2011年普通高等学校招生全国统一考试数学文(四川卷)(解析版)

1、.2011 年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷 )数 学(文史类 )本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分第1 部分 1 至 2 页，第二部分 3 至 4页，共 4页考生作答时，须将答案打在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效，满分150 分，考试时间 120 分钟考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回参考公式：如果事件 a、 b 互斥，那么球是表面积公式p( ab)p( a) p( b)s4 r2如果事件a、 b 相互独立，那么其中 r 表示球的半径p( ab)p( a) p( b)球的体积公式如果事件 a 在一次试验中发生的概率是p，那么v4 r33n 次独立重复试

2、验中恰好发生k 次的概率其中 r 表示球的半径pn (k) cnk p k (1 p) n k第一部分（选择题共 60 分）1选择题必须使用2b 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上2本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分一、选择题：本大题共12 个小题，每小题5 分，共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的1若全集 m 1, 2, 3, 4, 5 ， n2,4 ，则 em n（a ）（ b） 1, 3, 5（c） 2, 4（ d） 1, 2, 3, 4, 5答案： b解析： m 1,2, 3, 4, 5 ，则 em n1,3, 5 ，选 b 2有

3、一个容量为66 的样本，数据的分组及各组的频数如下：11.5， 15.5)215.5 ，19.5)419.5 ，23.5)923.5 ， 27.5)1827.5 ， 31.5)1l31.5 ， 35.5)1235.5 ，39.5)739.5 ， 43.5)3根据样本的频率分布估计，大于或等于31.5 的数据约占（a ） 2（ b）1（ c） 1（ d） 211323答案： b解析： 大于或等于31.5 的数据共有 12+7+3=22 个，约占 221 ，选 b6633圆 x2y24 x6 y0的圆心坐标是（a ） (2，3)（ b） (2， 3)（ c） ( 2， 3)（ d） (2， 3)答

4、案： d解析： 圆方程化为 ( x2) 2( y3)213，圆心 (2， 3)，选 d 4函数 y(1)x1的图象关于直线y=x 对称的图象像大致是2;.答案： a解析： y(1)x1图象过点 (0,2)，且单调递减，故它关于直线y=x 对称的图象过点 (2,0)2且单调递减，选a 5 “x 3”是“x2 9”的（a ）充分而不必要的条件（ b）必要而不充分的条件（c）充要条件（ d）既不充分也不必要的条件答案： a解析： 若 x 3，则 x 29，反之，若 x 2 9，则 x3，选 a6 l1 ， l 2 ， l3 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（a ） l1l 2 ， l 2l3

5、l1 / l 3（ b） l1l2 ， l 2 / l3l1l 3（c） l 2 / l3 / l3l 1 ， l 2 ， l3 共面（ d） l1 ， l 2 ， l3 共点l1 ， l2 ， l3 共面答案： b解析： 由 l1l2 ， l 2 / l3，根据异面直线所成角知l 1 与 l 3 所成角为 90，选 b 7如图，正六边形uuuruuuruuur（）abcdef 中， bacdef（a ） 0uuur（ b） beuuuruuur（c） ad（ d） cf答案： duuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur解析： bacdefcddeefcf ，选 d8在 abc

6、 中，222c sin b sin c ，则 a 的取值范围是sina sin bsin（a ） (0,（ b） ,)（ c） (0,（ d） ,)6633答案： cbc ，即 b2c2a 2解析： 由 sin 2 asin2 bsin2 csin b sin c 得 a2b2c21 ，2bc2 cos a1 ，0 a，故 0a，选 c239数列 a 的前 n 项和为 s ，若 a =1， a=3s （ n 1），则 a =nn1n+1n6（a ） 3 44（ b） 3 44+1（ c） 44（ d） 44+1答案： a;.解析： 由 an+1 =3sn，得 an =3sn 1（ n 2），相

