理论力学 第六章

1、,第六章 力系的简化与平衡 (Simplification and Equilibrium of force systems),返回总目录,Theoretical Mechanics,第二篇 动力学,制作与设计 山东大学 工程力学系,Theoretical Mechanics,引 言,引 言,力系的简化: 把复杂力系用与其等效的较简单的力系代替。 力系的平衡条件：物体平衡时，作用于物体上的一群力（称为力系）必须满足的条件。 平衡力系：平衡时的力系。,返回首页,Theoretical Mechanics,第六章 力系的简化与平衡,返回首页,6.1 汇交力系的简化与平衡,Theoretical M

2、echanics,6.1 汇交力系的简化与平衡,6.1.1 几何法,设汇交于A点的力系由n个力Fi（i = 1,2,n）组成,记为F1、F2、Fn。 根据平行四边形法则，将各力依次两两合成，FR为最后的合成结果，即合力。汇交力系合力的矢量表达式为,汇交力系的合成结果是一合力，合力的大小和方向由各力的矢量和确定，作用线通过汇交点。,返回首页,Theoretical Mechanics,F1,FR,FR2,FR1,F4,F3,F2,例：用力多边形法则，求四个力组成的平面汇交力系的合力。,使各力首尾相接，其封闭边即为合力FR。,6.1.1 几何法,返回首页,O,6.1 汇交力系的简化与平衡,Theo

3、retical Mechanics,几点讨论,合力矢FR与各分力矢的作图顺序无关。 各分力矢必须首尾相接。 合力从第一个力矢的始端指向最后一个力矢的末端。 按力的比例尺准确地画各力的大小和方向。,6.1.1 几何法,返回首页,6.1 汇交力系的简化与平衡,Theoretical Mechanics,结 论,平面汇交力系合成的结果是一个合力，它等于原力系中各力的矢量和，合力的作用线通过各力的汇交点。,6.1.1 几何法,返回首页,6.1 汇交力系的简化与平衡,Theoretical Mechanics,汇交力系各力Fi和合力FR在直角坐标系中的解析表达式,由合力投影定理,得到汇交力系合力的大小和

4、方向余弦,合力作用线过汇交点。,6.1.2 解析法,返回首页,6.1 汇交力系的简化与平衡,6.1.2 解析法,6.1 汇交力系的简化与平衡,汇交力系平衡的充分必要条件,汇交力系的合力为零,各力在三个坐标轴上的投影代数和分别等于零,对于各力作用线都在同一平面内的平面汇交力系（设平面为Oxy平面），Fz0，则其平衡方程为,Theoretical Mechanics,返回首页,第六章 力系的简化与平衡,6.2 力偶系的简化与平衡,设刚体上作用力偶矩矢M1、M2、Mn ，根据力偶的等效性，将各力偶矩矢平移至图中的任一点A，力偶系合成结果为一合力偶。,Theoretical Mechanics,6.2

5、 力偶系的简化与平衡,返回首页,Theoretical Mechanics,合力偶矩矢在各直角坐标轴上的投影,其力偶矩M等于各力偶矩的矢量和,对于平面力偶系M1、M2、Mn，合成结果为该力偶系所在平面内的一个力偶，合力偶矩M为各力偶矩的代数和,返回首页,6.2 力偶系的简化与平衡,力偶系平衡的充分必要条件,力偶系的合力偶矩为零,合力偶矩矢在三个坐标轴上的投影分别等于零,对于平面力偶系（设平面为Oxy平面），Mx0， My0，则其平衡方程为,6.2 力偶系的简化与平衡,Theoretical Mechanics,返回首页,第六章 力系的简化与平衡,6.3 空间任意力系的简化,Theoretica

6、l Mechanics,6.3 空间任意力系的简化,6.3.1 力的平移定理,M,+,M,力的平移定理,返回首页,Theoretical Mechanics,结 论,力的平移定理：作用于刚体上的力F ，可以平移至同一刚体的任一点O ，但必须增加一个附加力偶，附加力偶的力偶矩等于原力F对于平移点O之矩，即,M = rF = MO(F),返回首页,6.3 空间任意力系的简化,Theoretical Mechanics,山东大学,逆过程：当一个力与一个力偶的力偶矩矢垂直时，该力与力偶可合成为一个力，力的大小和方向与原力相同，但其作用线平移。力 平移的方向为 M的方向，平移的距离为 。,返回首页,6.

