2012.9概率作业集(完整版)

1、概率论与数理统计（工科类）作业班级：学号：姓名：第一节随机事件一、用集合的形式表示下列随机试验的样本空间与随机事件a1. 在平整的桌面上随机抛骰子，观察出现的点数，设事件a 表示“骰子的点数是奇数”，则样本空间 ， a 。2. 观察某呼叫台一个昼夜接到的呼叫次数，设事件a 表示“一个昼夜接到的呼叫次数小于2 次”，则样本空间 ，a 。3. 对目标进行射击，击中后便停止射击，观察射击的次数，事件a 表示“射击次数不超过3 次”，则样本空间 ， a 。二、设 a，b， c 为三个事件，用a， b， c的运算关系表示下列各事件：（ 1） a， b， c 都发生：（ 2） a， b， c 都不发生：（

2、 3） a 发生， b 与 c不发生：（ 4） a， b， c 中至少有一个事件发生：（ 5） a， b， c 中至少有两个事件发生：（ 6） a， b， c 中恰有一个事件发生：三、若事件a ， b ， c 满足等式 acbc ，问 ab 是否成立？若成立，请证明；若不成立，请举反例说明。1.第二节随机事件的概率（ 1）一、选择题（ 1）设 a 与 b 是两个对立事件，且p(a)0, p(b)0 ，则下列正确的是（）。（ a） p( a)p(b)1（b） p( ab)1（ c） p( ab)p(a)p(b)（ d） p( a)p( b)（ 2）设 a, b 为两个互不相容的随机事件，则下列正

3、确的是（）。（ a） a 与 b 互不相容（ b）（ c） p(ab )p(a)p(b)（ d）p( a)1p(b)p( a u b)p(a)p( b)（ 3）设 a 、 b 是任意两事件，则p( ab)（）。（a） p( a)p( b)（ b） p(a)p(b)p( ab)（ c） p( a)p( ab)（d） p( a)p( b)p( ab)二、已知 p( ab)0.8， p( a)0.5 ， p(b)0.6 ，求 p( ab) ， p( a b) ， p( ab) 。三、设 a， b 为随机事件，且p( a)0.7 ， p( ab)0.3 ，求 p( ab ) 。第二节随机事件的概率（

4、2）.概率论与数理统计（工科类）作业班级：学号：姓名：1. 一批产品由45 件正品、 5 件次品组成，现从中任取3 件产品，求其中恰有1 件次品的概率。2. 某寝室住有 6 名学生，求至少有两个同学的生日恰好在同一个月的概率。3.将一枚骰子重复掷n 次，求掷出的最大点数为5 点的概率。4. 从 0 到 9 这 10 个数字中不重复的任取 4 个数排成一行，求能排成一个四位奇数的概率。5.将 8 名乒乓球选手分为a,b 两组，每组4 人，求甲、乙两位选手不在同一组的概率。3.6将 5 个相同的球放入位于一排的8 个格子中，每格至多放一个球，求3 个空格相连的概率。7. 10 人中有一对夫妇，他们

5、随意的坐在一张圆桌旁，求该对夫妇正好坐在一起的概率。8两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达，设两艘轮船停靠泊位的时间分别为 1 h 和 2 h ，求有一艘轮船停靠泊位时需要等待一段时间的概率。第三节条件概率.概率论与数理统计（工科类）作业班级：学号：姓名：一、已知 p( a)0.5 ， p(b)0.6 ， p(b a)0.8 ，求 p( a b) 。二、有人来访，他坐火车、汽车和飞机的概率分别为0.4， 0.5， 0.1，若坐火车，迟到的概率是0.1，若坐汽车，迟到的概率是 0.2，若坐飞机则不会迟到，求他迟到的概率。三、按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%

6、的可能考试及格，不努力学习的学生有90%的可能考试不及格，据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问：考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？四、某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率。5.第四节独立性一、选择题：（ 1）设 p( a) 0.8， p( b)0.7， p( a b) 0.8 ，则下列结论正确的是（）。（ a） b a（ b） p( a b) p( a) p( b)（ c）事件 a 与事件 b 相互独立（ d）事件 a 与事件 b 互逆（ 2

