专题3.4以平面几何图形的变换为背景的解答题中考数学备考优生百日闯关系列解析

1、最新资料推荐第四关以平面几何图形的变换为背景的解答题1如图 1，ABC 中，CDAB 于 D ，且 BD : AD : CD2:3: 4 （ 1）试说明ABC 是等腰三角形（ 2 ）已知 S ABC40cm2 ，如图 2 ，动点 M 从点 B 出发以每秒 1cm的速度沿线段BA 向点 A 运动，同时动点 N 从点 A 出发以相同速度沿线段AC 向点 C 运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止设点 M 运动的时间为 t （秒）若DMN 的边与 BC 平行，求 t 的值若点 E 是边 AC 的中点，问在点M 运动的过程中，MDE 能否成为等腰三角形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由【答案】

2、（1）见解析；（ 2） t 为 5 或 6 ；能，t 值为 9 或 10 或 49 ，理由见解析6在 RtACD 中， AC AD 2 CD 2 5x， AB AC， ABC 是等腰三角形；（ 2）解： SABC 1 5x4x 40cm2，而 x 0，2 x 2cm，则 BD 4cm， AD 6cm， CD 8cm， AC 10cm1最新资料推荐当 MN BC 时， AM AN，即 10 t t， t 5；当 DN BC 时， AD AN，得： t 6；若 DMN 的边与 BC 平行时， t 值为 5 或 6当点 M 在 BD 上，即 0t 4 时， MDE 为钝角三角形，但DM DE ；当

3、t 4 时，点 M 运动到点D，不构成三角形，当点 M 在 DA 上，即 4 t10时， MDE 为等腰三角形，有3 种可能如果 DE DM ，则 t 45， t 9；如果 ED EM，则点 M 运动到点A， t 10；如果 MD ME t 4，过点 E 做 EF 垂直 AB 于 F，因为 ED EA，所以 DF AF 1 AD 3，2在 RtAEF 中， EF 4；点睛：本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、解方程等知识；本题有一定难度，需要进行分类讨论才能得出结果学/科 * 网2定义：对角线互相垂直的凸四边形叫做“垂直四边形 ”（ 1）理解：如图 1，已知四边形ABCD

4、 是 “垂直四边形 ”，对角线 AC， BD 交于点 O，AC=8， BD=7，求四边形ABCD 的2最新资料推荐面积 .（ 2）探究：小明对“垂直四边形 ”ABCD （如图1）进行了深入探究，发现其一组对边的平方和等于另一组对边的平方和即 AB 2CD 2AD 2BC 2 你认为他的发现正确吗？试说明理由（ 3）应用： 如图 2，在 ABC 中，ACB90 ， AC=6， BC=8，动点 P 从点 A 出发沿 AB 方向以每秒5 个单位的速度向点B 匀速运动，同时动点Q 从点 C 出发沿 CA 方向以每秒6 个单位的速度向点A 匀速运动，运动时间为 t 秒（ 0t1 ），连结 CP， BQ，

5、 PQ当四边形 BCQP 是“垂直四边形 ”时，求 t 的值 如图 3，在 ABC 中， AB=3 AC，分别以AB， AC 为边向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连结 EG请直接写出线段EG 与 BC 之间的数量关系【答案】（1） 28；（2）证明见解析； （3） 2； EG 2 3 BC 29211【解析】 试题分析：（ 1）由于对角线互相垂直，所以四边形 ABCD 的面积可化为AO?BD+CO?BD 的和；22（ 2）由于对角线互相垂直，由勾股定理分别表示出AB 2、 CD2、AD 2 、BC2 ；2222列出关于 t 的方程；（ 3）过点 P 作 PD AC 于点 D ，构造

6、PAD BAC 后，利用 BP+CQ =PQ+BC故答案为： 28；3最新资料推荐（ 2）四边形ABCD 是 “垂直四边形 ”，AC BD.由勾股定理可知：222222AB +CD =(AO +BO )+(DO +CO )，AD 2+BC 2=(AO 2+DO 2)+(BO 2+CO 2)， AB 2+CD 2=AD 2+BC 2； AP=5t ， CQ=6t ADPD5t ， AD=3t ， PD=4t.6810 四边形 BCQP 是 “垂直四边形 ”. BP 2+CQ 2=PQ2+BC 2. (10-5t) 2+(6t) 2=(6-9t) 2+8 2，解得 t= 2 或 t=0（舍去） .