7、减得an+1 an =3(sn sn 1)= 3an，则 an+1=4an（ n 2），a1=1， a2=3，则 a6= a244=344，选 a 10某运输公司有12 名驾驶员和19 名工人，有8 辆载重量为10 吨的甲型卡车和7 辆载重量为 6 吨的乙型卡车 某天需运往a 地至 少 72 吨的货 物，派用的每辆车需满载且只运送一次派用的每辆甲型卡车需配2 名工人，运送一次可得利润450 元；派用的每辆乙型卡车需配1 名工人，运送一次可得利润350 元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润为（）（a ） 4650 元（ b） 4700 元（ c） 4900 元（ d） 500

8、0 元答案： c解析：设派用甲型卡车x（辆），乙型卡车y（辆），获得的利润为u（元），u450x350 y ，由题意，甲型卡车x（辆）乙型卡车y（辆）运输量10x6y驾驶员xy工人2xyxy12,2xy19,其中 x、 y 满足关系式 10x6 y 72,0x8,0y7,作出相应的平面区域，y5x +3y=36u 450x350 y50(9 x7 y) 在 由xy12,确 定 的 交 点2xy19(7,5) 处取得最大值4900 元，选 c11在抛物线 yx2ax5(a0) 上取横坐标为x14 ， x2 2 的两y=7axox+ y=129x +7y=0点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的

9、一条直线同时与抛物线和圆5x25 y236 相切，则抛物线顶点的坐标为（）（a ） (2,9)（ b） (0,5)（c） (2,9)（ d） (1,6)答案： a解 析 ： 令 抛 物 线 上 横 坐 标 为 x14、 x2 2 的 点 为a( 4,114a) 、 b(2,2 a 1) ，则 kaba2 ，由 y2xaa2 ，得 x1 ，故切点为( 1, 4a ) ，设切线方程为(a2) xy 60 ，该直线又和圆相切，则d616，解得 a4 或 a0 （舍去），则抛物线(a2) 2524 x5( x29 ，定点坐标为( 2, 9) ，选 a 为 y x2)12在集合 1,2,3,4,5 中任

10、取一个偶数a 和一个奇数 b 构成以原点为起点的向量(a, b) ，从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成的平行四边形的个数为 n，其中面积等于2 的平行四边形的个数为m，则 m（ a ） 2（ b） 1（ c） 4n15515x =8（ d） 132 x+y=19;.答案： b解析：以原点为起点的向量(a, b) 有 (2,1) 、(2,3) 、(2,5) 、(4,1) 、(4,3) 、 (4,5)共 6 个，可作平行四边形的个数nc6215 个 . 以两个向量为邻边的平行四边形面积为2意味着以这两个向量为邻边的三角形的面积为1，结合图形观察知， 其中由(

11、2,1)和(4,1)、和(4,3)、(2,1)(2,3) 和 (4,5)确定的平行四边形面积为2，共有 3个，则 m31 ，n155选 b 第二部分（非选择题共 90 分）注意事项：1必须使用0.5 毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效2本部分共10 小题，共90 分二、填空题：本大题共4 小题，每小题 4 分，共 16 分.9313 ( x 1) 的展开式中 x 的系数是 _（用数字作答）答案： 84解析： ( x1)9 的展开式中 x3 的系数是 c96c938414双曲线 x2y21 上

12、一点 p 到双曲线右焦点的距离是4，那么 p 到左准线的距离是 _64 36答案： 16答案： 16解析： 离心率 e5 ，设 p 到右准线的距离是d，则 45 ，则 d16 ，则 p 到左准线的4d45距离等于 2 641616 10515如图，半径为 4 的球 o 中有一内接圆柱当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是 _答案： 32解析： 如图，设球一条半径与圆柱相应的母线夹角为，圆柱侧面积s 2 4sin2 4cos 32sin2，当时， s 取最大值 32，此时4球的表面积与该圆柱的侧面积之差为32 16函数 f ( x) 的定义域为 a，若 x1 , x2a 且 f

13、( x1 )f ( x2 ) 时总有 x1 x2，则称f (x) 为单函数例如，函数f ( x) =2 x+1( x r )是单函数下列命题：函数 f (x)x2 （xr）是单函数；指数函数f ( x) 2x （ x r ）是单函数；若 f ( x) 为单函数， x1 , x2a 且 x1 x2 ，则 f ( x1 ) f ( x2 ) ；在定义域上具有单调性的函数一定是单函数其中的真命题是 _（写出所有真命题的编号）;.答案： 解析： 对于，若f ( x1 ) f (x2 ) ，则 x1x2 ，不满足；是单函数；命题实际上是单函数命题的逆否命题，故为真命题；根据定义，命题满足条件三、解答题：