7、）设 0 p( a)1， 0p(b)1， p( a b)p( a b) 1，则（）。（ a）事件 a 与 b 互不相容（ b）事件 a 与 b 互逆（ c）事件 a 与 b 不相互独立（ d）事件 a 与 b 相互独立二、已知 p( a)， p(b)0.3， p( a b)0.7 ，（ 1）若事件 a 与 b 互不相容，求；（ 2）若事件a 与 b 相互独立，求。三一射手对同一目标进行四次独立的射击，若至少射中一次的概率为80 81，求此射手每次射击的命中率。四、加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02，0.03，0.05，0.03，假定各道工序是相互独立的

8、，求加工出来的零件的次品率。.概率论与数理统计（工科类）作业班级：学号：姓名：第一节随机变量第二节离散型随机变量一、填空题（ 1） 设随机变量x只能取 0，1， 2，且 x 取这些值的概率依次为1 , 5 , 1 ，则。2c4c4c（ 2）一批产品共100 个，其中有10 个次品，以x 表示任意取出的2 个产品中的次品数，则x 的分布律为。（用一个表达式表示）(3)某射手对一目标射击，直至击中为止，如果每次射击命中率为p（ 0p1） ，以 x 表示射击的次数，则 x 的分布律为。（用一个表达式表示）二、解答题1.一袋中有5 只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3 只，以 x 表示取

9、出的3 只球中的最大号码，写出随机变量x 的分布律。（列表格表示）2. 某楼有供水龙头5 个，调查表明每一龙头被打开的概率为1 ，求恰有 3 个水龙头同时被打开的概率。103. 设某城市在一周内发生交通事故的次数服从参数为0.3 的泊松分布 , 求该市在一周内至少发生1 次交通事故的概率是多少？4.已知在 5 重贝努里试验中成功的次数x 满足 p x=1= p x=2 ，求概率p x=4 。7.第三节随机变量的分布函数一、单项选择题（ 1）下列函数中，可作为某一随机变量的分布函数是（）。(a) f (x) 11(b)f (x)11 arctan xx22(c) f ( x)1 (1 e x )

10、,x0(d)f (x)ln(1x) ,x021x0,x00,x0二、解答题a(1 ex ，01. 设随机变量x 的分布函数为) x试求 : （ 1）系数 a；（2） p 1 x 3 。f ( x),，x002. 设随机变量 x 的分布律为 :x0123pk1 163 161 21 4（ 1）求 x 的分布函数f ( x) ；（ 2）求概率 p x2 。.概率论与数理统计（工科类）作业班级：学号：姓名：第四节连续型随机变量一、单项选择题1.设 f (x) 和 f (x) 分别为某随机变量的分布函数和概率密度，则必有（）。(a) f (x) 单调不减(b)f ( x)dx 1（ c） f () 0

11、(d) f ( x)f (x)dx2.设 a 是随机事件，则“p( a)0 ”是“ a 是不可能事件”的（）。(a) 必要非充分条件(b)充分非必要条件(c)充要条件(d) 无关条件二、填空题1.随机变量 x 的概率密度为 f ( x)e x ,x0 ，若 p x c1，则 c。0,x022.已知 x n (10,32 ) ， p x0.67 ，则。3. 设随机变量 x 的概率密度为2x, 0x1，记 y 表示对 x 的三次独立重复观察中事件f ( x)其他0, x 1 2 出现的次数，则py2 =。三、解答题1.设随机变量 x 的概率密度为kx2 ,1x2,f (x),，求（ 1）常数 k

12、；（ 2） x 的分布函数 f (x) 。0其它 ,2. 设某河流每年的最高洪水水位(m) 具有概率密度2/ x3 ,x1,f ( x)x，现要修能够防御百年一遇的洪0 ,1水（即遇到的概率不超过0.01）的河堤，问河堤至少要修多高？9.3. 设k在 (0 ， 5) 内服从均匀分布, 求方程 4x242 0有实根的概率。kx k10004.某种型号的电子管寿命x ( 以小时计 ) 具有以下概率密度f x ( x)x 2 ， x 1000 ， 现有一大批0，其他此种管子（设各电子管损坏与否相互独立）,任取 5 只，问其中至少有2 只寿命大于1500 小时的概率是多少？5. 将一温度调节器放置在贮