7、3 空间任意力系的简化,Theoretical Mechanics,6.3.2 力系向一点简化主矢和主矩,设刚体上作用一任意力系F1、F2、Fn。,返回首页,任选一点O称为力系的简化中心。依据力的平移定理，将力系中诸力向O点平移。,得到作用于O点的一汇交力系F 1、F 2、F n和一力偶系M1、M2、Mn 。,6.3 空间任意力系的简化,Theoretical Mechanics,将汇交力系与力偶系合成，得到作用于简化中心O的力矢FR与力偶矩矢MO,称为该力系的主矢 MO称为该力系对简化中心O的主矩。,6.3.2 力系向一点简化主矢和主矩,返回首页,6.3 空间任意力系的简化,Theoreti

8、cal Mechanics,结 论,任意力系向一点简化的结果为作用于该点的一个力和一个力偶。这个力是力系的主矢，等于力系中各力的矢量和，这个力偶是力系的主矩，等于各力对该点之矩的矢量和。,主矢的大小、方向与简化中心无关，称为力系的第一不变量。 主矩的大小、方向与简化中心有关。,6.3.2 力系向一点简化主矢和主矩,返回首页,6.3 空间任意力系的简化,Theoretical Mechanics,6.3.3 力系的简化结果分析,1.力系简化为合力偶M,其大小、方向与简化中心无关,2.力系简化为合力 (1)力系简化为通过简化中心O的合力FR,FR0，MO = 0 FR = FR = Fi,返回首页

9、,6.3 空间任意力系的简化,Theoretical Mechanics,(2)进一步合成为一合力,FR0，MO0，且FR MO = 0，即FRMO,合力作用线沿FRMO方向偏离简化中心O一段距离OO = d =,6.3.3 力系的简化结果分析,返回首页,6.3 空间任意力系的简化,Theoretical Mechanics,如果在简化中心O点上建立直角坐标系Oxyz，合力FR作用点O的矢径用r表示。由MO = rFR 可确定合力FR的作用线。其解析表达式为,6.3.3 力系的简化结果分析,返回首页,6.3 空间任意力系的简化,Theoretical Mechanics,3. 力系简化为力螺旋

10、,FR0，MO0，且FR与MO成任意角,将 正交分解为 和,可看成是 与 的组合,与 是二平衡力，可移去。,6.3.3 力系的简化结果分析,返回首页,O,6.3 空间任意力系的简化,Theoretical Mechanics,简化结果为力螺旋。,将 移到 O,作用线沿FRMO偏移d，d =,6.3.3 力系的简化结果分析,简化过程图,返回首页,6.3 空间任意力系的简化,Theoretical Mechanics,力螺旋也是一种最简单的力系。如果FR与MO同向，即FR MO0，称为右力螺旋；如果FR与MO反向，即FR MO0时，称为左力螺旋。力FR的作用线称为力螺旋的中心轴。,4.力系平衡,F

11、R = 0，MO = 0,6.3.3 力系的简化结果分析,返回首页,6.3 空间任意力系的简化,Theoretical Mechanics,结 论,力系的简化结果： 力系简化为一合力偶M。 力系简化为作用于简化中心O的合力FR 。 力系简化为作用于O的合力FR 。 力系简化为力螺旋。 平衡力系。,6.3.3 力系的简化结果分析,返回首页,6.3 空间任意力系的简化,Theoretical Mechanics,例 题,例 图示力系中F1100N，F2F3100N，F4300N， a2m，试求此力系合成结果。,解：以O为简化中心,主矩,则力系主矢，方向沿z轴向下,2m,返回首页,6.3 空间任意力

