高中数学人教A选修21课件21曲线与方程2

1、第二章圆锥曲线与方程,2.1曲线与方程,1.曲线的方程与方程的曲线的定义 一般地,在直角坐标系中,如果曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系: (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 这个方程就叫做曲线的方程,这条曲线就叫做方程的曲线.,做一做1如果曲线C的方程 ,点M(a,b),那么点M在曲线C上的充要条件是. 解析：点M在曲线C上,那么点M的坐标满足曲线C的方程,于是有 ,即为点M在曲线C上的充要条件. 答案： 做一做2方程y=|x|所表示的曲线为() A.一条直线B.两条直

2、线 C.一条射线D.两条射线 解析：由y=|x|可得y=x(x0)或y=-x(x0),因此该方程所表示的曲线为两条射线. 答案：D,2.求曲线方程的一般步骤 求曲线的方程,一般有如下步骤: (1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标; (2)写出适合条件p的点M的集合P=M|p(M); (3)用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0; (4)化简方程f(x,y)=0为最简形式; (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.,做一做3到两坐标轴的距离之差等于3的点的轨迹为() A.|x|-|y|=3B.|y|-|x|=3 C.|x|-|y|=3D.x-

3、y=3 解析：设动点为(x,y),则它到x轴、y轴的距离分别为|y|,|x|,依题意有|y|-|x|=3,即|x|-|y|=3. 答案：C,3.坐标法与解析几何研究的对象 (1)借助坐标系,用坐标表示点,把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹,用曲线上的点的坐标(x,y)所满足的方程f(x,y)=0表示曲线,通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质,这就叫做坐标法. (2)由坐标法研究几何图形的知识所形成的学科叫做解析几何,解析几何研究的主要问题是: 根据已知条件,求出表示曲线的方程; 通过曲线的方程,研究曲线的性质.,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”.

4、 (1)若以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上,则方程f(x,y)=0即为曲线C的方程. () (2)若曲线C上的点满足方程F(x,y)=0,则坐标不满足方程F(x,y)=0的点不在曲线C上. () (3)方程x+y-2=0是以A(2,0),B(0,2)为端点的线段的方程. () (4)在求曲线方程时,对于同一条曲线,建立不同的坐标系,所得到的曲线方程也不一样. () (5)化简方程“|x|=|y|”为“y=x”是恒等变形. () (6)按照求曲线方程的步骤求解出的曲线方程不用检验. (),探究一,探究二,探究三,探究一对“曲线的方程”与“方程的曲线”概念的理解 【例1】 判断下列

5、命题是否正确,并说明理由. (1)到x轴距离为3的点的轨迹方程为y=-3;,分析：根据曲线的方程与方程的曲线的定义进行判断.,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,解：(1)错误.因为到x轴距离为3的点的轨迹方程为|y|=3,不满足完备性. (2)错误.到原点的距离等于4的点的轨迹方程应为x2+y2=16,不满足完备性. (3)正确.由方程 ,得x=1或y+2=0(x1),因此该方程表示一条直线x=1和一条射线y+2=0(x1). (4)错误.点(4,0)在方程x2+y2=16(x0)表示的曲线上,但点(-2,2 )不在该曲线上.,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析

6、,探究一,探究二,探究三,变式训练1判断下列命题是否正确,并说明理由: (1)过点A(3,0)且垂直于x轴的直线的方程为x=3; (2)ABC的顶点A(0,-3),B(1,0),C(-1,0),D为BC中点,则中线AD的方程为x=0; (3)方程(x+y-1) =0表示的是一条直线和一个圆. 解：(1)正确.满足曲线方程的定义,故结论正确. (2)错误.因为中线AD是一条线段,而不是直线,所以其方程应为x=0(-3y0),故结论错误. (3)错误.由方程可得x2+y2=4或x+y-1=0(x2+y24),所以该方程表示的是一个圆或两条射线.,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究二曲线

7、与方程关系的应用 【例2】 已知方程x2+4x-1=y. (1)判断点P(-1,-4),Q(-3,2)是否在此方程表示的曲线上; (2)若点M 在此方程表示的曲线上,求实数m的值; (3)求该方程表示的曲线与曲线y=2x+7的交点的坐标. 分析：对于(1)和(2),可将点的坐标代入曲线方程进行判断和求解;对于(3),可通过解方程组求得交点坐标. 解：(1)因为(-1)2+4(-1)-1=-4,(-3)2+4(-3)-12, 所以点P坐标适合方程,点Q坐标不适合方程, 即点P在曲线上,点Q不在曲线上.,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思