13、存着某种液体的容器内，液体的温度x（以c 记）是一个随机变量，x n (90,0.4 2 ) , 求液体的温度x 保持在 89 91 c 的概率。（(2.5)0.9938 ，其中(x) 表示标准正态分布的分布函数）.概率论与数理统计（工科类）作业班级：学号：姓名：第五节随机变量的函数的分布1. 设离散型随机变量 x 的分布律为求 y x 2 1的分布律。2.设随机变量x u (0,1) ，求 ye x 的概率密度函数fy ( y) 。11.3.设随机变量x u (2,3) ，求 yx 3 的概率密度函数fy ( y) 。4.设随机变量x n (0,1) ，求 yx 2 的概率密度函数fy (

14、y) 。.概率论与数理统计（工科类）作业班级：学号：姓名：第一节二维随机变量1. 设随机变量 ( x ,y ) 的联合分布律为求（ 1）常数 a；（ 2） p x0, y0 。2.一箱子装有100 件产品，其中一、二、三等品分别为80 件， 10 件， 10 件. 现从中随机抽取一件，记1,若抽到一等品;， 若抽到二等品;1x10,其他.x 2，其他.0求随机变量( x1 , x 2 ) 的联合分布律 .3. 设随机变量( x ,y ) 的联合分布函数为 f ( x, y) a( barctan x)(c arctan y)x, y，（ 1）求常数 a,b,c的值；（ 2）求 ( x , y)

15、 的联合概率密度函数f (x, y) 。13.k (6 xy), 0x 2, 0 y 4,4设随机变量 (x , y) 的联合概率密度函数为 f ( x, y),（1）求常数 k ；0其他.（ 2）求 p x 1, y 3 。5设随机变量 ( x ,y ) 的联合概率密度函数为ke (3 x2 y) , x0, y 0,f ( x, y), 其他 .0（ ）求常数k；（ ）求 ( x ,y ) 的联合分布函数f (x, y) ；（ ） p xy 。123第二节边缘分布.概率论与数理统计（工科类）作业班级：学号：姓名：1. 完成下列表格：yy1y2y3pi .xx10.10.10.3x20.20

16、.3p. j11 e 0.5 xe 0.5 ye 0.5( x y ) , x 0, y 0,2设 ( x ,y) 的联合分布函数为 f ( x, y),，求 ( x ,y) 的边缘分0其他布函数 fx ( x) 。3二维随机变量( x ,y ) 在以原点为圆心的单位圆上服从均匀分布，试求( x ,y) 的联合概率密度函数和边缘概率密度函数f x ( x) 。(1 2 x)(12 y) / 4 , 0x 1,0 y 1,4. 二维随机变量 ( x ,y) 的概率密度为 f ( x, y),，求 ( x ,y) 的0其他15.边缘概率密度函数f x ( x) 。5. 设二维随机变量4.8y(2x

17、), 0 x 1,y x,( x ,y) 的联合概率密度函数为 f ( x, y)，求 ( x , y)0, 其他的边缘概率密度函数f x (x) 。第三节条件分布第四节随机变量的独立性.概率论与数理统计（工科类）作业班级：学号：姓名：1二维随机变量 ( x ,y) 的联合分布律为x01y00.30.210.40.1试求在 y = 1的条件下 x 的条件分布律。2. 设 x 和 y 相互独立且有相同的分布 ( 如右图所示 ) ，则下列正确的是（）。（ a） x y（ b） p x y 1（ c） p x y 1 / 2（ d） p x y 1 / 43设 x 和 y 是两个相互独立的随机变量，

18、x 在（ 0,1 ）内服从均匀分布，y 的概率密度为1ey / 2, y0, ，（ 1）求 ( x ,y) 的联合概率密度函数； （2）设关于 a 的二次方程为f y ( y)20,y0a 22xay0 ，求此方程有实根的概率。4 随机变量 ( x , y) 的联合概率密度函数为f ( x, y)e ( x y ) ,x 0, y 0 ，（ 1）求条件概率密度0,其他f x |y ( x | y) ； (2 ）说明 x 与 y 的独立性。17.5随机变量 ( x ,y ) 的联合概率密度函数为21x2y,x2y 1, ，（ 1）求条件概率密度函数f ( x, y)40,其他f y|x ( y