12、系的简化,Theoretical Mechanics,所以力系简化为左螺旋，,例 题,返回首页,6.3 空间任意力系的简化,Theoretical Mechanics,6.3.4 平面任意力系的简化,结论：平面任意力系向作用面内任一点简化，一般可以得到一力和一力偶；该力作用于简化中心，其大小及方向等于平面力系的主矢，该力偶之矩等于平面力系对于简化中心的主矩。,主矢FR与主矩MO视为代数量，而且FRMO。平面任意力系的最终简化结果：平衡、合力偶和合力三种情形。,返回首页,6.3 空间任意力系的简化,Theoretical Mechanics,当MO0时，力系有合力FR = FR，其偏移O点的距离

13、OO = d = ，偏移的方向由MO的转向来确定。,合力作用线方程：,6.3.4 平面任意力系的简化,返回首页,6.3 空间任意力系的简化,Theoretical Mechanics,例 胶带运输机传动滚筒的半径R=0.325 m，由驱动装置传来的力偶矩M=4.65 kNm，紧边带张力F T 119 kN，松带张力 F T 24.7 kN，带包角为210，坐标位置如图 a)所示，试将此力系向点O简化。,解：（1）先求主矢量,例 题,返回首页,6.3 空间任意力系的简化,Theoretical Mechanics,主矢量的大小为,主矢量的方向,（2）再求主矩,由于主矩为零，故力系的合力FR即等于

14、主矢量，即合力FR的作用线通过简化中心,例 题,返回首页,6.3 空间任意力系的简化,Theoretical Mechanics,例 题,返回首页,例 为校核重力坝的稳定性，需要确定出在坝体截面上所受主动力的合力作用线，并限制它和坝底水平线的交点E与坝底左端点O的距离不超过坝底横向尺寸的2/3，即 。重力坝取1m长度，坝底尺寸b18 m，坝高 H = 36 m，坝体斜面倾角 70。已知坝身自重W=9.0103 kN，左侧水压F1=4.5103 kN，右侧水压力F2=180103 kN，F2力作用线过E点。各力作用位置的尺寸a6.4 m，h10 m，c12 m。试求坝体所受主动力的合力、合力作用

15、线方程，并判断坝体的稳定性。,6.3 空间任意力系的简化,Theoretical Mechanics,例 题,返回首页,解：选O为简化中心，建立图示坐标系Oxy。图示 = 90 20。力系向O点简化为,主矢FR,主矩MO,6.3 空间任意力系的简化,Theoretical Mechanics,例 题,返回首页,力系的合力FRF R。合力作用线方程,y = 0，得x = 11.40，即合力作用线与坝底交点E至坝底左端点O的距离OE = x = 11.40m 。 所以该重力坝的稳定性满足设计要求。,6.3 空间任意力系的简化,Theoretical Mechanics,返回首页,第六章 力系的简化

16、与平衡,6.4 空间任意力系的平衡,Theoretical Mechanics,6.4 空间任意力系的平衡,空间一般力系平衡的充分必要条件,结论：各力在三个坐标轴上投影的代数和以及各力对此三轴之矩的代数和都必须同时等于零。,返回首页,Theoretical Mechanics,例 水平传动轴上安装着带轮和圆柱直齿轮。带轮所受到的紧边胶带拉力FT1沿水平方向，松边胶带拉力FT2与水平线成30角，如图所示。齿轮在最高点C与另一轴上的齿轮相啮合，受到后者作用的圆周力F和径向力Fn 。已知带轮直径d20.2 m，啮合角20，b0.2 m，ce0.3 m， F 2 kN，零件自身重量不计，并假设FT12

17、FT2。转轴可以认为处于平衡状态。试求支承转轴的向心轴承A、B的约束力。,例 题,返回首页,6.4 空间任意力系的平衡,Theoretical Mechanics,解：画出转轴的受力图。取直角坐标系Axyz。列平衡方程,例 题,返回首页,6.4 空间任意力系的平衡,Theoretical Mechanics,解：画出转轴的受力图。取直角坐标系Axyz。列平衡方程,例 题,平衡方程Fy0成为恒等式,返回首页,6.4 空间任意力系的平衡,Theoretical Mechanics,胶带拉力间有题设的关系：,圆周力与径向力间有如下关系,将已知数据代入得,例 题,返回首页,6.4 空间任意力系的平衡,