7、9 当四边形BCQP 是 “垂直四边形 ”时， t 的值为 2 .9如图 3，4最新资料推荐连接 CG、BG、 BE 、 CE，CE 与 BG 交于点 O由题意知： EA=BA ， AC=AG EAB= CAG=90 EAB+ BAC= CAG+ BAC EAC= BAGEABA在 EAC 与 BAG 中 EACBAG ，ACAG点睛：本题考查的是垂直四边形的概念和性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，正确理解垂直四边形的定义，灵活运用勾股定理是解题的关键.3在四边形ABCD 中，BD180 ，对角线 AC 平分BAD .学科 .网（ 1）如图 1，若DAB120 ，且B90 ，试探

8、究边 AD 、 AB 与对角线 AC 的数量关系并说明理由.（ 2）如图 2，若将（ 1）中的条件 “ B90 ”去掉，（ 1）中的结论是否成立？请说明理由.（ 3）如图 3，若DAB90 ，探究边 AD 、 AB 与对角线 AC 的数量关系并说明理由.5最新资料推荐【答案】（1） AC AD AB .证明见解析；（ 2）成立；（ 3） AD AB2 AC .理由见解析 .【解析】试题分析： （ 1）结论： AC=AD+AB，只要证明 AD= 1AC ，AB=1AC 即可解决问题；22（ 2）（ 1）中的结论成立以 C 为顶点， AC 为一边作 ACE=60 ， ACE 的另一边交 AB 延长

9、线于点 E，只要证明 DAC BEC 即可解决问题；（ 3）结论： AD+AB2 AC过点 C 作 CE AC 交 AB 的延长线于点E，只要证明 ACE 是等腰直角三角形， DAC BEC 即可解决问题；试题解析：解： （ 1）AC=AD+AB理由如下：如图1 中，（ 2）（ 1）中的结论成立，理由如下：以 C 为顶点， AC 为一边作 ACE=60 ， ACE 的另一边交 AB 延长线于点 E，6最新资料推荐 BAC=60 ， AEC 为等边三角形， AC=AE=CE ， D+ ABC=180 ， DAB=120 ， DCB=60 ，（ 3）结论： AD+AB2 AC理由如下：过点 C 作

10、 CE AC 交 AB 的延长线于点E， D+ B=180， DAB=90 ， DCB=90 ， ACE=90 ， DCA= BCE，又 AC 平分 DAB ， CAB=45 ， E=457最新资料推荐 AC=CE 又 D+ ABC=180 ， D= CBE， CDA CBE ， AD=BE ， AD+AB=AE 在 RtACE 中， CAB=45 ， AE AC 2AC cos45 AD AB 2 AC .4 ABC 和CDE 是以 C 为公共顶点的两个三角形（ 1）如图 1，当 ABC 和 CDE 都是等边三角形时，连接BD 、 AE 相交于点P求 DPE 的度数；（ 2）如图 2，当 A

11、BC 和 CDE 都是等腰直角三角形，且ACB= DCE=90 时，连接AD 、BE ，Q 为 AD中点，连接QC 并延长交BE 于 K 求证： QK BE ；（ 3）在（ 1）的条件下，N 是线段 AE 与 CD 的交点， PF 是 DPE 的平分线，与DC 交于点 F， CN=2， PFN=45 ，求 FN 的长【答案】（1） 60；（ 2）见解析；（ 3）2DE 、 NE,再利用相似三角形的性质可得 DE =NEPE ，求出 PE、 PN,由此即可解决问题 ; 解：（ 1）如图 1 中，设 AE 交 CD 于 J8最新资料推荐 DPE=60 （ 2）如图 2 中，延长CQ 到 R，使得

12、CQ=QR ，连接 AR 、 DR ABC 和 CDE 都是等腰直角三角形，学/+ 科网 ACB= DCE=90 ， AC=BC ， CE=CD ， BCE+ ACD=180 ， AQ=DQ ， CQ=QR ，9最新资料推荐四边形ACDR 是平行四边形， CKB=90 ，即 CK BE（ 3）如图 3 中，作 NH EC 于 H， NG PF 于 G，在 EH 上取一点 K 使得 NK=EK DPE=60 ，PF 平分 DPE， NPPF=30 ， PFN=45， NGF=90 ， GF=GN= PN， FN= GN ， PNF= CNE=105 ， CEN=15 ， KN=KE ， KNE=

13、 KEN=15 ， NKH=30 ，在 RtCNH 中， CN=2， CNH=30 ， CH=CN=，NH=CH=，10最新资料推荐在 RtNKH 中， NK=KE=2NH=2， HK=NH=3， EN=6+2， CE=DE=4+2 DEN= PED， EDN= EPD ， DEN PED， DE 2=NE?PE，可得 PE=， PN=PE EN=， FN= =5在正方形ABCD 中，动点E， F 分别从 D， C 两点同时出发，以相同的速度在直线DC ， CB 上移动（ 1）如图，当点E 自 D 向 C，点 F 自 C 向 B 移动时，连接AE 和 DF 交于点 P，请你写出AE 与 DF

14、的位置关系，并说明理由；（ 2）如图， 当 E，F 分别移动到边 DC，CB 的延长线上时， 连接 AE 和 DF，（1）中的结论还成立吗？ （请你直接回答 “是 ”或 “否”，不须证明）（ 3）如图，当E，F 分别在边CD ， BC 的延长线上移动时，连接AE ， DF ，（ 1）中的结论还成立吗？请说明理由；（ 4）如图，当E， F 分别在边DC， CB 上移动时，连接AE 和 DF 交于点 P，由于点E， F 的移动，使得点 P 也随之运动，请你画出点P 运动路径的草图若AD=2 ，试求出线段CP 的最小值【答案】（1） AE=DF ， AE DF；（ 2）是；（ 3）成立，理由见解析；