19、| x) ； (2 ）求条件概率 py3 | x1 。42第五节两个随机变量的函数的分布1设 ( x ,y ) 的联合分布律为：xy012.概率论与数理统计（工科类）作业班级：学号：姓名：00.250.10.310.150.150.05求：（ 1） zx y 的分布律；（ 2） vmin( x ,y) 的分布律。6x, 0x 1, y 0, x y 1;x y 的概率密2设随机变量 ( x ,y) 的概率密度为 f (x, y)，求 z0,其他 .度。3.设 x 和 y 相互独立，其概率密度分别为1,0 x 1,2 y,0 y 1,f x (x)， f y ( y)0,，求0,其他其他zx y

20、 的概率密度。19.4. 设随机变量 ( x ,y) 的概率密度为 f ( x, y)e y ,0x y, ，求 zx y 的概率密度。0,其他 .第一节数学期望1设 x 的分布律为：求（ 1） e( x ) ；（ 2） e( x 2 ) 。.概率论与数理统计（工科类）作业班级：学号：姓名：2设 ( x ,y ) 的联合分布律为：已知 e( x 2y 2 )2.4 ，求常数 a,b 之值。3. 设4. 设xx的概率密度为的分布函数为f ( x)kxa , 0x 1; 其中 k ， a0 ，又已知 e( x )0.75 ，求 k ， a 的值。0,其它.a3f ( x)1x3 ,xa ，其中 a

21、0 ，求 e( x ) 。0,xa5. 设 ( x ,y ) 服从在 a 上的均匀分布，其中a 为 x 轴， y 轴及直线 xy10 所围成的区域，求e( 3x2y) 。21.6.国际市场每年对我国某种商品的需求量x 是一个随机变量， 它在 2000,4000(单位：吨) 上服从均匀分布，若每售出一吨，可得外汇3 万美元，若销售不出而积压，则每吨需保养费1 万美元，问应组织多少货源，才能使期望收益最大。第二节方差一、单项选择题1x和y，若 e( xy )e( x ) e(y) ，则（）。（ ）对于任意两个随机变量(a)d ( xy ) d ( x ) d (y)(b)d ( xy) d (x

22、)d (y)(c)x 和 y 独立(d)x 和 y 不独立（ 2）设 x ( ) ，且 e ( x1)x 21 ，则=（）。.概率论与数理统计（工科类）作业班级：学号：姓名：(a) 1(b) 2(c) 3(d) 0（ 3）设 x , y 相互独立且 x n (7, 9) ， y n (3, 4) ，则 2xy 服从下列哪个分布（）。(a)n (11,14)(b)n (11,32)（ c） n (11,40)(d)n (11,4)二、填空题（ 1）已知 x n ( 2,0.4 2 ) ，则 e( x 3)2 。（ 2）设 e(x )4 ， e( x 2 )18 ，则 d (2 x 5)。（ 3）

23、设 x n (10,0.6),y n (1,2)，且 x 与 y 相互独立，则 d (3 xy)。（ 4）设 x 的概率密度为f ( x)1e x2 2x1 ，则 d ( x ) 。（ 5）设随机变量 x1 , x 2 , x 3相互独立，其中x1 u 0,6 ,x 2 n (0,22 ) ,x 3 服从参数为=3 的泊松分布，记yx12 x 23 x3 ，则 d (y) =。（ 6）设 x () ，且 p x1p x 2 ，则 e (x )。（ 7）设 x b( n, p) ，且 e (x )12 ， d ( x ) 8 ，则 n,p。（ 8）设 e( x )2, d( x )4 ，则由切比

24、雪夫不等式知 p| x2 | 4。三、解答题1. 在每次试验中，事件a 发生的概率为 0.5 ，利用切比雪夫不等式估计：在1000 次试验中，事件a 发生的次数 x 在 400 600 之间的概率 .2. 已知随机变量x 的密度函数为 f (x)ax2bx，0.5, d ( x ) 0.15 ，c0 x 1又已知 e( x )，其他0求 a, b,c 。23.12 y 2 , 0y x 13. 设 ( x ,y ) 的概率密度为 f ( x, y), 求 d ( x ) ， d (y ) 。0,其它第三节协方差与相关系数一、单项选择题（ 1）设 x 与 y 的相关系数0 ，则（）。(a)x 与

