(k)和控制量u(k)的关系式为：,如果考虑到扰动的影响，则可以使用如下的模型：,有人会问：为什么这里的扰动不用累加白噪声？我们说：其实确实是应该建模成累加白

5、噪声。但是，采用累加白噪声的CARIMA模型可以转换成为用白噪声的CARMA模型，所以我们现在暂时这么推导。等到我们讲到广义预测控制时，再重新从CARIMA模型出发。,我们发现上面的这种表述方式在后面的推导中显得很麻烦，所以我们采用一种算子描述。,Z是超前1步算子。Z-1是滞后一步算子。因此上面的CARMA模型可以写出下面的形式：,G和E一定可以展开成幂级数形式：,令,则,令,，则有,由于zjEjv(k)是未来的扰动，其最优预测是0，因此我们得到如下的预测算式：,注意到zj(E-Ej)E-1y(k)所涉及的都是已经观测到的y值。注意到,则,因此y*的公式为：,而,C=1时y*的计算公式,上式中

6、，由于,而,是,的部分和，,同理也是多项式。这说明可以通过公式计算y*。,一个例子,用算子描述：Ay(k)=Bu(k)+Cv(k),因此，,基于状态空间模型的预测,我们采用稳态Kalman新息模型,文献上还有另外一种带随机输入的线性状态空间模型,不过，第二种模型可以转换成为第一种模型。,基于状态空间模型的预测（续）,则我们有,因此，只要H的特征值在单位圆内，则观测器稳定。,从状态方程和输出方程可推出,我们构造如下的状态观测器,因此，在k时刻，x(k+1) 的最佳预估值为,在k时刻， x(k+j),j1 的最佳预估值为,又由于,所以在k时刻， y(k+j) 的最佳预估值为,模型之间的转换,阶跃响应模型可以看作是传递函数模型的一种特殊情况。阶跃响应为s0 = 0, s1, s2,sn,sn, 而且扰动建模为累计白噪声。则其差分方程模型为：,根据上式不难写出其传递函数模型。 前面已经给出了它的状态空间模型。 根据传递函数模型或状态空间模型得到阶跃响应模型？前提必须是对象稳定，而且一般只能得到近似模型，截尾的长度要合适。,模型之间的转换（续）,SISO传递函数模型可以看作是状态空间模型的一种特殊情况。 从传递函数模型得到状态空间模型，可以用其标准实现：控制器形，能控性形，观测器形，能