14、本大题共6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题共l2 分）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多某自行车租车点的收费标准是每车每次租车不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2 元 (不足 1 小时的部分按1 小时计算 )有甲、乙人互相独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为1 、 1 ；两小时以上且不超过三小时还车的概率42分别为 1 、 1 ；两人租车时间都不会超过四小时24（）分别求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率；（）求甲、乙两人所付的租车费用之和小于6 元的概率本小题主要考查相互独

15、立事件、互斥事件等概念及相关概率计算，考查运用所学知识和方法解决实际问题的能力解：（）分别记甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车为事件a、 b，则p( a) 1 1 1 1 ， p( a) 1 1 1 1 424244答：甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为1 、 1 44（）记甲、乙两人所付的租车费用之和小于6 元为事件 c，则p(c ) (11)(1111)(111111)3 4244222442444答：甲、乙两人所付的租车费用之和小于6 元的概率为 34【评析】第（2）题需要列举甲、乙两人所付的租车费用之和小于6 元的所有可能性：11（ 1）甲、乙都不超过两小时还车的概率为

16、；4 2（ 2）“甲不超过两小时还车、乙两小时以上且不超过三小时还车”或“乙不超过两小时还车、甲两小时以上且不超过三小时还车”的概率为1111422；（ 3）418（本小题共 l2 分）已知函数 f ( x) sin( x7cos(x3) ，xr)44（）求 f ( x) 的最小正周期和最小值；（）已知 cos()4 ， cos()4， 0220 求证： f ( )552本小题考查三角函数的性质，同角三角函数的关系，两角和的正、余弦公式、诱导公式等基础知识和基本运算能力，函数与方程、化归与转化等数学思想（）解析：f (x) sin x cos7733cos xsincos x cossin x

17、sin44442 sin x2cos x2sin( x) ， f ( x) 的最小正周期 t2，最小值 f (x)min2 4（）证明：由已知得cos cossinsin4 ， cos cossin sin455;.两式相加得 2coscos0， 0， cos0 ，则222220 f ( ) 2 4sin419（本小题共 l2 分）abc a1b1c1 中， bac=90 ， ab=ac=aa1=1，延长 a1c1 至点 p，使如图，在直三棱柱c1pa1c1，连接 ap 交棱 cc1 于 d （）求证： pb1平面 bda 1；（）求二面角a a1d b 的平面角的余弦值；本小题主要考查直三棱

18、柱的性质、线面关系、二面角等基本知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决问题的能力解法一：（）连结ab 1 与 ba 1 交于点 o，连结 od，c1d 平面 aa1， a1c1ap ， ad=pd ，又 ao=b1o，od pb1，又 od面 bda1， pb1面 bda1 ，pb 1平面 bda 1（）过a 作 ae da1 于点 e，连结 be ba ca， ba aa1，且 aa1ac=a，ba 平面 aa1c1c由三垂线定理可知beda 1 bea 为二面角aa1db 的平面角在 rt a1c1d 中， a1 d( 1) 2125 ，22又 s aa d11 11

19、5ae ， ae2 5 12225在 rt bae 中， be252235ah2 ()15， cos ahb5bh3故二面角 a a12 d b 的平面角的余弦值为3解法二：如图，以 a1为原点， a1b1，a1c1， a1a 所在直线分别为x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系 a11 1a，则a (0,0,0)，b (1,0,0)，c (0,1,0)， b(1,0,1)， p(0,2,0) b c111（）在 paa1中有 c1 d1aa1 ，即 d(0,1,1) uuuruuuur2uuur2 a1b(1,0,1) ， a1 d(0,1, x) ， b1p(1,2,0) 设平面 b