18、Theoretical Mechanics,返回首页,第六章 力系的简化与平衡,6.5 平面任意力系的平衡,Theoretical Mechanics,6.5 平面任意力系的平衡,返回首页,作用在刚体上的力系作用线处于同一平面内时，此力系成为平面任意力系。,取力系所在平面为Oxy平面，则主矢必在Oxy平面内，主矩必垂直与Oxy平面内。空间力系平衡方程中Fz0, My0, Mx0，因此平面任意力系的平衡方程为,结论：平面力系各力在任意两正交轴上投影的代数和等于零，对任一点之矩的代数和等于零。,Theoretical Mechanics,6.5.2平面一般力系平程方程的其它形式,二力矩形式的平衡方

19、程,条件： 连线AB不垂直投影轴 x,返回首页,6.5 平面任意力系的平衡,Theoretical Mechanics,三力矩形式的平衡方程,条件： A、B、C是平面内不共线的任意三点,6.5.2平面一般力系平程方程的其它形式,返回首页,FR,6.5 平面任意力系的平衡,Theoretical Mechanics,平面平行力系平衡方程,充要条件是：力系中所有各力的代数和等于零，以及各力对于平面内任一点之矩的代数和等于零。,二矩式成立的条件：A、B两点连线不与各力的作用线平行。,6.5.3 平面特殊力系的平衡方程,返回首页,6.5 平面任意力系的平衡,Theoretical Mechanics,

20、平面力偶系平衡方程,平衡的充要条件：力偶系中各力偶矩的代数和等于零 。,m = 0,6.5.3 平面特殊力系的平衡方程,返回首页,6.5 平面任意力系的平衡,Theoretical Mechanics,例 试求图示两外伸梁的约束力FRA、FRB，其中FP = 10 kN，FP1 = 20 kN，q = 20 kN/m，d = 0.8 m。,解：,1. 选择研究对象,以解除约束后的ABC梁为研究对象,2. 根据约束性质分析约束力,A处为固定铰链，约束力为铅垂方向与水平方向的分力FAy和FAx ；B处为辊轴支座，为铅垂方向的约束力，指向是未知的，可以假设为向上的FB 。,3. 应用平衡方程确定未知

21、力,例题,返回首页,6.5 平面任意力系的平衡,Theoretical Mechanics,FB = 21 kN（）,FA y= 15 kN（）,计算结果的校核,例题,返回首页,6.5 平面任意力系的平衡,Theoretical Mechanics,例 在刚架B点受一水平力作用。设F=20 kN，刚架的重量略去不计。求A、D处的约束力 。,画受力图,选刚架为研究对象,例题,返回首页,F,6.5 平面任意力系的平衡,F,Theoretical Mechanics,选坐标轴如图所示,例题,返回首页,解：解析法,画受力图,选刚架为研究对象,列平衡方程,6.5 平面任意力系的平衡,Theoretica

22、l Mechanics,例 外伸梁ABC上作用有均布载荷q=10 kN/m，集中力F=20 kN，力偶矩m=10 kNm，求A、B支座的约束力。,解：画受力图,例题,返回首页,6.5 平面任意力系的平衡,Theoretical Mechanics,例题,返回首页,6.5 平面任意力系的平衡,Theoretical Mechanics,例 起重机的自重（平衡重除外）G=400 kN，平衡重W=250 kN。当起重机由于超载即将向右翻倒时，左轮的反力等与零。因此，为了保证安全工作，必须使一侧轮（A或B）的向上反力不得小于50 kN。求最大起吊量P为多少？,解：画支座反力FNA与FNB。令FNA=5

23、0 kN。 列平衡方程：,P=200 kN,如为空载，仍应处于平衡状态，故,例题,返回首页,6.5 平面任意力系的平衡,Theoretical Mechanics,几点讨论：,根据题意选择研究对象。,分析研究对象的受力情况，正确地画出其受力图。,研究对象与其他物体相互连接处的约束，按约束的性质表示约束反力。,正确地运用二力杆的性质和三力平衡定理来确定约束反力的方位。,例题,返回首页,6.5 平面任意力系的平衡,Theoretical Mechanics,两物体之间相互作用的力要符合作用与反作用定律。,用几何法求解时，按比例尺作出闭合的力多边形，未知力的大小可按同一比例尺在图上量出。,用解析法求

