医用高等数学课件：2 极限与连续

1、,极限与连续,定义2.1 无穷多个数按如下顺序排列 称为数列, 简记为 。 数列又可记为 , 并称为下标函数。,数列的极限,一些数列的例子 1. 2. 3.,数列的极限,4. 5. 不难看出 第 1、2、3项数列当时趋于某常数。 而 第4、5、6项数列不存在这样的情形。,数列的极限,对于数列 我们不难看出随着下标 n 趋于无穷，数列的元素无限趋于 0 （一个常数）。 具有类似性质的数列，我们认为它存在极限（或称收敛）。 如何用数学语言来刻画（界定）存在极限的数列 ? 使用定义（Cauchy & Weierstrass） 这个定义对微积分的基础很重要，但对计算极限帮助不大。,数列的极限,定义 2

2、.2 设有数列和常数，如果对任意给定的，存在正整数，使当时，恒有 成立，则称常数为数列的极限 (或称收敛到)，记为 若数列没有极限，则称其发散。,数列的极限,定义的核心思想 为了描述无限趋于常数，我们引入一个用于比较的正数。既然随着而无限趋于常数，则与常数的距离必定也无限趋于0，也就是说无论有多小， 从某个开始（），会比更小（也就是）。,数列的极限,一些数列极限,数列的极限,主要分两种情况讨论： 情形一：时函数的极限。 情形二：时函数的极限。 每种情形还可分别讨论其左右极限。,函数的极限,情形一：时函数的极限。 例如： 又如：,函数的极限,我们看到： 当代入到就得到所求极限。 而 却不能直接将

3、 代入计算。,函数的极限,观察函数 与 的异同。,函数的极限,定义 2.4 设有函数和常数. 如果对任意给定的正数，总存在，使当时，恒有 则称常数为时函数的极限，记作,函数的极限,注意： 1. 函数在时是否存在极限与在处有无定义无关。 例如:,函数的极限,注意： 2. 定义中的方式是任意的，既可从的左侧趋于，也可从的右侧趋于。 有时需要用到单侧极限（ 仅从的左/右侧趋于） 例如：,函数的极限,计算左/右极限 设 计算：，,函数的极限,定理 2.1 的充分必要条件是 即：,函数的极限,情形二：时函数的极限。 例如： 又如：,函数的极限,证明： 证：,函数的极限,定义 2.5 设函数在时有定义，为

4、常数。如果对任意给定的正数，总存在正数，使当时，恒有 则称常数为时函数的极限，记为,函数的极限,定理 2.2 的充分必要条件是 即：,函数的极限,定义 2.6 极限为零的变量称为无穷小量。 例如： ，所以当 时， 是无穷小量。 辨析： 并不总是无穷小量，例如当 时就不是。 注意：无穷小量与极限过程()相关。,无穷小（大）量,定理 2.3 ：极限的充分必要条件是，函数在的某空心邻域内可表示为，即 其中为时的无穷小量，即,无穷小（大）量,无穷小量的性质 1. 有限个无穷小量的和或差仍为无穷小量。 2. 任意多个无穷小量之积仍为无穷小量。 3. 无穷小量与有界量之积仍为无穷小量。,无穷小（大）量,例

5、子 1.,无穷小（大）量,定义 2.7 设和是同一变化过程()中的两个无穷小量，且. 1) 若，则称是的高阶无穷小量。 2) 若，则称是的同阶无穷小量。 特别当时，称是的等价无穷小量。 记作：,无穷小（大）量,例如当时，都是无穷小量。 1. 是的高阶无穷小量。 2. 与是同阶无穷小量。 3. 与是等价无穷小量。,无穷小（大）量,性质 2.5（无穷小量等价替换定理） 如果，且极限存在，则有 注意该方法的适用范围。,无穷小（大）量,定义 2.8 在自变量的某一变化过程中，若变量的绝对值无限增大，则称为无穷大量。 即若有，则称为无穷大量。 例如：当时，是无穷大量。,无穷小（大）量,不是无穷大量的例子