8、维辨析,探究一,探究二,探究三,变式训练2(1)若直线x-2y-2k=0与y=x+k的交点在曲线x2+y2=25上,则k的值是() A.1B.-1 C.1或-1D.以上都不对 (2)已知方程xy+3x+ky+2=0表示的曲线经过点(2,-1),则k的值等于. 解析：(1)联立得方程组 解得交点为(-4k,-3k),代入圆的方程中, 即(-4k)2+(-3k)2=25,所以k=1. (2)依题意有2(-1)+32+k(-1)+2=0,解得k=6. 答案：(1)C(2)6,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究三直接法求动点的轨迹方程 【例3】 已知点M到x轴的距离和点M与点F(0,4)的

9、距离相等,求点M的轨迹方程. 分析：由题意知已经建立了直角坐标系,因此只需设出点M的坐标,套用两点间距离公式根据条件建立等式即可. 解：设动点M的坐标为(x,y),且点M到x轴的距离为d,则d=|y|.,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,变式训练3导学号03290020一个动点到直线x=8的距离是它到点A(2,0)的距离的2倍,求动点的轨迹方程. 解：设动点P坐标为(x,y), 则动点P到直线x=8的距离d=|x-8|, 化简得3x2+4y2=48. 故动点的轨迹方程为3x2+4y2=48.,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思

10、维辨析,探究四代入法(相关点法)求动点轨迹方程 【例4】 已知圆O:x2+y2=4,点A(-3,5),点M在圆O上移动,且点P满足 ,求点P的轨迹方程. 分析：点P与点M有关,点M是点P的相关点,只需找到点P与点M的坐标之间的关系即可求得点P的轨迹方程.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,变式训练4已知动点P在曲线2x2-y=0上移动,则点A(0,-1)与点P连线中点M的轨迹方程是() A.y=2x2B.y=8x2 C.2y=8x2-1D.2y=8x2+1 解析

11、：设点M坐标为(x,y),点P坐标为(x0,y0),则2 0 2 -y0=0. 因为M为AP的中点, 代入式得2(2x)2-(2y+1)=0,即2y=8x2-1. 答案：C,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,求动点轨迹方程时对动点满足的条件考虑不全致误 典例导学号03290021在ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a,c,b成等差数列,acb,|AB|=2,试求顶点C的轨迹方程. 错解以直线AB为x轴,线段AB的中点为原点,建立直角坐标系(如图), 则A(-1,0),B(1,0),设C(x,y). 因为a,c,b成等差数列,所以a+b=2c,即|AC|+|BC|=2|AB

12、|, 化简整理得3x2+4y2=12.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,正解以直线AB为x轴,线段AB的中点为原点,建立直角坐标系(如图), 则A(-1,0),B(1,0),设C(x,y). 因为a,c,b成等差数列,所以a+b=2c, 即|AC|+|BC|=2|AB|,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,变式训练若ABC的边AB是定长2a,边BC的中线为定长m,则顶点C的轨迹方程为. 解析：取AB的中点O为原点,直线AB为x轴,建立直角坐标系(如图), 则A(-a,0),B(a,0). 化简得(x+3a)2+y2=4m2. 又点C在直

13、线AB上时不能组成三角形,故y0, 因此顶点C的轨迹方程是(x+3a)2+y2=4m2(y0). 答案：(x+3a)2+y2=4m2(y0)(答案不唯一),1 2 3 4 5,1.方程x2+xy=x所表示的图形是() A.一个点 B.一条直线 C.两条直线 D.一个点和一条直线 解析：原方程等价于x(x+y-1)=0 x=0或x+y-1=0,故原方程所表示的图形是两条直线. 答案：C,1 2 3 4 5,2.若方程x-2y-2k=0与2x-y-k=0所表示的两条直线的交点在方程x2+y2=9的曲线上,则k等于() A.3B.0C.2D.一切实数 解析：两直线的交点为(0,-k), 由已知点(0,-k)在曲线x2+y2=9上, 故可得k2=9,故k=3. 答案：A,1 2 3 4 5,3.动点在曲线x2+y2=1上移动时,它和定点B(3,0)连线的中点P的轨迹方程是() A.(x+3)2+y2=4B.(x-3)2+y2=1 C.(2x-3)2+4y2=1D. 解析：设点P坐标为(x,y),曲线上