医用高等数学课件：4 函数单调性_第1页
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文档简介

1、,函数单调性的判别,函数单调性与导数,定理 设函数在上连续，在内可导 若，则在上单调增加； 若，则在上单调减少。,函数单调性与导数,证：在上任取两点 ，则函数在上满足拉格朗日中值定理条件。由定理必存在，使得 由的任意性，可知在上单调递增。,函数单调性与导数,例1 确定函数的单调区间。其中. 解：求的导函数.,函数单调性与导数,例2 确定的单调区间. 解： 所以当时，导数不存在。,函数单调性与导数,命题1 若函数在区间上满足 则必有,利用导数证明不等式,命题2 若函数在区间上满足 则必有,利用导数证明不等式,例 证明： 证：先证 令： 则有: 所以, 即 .,函数单调性与导数,再证： 令： 则有

2、： 所以, 原不等式成立。,函数单调性与导数,极值问题 驱动数学发展的黄金问题。数学在很大程度上因为解决或为了解决这些问题而获得长足的进步。,函数的极值与最值,一些极值问题 例1 最速降线问题 (变分法),函数的极值与最值,例2 悬链线问题 (变分法),函数的极值与最值,悬链线,一些极值最值问题 邮递员 - 最短路径问题 博弈论 - 最佳策略问题 计算机 - 最佳搜索/排序算法 交通 - 最佳管制方案 金融 - 最佳投资组合 通讯 - 最优编码方案,函数的极值与最值,一、函数的极值与求法 定义4.1 设函数在点的某邻域内有定义. 若对该邻域内任意一点，都有，则称为的极大值，点为极大值点。 反之

3、称为极小值。,函数的极值与最值,函数的极值与最值,定理4.7 (极值点的必要条件) 设函数在点的某邻域内有定义，点是极值点的必要条件是: 或 不存在 证明类似罗尔中值定理,函数的极值与最值,注意： 导数为零的点称为 驻点。 定理4.7仅为极值存在的必要条件。也就是说，极值点要在驻点中筛选。,函数的极值与最值,定理4.8 (极值点存在的充分条件 - ) 设函数在点连续，且在点的某空心邻域内可导。 若在点的两侧邻域内，的正负性不同，则为极值点。从左至右， 由正变负为极大值；否则为极小值。 否则不是极值点。,函数的极值与最值,注意： 定理4.8 为极值存在的充分条件。只有满足定理成立条件的才适用该判

4、定方法。 该方法的一个优点是不需要在点处可导。 通常以列表法使用该定理确定极值。,函数的极值与最值,例1 求的极值。 解：首先求得 以驻点和导数不存在点分隔区间。,函数的极值与最值,定理4.8 (极值点存在的充分条件 - ) 设是的驻点，二阶导数存在且不为零，则 当时，为极小值。 当时，为极大值。,函数的极值与最值,仅证：当时，为极小值。 证：设点在的邻域内，则有,函数的极值与最值,注意： 定理4.8 的优点在于在驻点处求二阶导数就能判定极值类型，可以避免使用列表法(较繁琐)。 缺点： 当时方法失效。 当不存在时方法失效。,函数的极值与最值,例2 求的极值。 解： 求得驻点为 再由 可知 为极大值. 为极小值.,函数的极值与最值,最值(最大/最小)的求法 - 区间上 先求出

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