24、解时，应适当地选取坐标轴。为避免解联立方程，可选坐标轴与未知力垂直。根据计算结果的正负判定假设未知力的指向是否正确。,例题,返回首页,6.5 平面任意力系的平衡,Theoretical Mechanics,返回首页,第六章 力系的简化与平衡,6.6 刚体系统的平衡 静定与超静定概念,Theoretical Mechanics,物体系统：由若干个物体通过适当的约束相互连接而成的系统 。,静定问题：单个物体或物体系未知量的数目正好等于它的独立的平衡方程的数目。,超静定或静不定 ：未知量的数目多于独立的平衡方程的数目。,6.6 刚体系统的平衡 静定与超静定概念,返回首页,Theoretical Me

25、chanics,独立的平衡方程数：3 未知力数：3 独立的平衡方程数=未知力数,独立的平衡方程数：3 未知力数：4 未知力数独立的平衡方程数,静定问题,超静定问题,返回首页,6.6 刚体系统的平衡 静定与超静定概念,Theoretical Mechanics,独立的平衡方程数：6 未知力数：6 独立的平衡方程数=未知力数,独立的平衡方程数：6 未知力数：7 未知力数独立的平衡方程数,静定问题,超静定问题,返回首页,6.6 刚体系统的平衡 静定与超静定概念,Theoretical Mechanics,求解过程中应注意以下几点,首先判断物体系统是否属于静定问题,恰当地选择研究对象,在一般情况下，首

26、先以系统的整体为研究对象，这样则不出现未知的内力，易于解出未知量。当不能求出未知量时应立即选取单个物体或部分物体的组合为研究对象，一般应先选受力简单而作用有已知力的物体为研究对象，求出部分未知量后，再研究其他物体。,返回首页,6.6 刚体系统的平衡 静定与超静定概念,求解刚体系统平衡问题的方法,Theoretical Mechanics,受力分析,首先从二力构件入手，可使受力图较简单，有利于解题。 解除约束时，要严格地按照约束的性质，画出相应的约束力，切忌凭主观想象画力。 画受力图时，关键在于正确画出铰链约束力，除二力构件外，通常用二分力表示铰链反力。 不画研究对象的内力。 两物体间的相互作用

27、力应该符合作用与反作用定律。,返回首页,6.6 刚体系统的平衡 静定与超静定概念,Theoretical Mechanics,列平衡方程，求未知量, 列出恰当的平衡方程，尽量避免在方程中出现不需要求的未知量。为此可恰当地运用力矩方程，适当选择两个未知力的交点为矩心，所选的坐标轴应与较多的未知力垂直。 判断清楚每个研究对象所受的力系及其独立方程的个数及物体系独立平衡方程的总数，避免列出不独立的平衡方程。 解题时应从未知力最少的方程入手，避免联立解。 校核。求出全部所需的未知量后，可再列一个不重复的平衡方程，将计算结果代入，若满足方程，则计算无误。,返回首页,6.6 刚体系统的平衡 静定与超静定概

28、念,Theoretical Mechanics,例 题,例 图中ADDB2 m，CDDE1.5 m，Q120 kN，不计杆和滑轮的重量。试求支座A和B的约束力和BC杆的内力。,解：解除约束，画整体受力图,列平衡方程,返回首页,6.6 刚体系统的平衡 静定与超静定概念,Theoretical Mechanics,可用 ，验算FAy如下,例 题,返回首页,6.6 刚体系统的平衡 静定与超静定概念,Theoretical Mechanics,为求BC杆内力F，取CDE杆连滑轮为研究对象，画受力图。列方程,F = 150 kN，说明BC杆受压力。,例 题,返回首页,6.8 物系平衡问题的应用,Theo