20、a1d 的一个法向量为 n1(a, b,c) ，n1uuura1 bac0,令 c11则uuuur1，则 n1(1,1) n1b0.2a1 dcuuur212 ( 1) 0 0 ， n1 b1p 1 ( 1)2pb 1平面 ba1d，（）由（）知，平面ba1d 的一个法向量 n1(1,1 , 1)2;.又 n 2 (1,0,0) 为平面 aa1d 的一个法向量cos n1 , n 2n1 n212| n1 | | n2|3 312故二面角 a a1的平面角的余弦值为2 d b320（本小题共 12 分）已知 an 是以 a 为首项， q 为公比的等比数列，sn 为它的前 n 项和（）当 s1

21、、 s3 、 s4成等差数列时，求q 的值；（）当 sm 、 sn 、 sl 成等差数列时，求证：对任意自然数k， amk 、 ank 、 al k 也成等差数列本小题考查等比数列和等差数列的基础知识以及基本运算能力和分析问题、解决问题的能力解：（）由已知，anaqn 1 ，因此 s1a ， s3a(1qq 2 )， s4a (1qq 2q3 ) 当 s1 、 s3 、 s4 成等差数列时，s1s42 s3 ，可得 aq3aqaq2 化简得 q2q1 0解得 q15 2（）若 q1，则 an 的每项 ana ，此时 amk 、 ank 、 al k显然成等差数列若 q1 ，由 sm 、sn 、

22、sl成等差数列可得sm sl2sn ，即 a (q m1)a(ql1)2a (q n1) q1q1q1整理得 qmq l2qn 因此， amkal kaqk 1 ( qmql ) 2aqn k 12an k 所以， am k 、 an k 、 alk 也成等差数列21（本小题共 l2 分）x2y2过点 c(0， 1)的椭圆1( ab0) 的离心率为3，椭圆与 x 轴交于两点 a(a,0) 、222abb(a,0) ，过点 c 的直线 l 与椭圆交于另一点d ，并与 x 轴交于点 p，直线 ac 与直线 bd 交于点 q（ i ）当直线 l 过椭圆右焦点时，求线段cd 的长；uuuruuur（）

23、当点 p 异于点 b 时，求证： op oq 为定值本小题主要考查直线、椭圆的标准方程及基本性质等基本知识，考查平面解析几何的思想方法及推理运算能力解：（）由已知得 b1, c3 ，解得 a 2 ，所以椭圆方程2a2为 x1 y24椭圆的右焦点为 ( 3,0)，此时直线l 的方程为y31 ，代入椭圆方程得x37 x28 3x 0 ， 解 得 x10, x28 3 ， 代 入 直 线 l的 方 程 得 y1 1,y21 ， 所 以77d (8 3 ,1) ，故 | cd |( 8 30)2(11)216 77777（）当直线 l 与 x 轴垂直时与题意不符设直线 l的方程为 ykx1(k0且 k

24、1) 代入椭圆方程得(4 k 2 1)x28kx0228k14 k解得 x10, x2，代入直线l 的方程得 y11,y2，214k24k1;.所以 d 点的坐标为 (8k14k22,2) 4k1 4 k1又直线 ac 的方程为 xy1 ，又直线 bd 的方程为 y12k(xx4k,2) ，联立得2k 1.224ky因此 q(4k,2 k1) ，又 p(1,0) uuuruuurk14k,2 k1)4 所以 op oq (,0)(kuuuruuur故 op oq 为定值22（本小题共 l4 分）已知 函数 f (x)2x1 ， h( x)x 32（）设函数f(x) 18f(x)x2h(x) 2

25、，求 f(x)的单调区间与极值；（）设 ar ，解关于31)32lg h( ax)2lg h(4x) ；x 的方程 lgf ( x24（）设 nn*，证明： f ( n) h(n) h(1)h(2)lh(n)1 6本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力解：（） f ( x)18 f ( x)x2 h( x) 2x312x9( x0) ，f ( x)3x212令f ( x) 0 ，得 x2 （ x2 舍去）当 x(0,2) 时 f ( x)0 ；当 x(2,) 时， f (x)0 ，故当 x0,2)时， f (x) 为增函数；当x2,) 时，