25、 y 相互独立(b)x 与 y 不一定相关(c)x 与 y 必不相关(d)x 与 y 必相关（ 2）设 x 与 y 的期望和方差存在，且d ( xy )dxdy , ，则下列说法不正确的是（）。(a)d ( xy )dxdy(b)e( xy )exey(c)x 与 y 不相关(d)x 与 y 独立.概率论与数理统计（工科类）作业班级：学号：姓名：（ 3）设 x , y 是随机变量，则“x 与 y 不相关”是“x 与 y 相互独立”的（）。(a) 必要非充分条件(b)充分非必要条件（c）充要条件(d)无关条件二、解答题1. 已知随机变量 x 与 y 都服从二项分布b (20 ，0.1)，并且 x

26、 与 y 的相关系数xy =0.5 ，试求 xy 的方差及 x 与 2y x 的协方差。2. 设二维连续型随机变量k,0x 1,0 y x常数 k ；( x ,y) 的联合概率密度为： f ( x, y) =，求：0,其他 e xy 及 cov ( x , y ) 。第四节矩协方差矩阵第五节二维正态分布1. 设随机变量x 在区间 (a,b) 上服从均匀分布，求k 阶原点矩和三阶中心矩。25.2.已知随机变量x n (1,9) , y n (0,16) , 且 x 与 y 的相关系数为xy0.5 . （ 1 ）求随机变量xy；（ 2）求随机变量x 与 z 的相关系数xz 。z的数学期望和方差32

27、第一节大数定律第二节中心极限定理1. 设供电网有 1000盏电灯，夜晚每盏电灯开灯的概率均为0.7 ，并且彼此开闭与否相互独立，试用切比雪夫不等式和中心极限定理分别估算夜晚同时开灯数在6800 到 7200之间的概率。.概率论与数理统计（工科类）作业班级：学号：姓名：2. 利用中心极限定理确定当投掷一枚均匀硬币时，需投掷多少次才能保证使得正面出现的频率在0.4 到0.6 之间的概率不小于90%。3. 一食品店有三种蛋糕出售， 由于售出哪一种蛋糕是随机的， 因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取 1 元, 1.2元 , 1.5元各值的概率分别为 0.3, 0.2, 0.5，若售出300 只蛋

28、糕，求收入至少为 400元的概率。4. 由 100 个相互独立起作用的部件组成的一个系统在运行过程中，每个部件能正常工作的概率都为90% ，为了使整个系统能正常运行，至少必须有85%的部件在正常工作，求整个系统能正常运行的概率。第六章样本及抽样分布一、 填空题（ 1）设 x1, , x6 为总体 x n (0,1)的一个样本， y( x1x2x2( x4x5223 )x6 )，且 cy 服从分布，则 c。7（ 2）设 x1 , , x 7 为总体 x n (0, 0.52 ) 的一个样本，则 p(x i24)。i1（ 3）已知 x1 ,l, x15 是取自 n (0,2) 的样本，则 yx12

29、x22l x102。22l22( x11x12x15 )27.2 ) 的 本 , 求 本方差 s21n2二、 x1 ， x n 是来自正 体 n ( ,( x i x ) 的数学期1 i 1n望及方差。第一节点估计第二节估计量的评选标准一、 体x 具有分布律：x123p22 (1)(1)2其中 (01) 未知参数，已知取得了 本 x1 1， x22， x31. 求的矩估 和极大似然估 。.概率论与数理统计（工科类）作业班级：学号：姓名：二、设总体x 服从正态分布n (0,1) ， x1 , x 2 是从此总体中抽取的一个样本试验证下面三个估计量：（ 1） ?12 x11 x2 ，（ 2） ?2

30、1 x13 x2 ，（3） ?31 x11 x2 都是的无偏估计，并334422指出哪一个估计量最有效。三、 设总体 x 的概率密度为f (x)( 1)x ,0 x 1, ，0,其它.x1 , x 2 , , x n 是来自总体 x 的样本，分别用矩估计法和极大似然估计法求的估计量。29.第三节区间估计第四节 正态总体参数的区间估计1. 某批钢球的重量 x n (, 4), 从中抽取了一个容量为n 16 的样本且测得 x 22.5, s3.98 （单位 : g ），试在置信度 10.95下，求出的置信区间 .2.设有一组来自正态总体n (,2 ) 的样本观测值：.概率论与数理统计（工科类）作业班级：学号：姓名：0.497 ， 0.506 ，0.518 ，0.524 ，