29、retical Mechanics,求BC杆的内力，也可以取ADB杆为研究对象，画受力图。,例 题,返回首页,6.6 刚体系统的平衡 静定与超静定概念,Theoretical Mechanics,例 某厂房用三铰刚架，由于地形限制，铰A及B位于不同高度，。刚架上的载荷已简化为两个集中力F1及F2。试求C处的约束力。,分别取AC及BC两部分为研究对象，画受力图。,解：本题是静定问题，但如以整个刚架作为考察对象，不论怎样选取投影轴和矩心，每一平衡方程中至少包含两个未数，而且不可能联立求解。,例 题,返回首页,6.6 刚体系统的平衡 静定与超静定概念,Theoretical Mechanics,取A

30、C为研究对象，画受力图。,取BC为研究对象，画受力图。,联立求解以上两式，可得,例 题,返回首页,6.6 刚体系统的平衡 静定与超静定概念,Theoretical Mechanics,返回首页, 桁架：由一些直杆彼此在两端用铰链连接而成的几何形状不变的结构 。,平面桁架：所有杆件的轴线都在同一平面内的桁架； 空间桁架：杆件轴线不在同一平面内的桁架。,平面桁架及其内力计算,例 题,6.6 刚体系统的平衡 静定与超静定概念,Theoretical Mechanics,节点 ：桁架中杆件与杆件相连接的铰链,节点构造有 榫接（图a） 焊接（图b） 铆接（图c） 整浇（图d）,均可抽象简化为光滑铰链,返

31、回首页,例 题,6.6 刚体系统的平衡 静定与超静定概念,例 题,6.6 刚体系统的平衡 静定与超静定概念,返回首页,Theoretical Mechanics,力学中的桁架模型, 构建桁架的基本原则：组成桁架的杆件只承受拉力或压力，不承受弯曲。 二力杆-组成桁架的基本构件。,桁架及其内力,6.6 刚体系统的平衡 静定与超静定概念,轴向拉压杆系的超静定问题 静定结构： Statically Determinate Structure 超静定结构： Statically Indeterminate Structure,Qingdao Gulf Bridge,Rainbow Bridge, Dai

32、ba, Jan. 27, 2011,Golden Gate Bridge, July 4, 2008,Cable,返回首页,Theoretical Mechanics,该桥（港口桥）位于浙江省长兴县港口镇附近，是中国首次建造的一座下承式预应力混凝土斜拉式桁架桥。该桥全长137.78，分跨307030(），上部结构为单悬臂加挂梁，挂梁长8.92，下部结构为双柱式墩、钻孔桩基础。,斜拉桁架式刚架桥,桁架及其内力,6.6 刚体系统的平衡 静定与超静定概念,返回首页,Theoretical Mechanics,该桥（黄陵矶桥）位于湖北省汉阳。系预应力混凝土桁架式形刚构公路桥。桥长380.19,主孔长9

33、0，桥宽8.5，沉井基础，箱式墩。,桁架式T形刚架桥,桁架及其内力,6.6 刚体系统的平衡 静定与超静定概念,返回首页,Theoretical Mechanics,工程中的桁架结构,桁架及其内力,6.6 刚体系统的平衡 静定与超静定概念,返回首页,Theoretical Mechanics,工程中的桁架结构,桁架及其内力,6.6 刚体系统的平衡 静定与超静定概念,返回首页,Theoretical Mechanics,工程中的桁架结构,桁架及其内力,6.6 刚体系统的平衡 静定与超静定概念,返回首页,Theoretical Mechanics, 足够的强度不发生断裂或塑性变形。 足够的刚度不发生

34、过大的弹性变形。,工程要求, 足够的稳定性不发生因平衡形式的突然转变而导致的坍塌。, 良好的动力学特性抗震性。,桁架及其内力,6.6 刚体系统的平衡 静定与超静定概念,Theoretical Mechanics,（1）各直杆两端均以光滑铰链连接； （2）所有载荷在桁架平面内，作用于节点上； （3）杆自重不计。如果杆自重需考虑时，也将其等效加于两端节点上。,计算桁架各杆受力时的几点假设,满足以上假设条件的桁架称为理想桁架。 理想桁架中的各杆件都是二力杆。,返回首页,桁架及其内力,6.6 刚体系统的平衡 静定与超静定概念,Theoretical Mechanics,简单桁架：桁架由三根杆与三个节点