6、 解释: 因为当时 而当时,无穷小（大）量,既不趋于常数，也不趋于无穷,无穷大量与无穷小量的关系 1.无穷大量的倒数为无穷小量。 2.无穷小量的倒数为无穷大量。 3. 任意多个无穷大量的乘积为无穷大量。,无穷小（大）量,基本性质 性质 2.6 若极限存在，则极限值唯一。 性质 2.7 若极限存在，则在的某空心邻域内有界。 性质 2.8 若极限，则在的某空心邻域内恒大于零。 性质 2.9 若， ，且在的某空心邻域内恒有，则。,极限的基本性质与运算法则,极限的四则运算法则 定理 2.4 若极限与都存在，则有 ， 。,极限的基本性质与运算法则,定理 2.4 推论 1. 2. 3. 4.,极限的基本性

7、质与运算法则,定理 2.6 设与构成复合函数. 若，且，则有,极限的基本性质与运算法则,推论 2.5 (幂指函数的极限) 设， ，则有 证明：利用等式，再结合极限运算性质和复合函数的极限。,极限的基本性质与运算法则,计算极限 1. 2. 3. 已知，求的值。 4.,极限的基本性质与运算法则,计算极限 5. 6. 7. 8.,极限的基本性质与运算法则,解： 设 则 不难得到,解：设 则： 故：,解:,解：,解： 当时，分子 故若要使极限值为常数 1，则必须有 即： 得到 代入原式,已知，求。,解： 分析：若，则极限趋于无穷 。所以。 当时，原极限,已知,求。,定理 2.7 假设在的某空心邻域内，

8、恒有 其中，且有 则极限存在，且有,极限的存在性定理,定理 2.7 示意图,极限的存在性定理,定义 2.9 设有数列. (1) 如果，则称数列是有界的。 (2) 如果，则称数列是单调增加的；反之称其单调减少。 定理 2.8 单调有界数列必有极限。,极限的存在性定理,例1：计算 解：注意到 不难得出原式等价于,极限的存在性定理,解：设 则 而 故,解：设 则 而 故,例题2.20 设，求 解： 1. 先证存在极限，即证单调有界。 易见，由此，并利用数学归纳法可证 ，故单调递增。 - 利用不等式，可得 ，故 有上界。 综合以上两点，存在极限。,极限的存在性定理,例题2.20 设，求 解： 2. 不

9、妨设的极限为 则由，并对其两边分别求极限，不难得到： 即 解得,极限的存在性定理,例题：计算 解：本题使用定理2.7的方法计算。 设，则 取极限后有： 故,极限的存在性定理,1.,两个重要极限,证明: 按面积从小到大顺序排列 三角形OPA 扇形OPA 三角形OTA,两个重要极限,即有： 等价于: 同除以后: 再取倒数:,两个重要极限,再对上式取极限 由Sandwich定理: 再由:,两个重要极限,由导出的等价命题 1. 2. 3.,两个重要极限,证明： 证：令，则当时。 由定理2.6复合函数的极限定理 同理可证：,两个重要极限,2. 先证明： 证明思路：证明单调递增有上界。,两个重要极限,首先

10、证明：单调递增 利用平均不等式 即：,两个重要极限,利用平均值不等式 说明 单调递增。,两个重要极限,其次证明：有上界。 证明方法：构造 易见： 我们来证明： 单调递减。,两个重要极限,所以的最大值为4，因此 4 也是的上界。,证明： 即证： 等价于:,两个重要极限,利用不等式 可证： 故命题：成立. 因此： 是单调递增有上界的数列。,两个重要极限,记： 将 称为自然常数。 下面证明：,两个重要极限,证明： 证：设 , 则 时 , 。 故: 又：,两个重要极限,解释：,两个重要极限,综合与 我们有： 推广到实数域：,两个重要极限,证明： 证： 1. 当时, , 等式成立。 2.当时,两个重要极限,由 导出的等价命题. 1. 2. 3.,两个重要极限,取 x 的倒数,等式两边取对数 ln,令 并代入,3. 证明：令 并代入左式，得到 所以:,两个重要极限,4.,两个重要极限,令 ，原式取倒数。,当时的等价无穷小量 1. 2. 3. 4.,等价无穷小量,1. 计算 解：易见 故：,习 题,2. 计算 解：