35、组成一个基本三角形，然后用两根不平行的杆件连接出一个新的节点，依次类推而构成。,简单桁架,组合桁架,简单桁架与组合桁架都是静定桁架其杆件数m及节点数n满足 2nm+3,组合桁架：由几个简单桁架，按照几何形状不变的条件组成的桁架。,返回首页,桁架及其内力,6.6 刚体系统的平衡 静定与超静定概念,Theoretical Mechanics,桁架杆件内力计算的节点法,节点法适用于求解全部杆件内力的情况,求解要点,逐个考虑各节点的平衡、画出它们的受力图。 应用平面汇交力系的平衡方程，根据已知力求出各杆的未知内力。 在受力图中，一般均假设杆的内力为拉力，如果所得结果为负值，即表示该杆受压。,返回首页,

36、桁架及其内力,6.6 刚体系统的平衡 静定与超静定概念,Theoretical Mechanics,零杆：桁架某些不受力的杆件,零杆对保证桁架几何形状是不可缺的。在计算中，先判断零杆 。,最常见的零杆发生在图示的节点处,返回首页,桁架及其内力,6.6 刚体系统的平衡 静定与超静定概念,Theoretical Mechanics,例 一屋架的尺寸及载荷如图所示，求每根杆件的内力。,解：首先求支座A、H的反力，由整体受力图 a ，列平衡方程,FAyFNH20 kN,返回首页,桁架及其内力,6.6 刚体系统的平衡 静定与超静定概念,Theoretical Mechanics,F6= 30 kN (拉

37、)，F3= 0 (零杆),选取A节点画受力图，列平衡方程,F1= 33.5 kN (压) F2=30 kN (拉),选取B节点画受力图，列平衡方程,返回首页,桁架及其内力,6.6 刚体系统的平衡 静定与超静定概念,Theoretical Mechanics,F4= 22.4 kN (压) F5= 11.2 kN (压),F8= 22.4 kN (压) F7= 10 kN (拉),选取D节点画受力图，列平衡方程,选取C节点画受力图，列平衡方程,返回首页,桁架及其内力,6.6 刚体系统的平衡 静定与超静定概念,Theoretical Mechanics,由于结构和载荷都对称，所以左右两边对称位置的

38、杆件内力相同，故计算半个屋架即可。现将各杆的内力标在各杆的旁边，如图f所示。图中正号表示拉力，负号表示压力，力的单位为kN。,可取H节点进行校核。,返回首页,桁架及其内力,6.6 刚体系统的平衡 静定与超静定概念,Theoretical Mechanics,求桁架各杆内力，主要是在受力分析和选取平衡研究对象上要多加思考，然后是求解平面汇交力系与平面一般力系的问题。,返回首页,桁架及其内力,6.6 刚体系统的平衡 静定与超静定概念,Theoretical Mechanics,一般先求出桁架的支座反力。 在节点法中逐个地取桁架的节点作为研究对象。须从两杆相交的节点开始（通常在支座上），求出两杆未知

39、力。再取另一节点，一般未知力不多于两个。如此逐个地进行，最后一个节点可用来校核。 在截面法中，如只需求某杆的内力，可通过该杆作一截面，将桁架截为两部分（只截杆件，不要截在节点上），但被截的杆数一般不能多于三根。研究半边桁架的平衡，在杆件被截处，画出杆件的内力。 在计算中，内力都假定为拉力 。,解 题 思 路,返回首页,桁架及其内力,6.6 刚体系统的平衡 静定与超静定概念,Theoretical Mechanics,返回首页,第六章 力系的简化与平衡,6.7 平行力系的简化重心,Theoretical Mechanics,6.7 平行力系的简化重心,6.7.1 平行力系的简化 平行力系的中心,

40、平行力系的简化也是空间力系简化的一种特殊情形,平行力系的最终简化结果： 平衡、合力偶和合力情形,平行力系中的力可用代数量表示,平行力系向一点简化时其主矢和主矩总是互相垂直,返回首页,Theoretical Mechanics,在平行力系中的各力的作用点位置均已知的情形下，还可以求出合力作用点的具体位置。,根据合力矩定理，得,6.7.1 平行力系的简化 平行力系的中心,返回首页,6.7 平行力系的简化重心,Theoretical Mechanics,对于平面平行力系来说，简化后的主矢与主矩都退化为代数表达式,如果MO0，一定有合力FR，FR = FR，作用线偏离O点的距离OO = d = ，偏移

41、的方向由MO转向决定。,6.7.1 平行力系的简化 平行力系的中心,返回首页,6.7 平行力系的简化重心,Theoretical Mechanics,沿直线的分布载荷是工程实际中常见的一种平行力系，需要知道这种分布载荷的合力大小及作用线位置。,图中AB线段上作用垂直分布载荷,其合力大小,即ABba载荷图形的面积。合力作用点即平行力系中心的x坐标,即ABba载荷图形形心的x坐标。,6.7.1 平行力系的简化 平行力系的中心,返回首页,6.7 平行力系的简化重心,Theoretical Mechanics,由此可知：对于沿直线分布的垂直分布载荷来说，其合力的大小等于分布载荷图形的面积，合力作用线则

42、通过该图形的形心。,例 求图示分布载荷的合力及对A点之矩。,解：将分布载荷图形分成两个三角形，每个三角形载荷合力大小分别为,作用线位置如图示。整个分布载荷的合力大小为,6.7.1 平行力系的简化 平行力系的中心,返回首页,6.7 平行力系的简化重心,Theoretical Mechanics,由伐里农定理，总体分布载荷对A点之矩,例 题,返回首页,6.7 平行力系的简化重心,Theoretical Mechanics,6.7.2 物体的重心,重心：物体所受的重力是一种体积分布力。不论物体如何放置，其重力的合力作用线相对于物体总是通过一个确定的点，这个点称为物体的重心 。,重心C的矢径,式中的P

43、i可以是物体中任一部分的重量，而不仅限于微元体。 对由简单形体组成的物体，可用这种方法求重心，称为分割法。,返回首页,6.7 平行力系的简化重心,Theoretical Mechanics,将物体连同坐标系统x轴逆时针转过90,重心坐标公式,6.7.2 物体的重心,返回首页,6.7 平行力系的简化重心,Theoretical Mechanics,均质物体的重心或形心,均质薄壳（或曲面）的重心或形心,均质细杆（或曲线）的重心或形心,6.7.2 物体的重心,返回首页,6.7 平行力系的简化重心,Theoretical Mechanics,连续分布的物体可用积分表示,Pi = gVi 写成dP =

44、g dV, 为物体的密度,6.7.2 物体的重心,返回首页,6.7 平行力系的简化重心,Theoretical Mechanics,物体重心的求法,简单几何形状的重心可通过手册查出,组合形体的重心,将复杂形状物体分割成几个形状简单的物体 ，用有限形式的重心坐标公式,例如组合面积的形心,6.7.2 物体的重心,返回首页,6.7 平行力系的简化重心,Theoretical Mechanics,例 求图所示振动器偏心块的重心。已知R=10 cm，r=1.7 cm，b=1.3 cm。,6.7.2 物体的重心,返回首页,6.7 平行力系的简化重心,Theoretical Mechanics,偏心块重心坐

45、标为 (0, 4.001 cm),实验方法测重心位置,悬挂法,两直线相交于点C是重心,6.7.2 物体的重心,返回首页,6.7 平行力系的简化重心,Theoretical Mechanics,称重法,量出汽车的重量P，测量出前后轮距l和车轮半径r 。汽车重心必在对称面内 ，只需测定重心距地面的高度zC和距后轮的距离xC,6.7.2 物体的重心,返回首页,6.7 平行力系的简化重心,Theoretical Mechanics,6.7.2 物体的重心,返回首页,6.7 平行力系的简化重心,Theoretical Mechanics,h为重心与后轮中心的高度差,计算高度zC的公式,6.7.2 物体的重心,返回首页,6.7 平行力系的简化重心,Theoretical Mechanics,返回首页,6.8 考虑摩擦时的平衡,第六章 力系的简化与平衡,Theoretical Mechanics,两个相互接触的物体产生相对运动或具有