15、（ 4） CP=QC QP= 5 1【解析】试题分析：（ 1）AE=DF ，AE DF先证得 ADE DCF 由全等三角形的性质得AE=DF ， DAE= CDF，再由等角的余角相等可得AE DF；11最新资料推荐（ 2）是四边形ABCD 是正方形，所以AD=DC ， ADE= DCF=90 ，DE=CF ，所以 ADE DCF，于是 AE=DF ， DAE= CDF，因为 CDF+ ADF=90 ， DAE+ ADF=90 ，所以 AE DF；（ 3）成立由（ 1）同理可证AE=DF ， DAE= CDF ，延长 FD 交 AE 于点 G，再由等角的余角相等可得AE DF；（ 4）由于点P

16、在运动中保持APD=90 ，所以点P 的路径是一段以AD 为直径的弧，设AD 的中点为Q，连接 QC 交弧于点P，此时 CP 的长度最小，再由勾股定理可得QC 的长，再求CP 即可理由：由（ 1）同理可证AE=DF ， DAE= CDF延长 FD 交 AE 于点 G，则 CDF+ ADG=90 ， ADG+ DAE=90 AE DF ；（ 4）如图：由于点 P 在运动中保持APD=90 ，点 P 的路径是一段以AD 为直径的弧，12最新资料推荐设 AD 的中点为 Q，连接 QC 交弧于点P，此时 CP 的长度最小，在 RtQDC 中， QC= CD 2 +QD 2 =22 +12 = 5 ，

17、CP=QC QP= 5-1考点：四边形的综合知识6如图 1 所示，在正方形 ABCD 和正方形 CGEF 中，点 B 、C、 G 在同一条直线上， M 是线段 AE 的中点， DM 的延长线交 EF 于点 N，连接 FM ，易证： DM=FM ，DM FM（无需写证明过程）（ 1）如图 2，当点 B、C、F 在同一条直线上， DM 的延长线交 EG 于点 N，其余条件不变，试探究线段 DM 与 FM 有怎样的关系？请写出猜想，并给予证明；（ 2）如图 3，当点 E、B 、C 在同一条直线上， DM 的延长线交 CE 的延长线于点 N，其余条件不变，探究线段 DM 与 FM 有怎样的关系？请直接

18、写出猜想【答案】（1） DM FM ， DM=FM ，证明见解析；（ 2） DM FM ， DM=FM 【解析】试题分析：（ 1）连接 DF ， NF，由四边形 ABCD 和 CGEF 是正方形，得到 AD BC ， BCGE，于是得到AD GE，求得 DAM= NEM ，证得 MAD MEN ，得出 DM=MN ， AD=EN ，推出 MAD MEN ，证出 DFN 是等腰直角三角形，即可得到结论；（ 2）连接 DF， NF ，由四边形ABCD 是正方形，得到AD BC，由点E、 B、 C 在同一条直线上，于是得到 AD CN，求得 DAM= NEM ，证得 MAD MEN ，得出 DM=M

19、N ，AD=EN ，推出 MAD MEN ，证出 DFN 是等腰直角三角形，于是结论得到试题解析：（ 1）如图 2， DM=FM ，DM FM ，证明：连接DF ， NF，四边形ABCD 和 CGEF 是正方形，13最新资料推荐 AD BC ，BC GE， AD GE， EFN+ NFC=90 ， DFC+ CFN=90 ， DFN=90 ， DM FM ， DM=FM学- 科 -网（ 2）猜想： DM FM ， DM=FM ，证明如下：如图3，连接 DF， NF，连接 DF， NF ，四边形ABCD 是正方形，AD BC ，点 E、 B、 C 在同一条直线上， AD CN， ADN= MNE

20、 ， AMD= EMN AM=EN在 MAD 与 MEN 中， DAM= NEM ， MAD MEN ， DM=MN ， AD=EN ， AD=CD ， CD=NE ， CF=EF ， DCF=90 +45=135， NEF=180 45=135， DCF= NEF ，CD=NE DCF= NEF在 DCF 与 NEF 中，CF=EF， MAD MEN ， DF=NF ， CFD= EFN， CFD+ EFD=90 ， NFE+ EFD=90， DFN=90 ， DM FM ， DM=FM 14最新资料推荐考点：四边形综合题7已知，在矩形ABCD 中， AB=a ， BC=b ，动点 M 从点

21、 A 出发沿边AD 向点 D 运动（ 1）如图 1，当 b=2a，点 M 运动到边 AD 的中点时，请证明 BMC=90 ；（ 2）如图 2，当 b 2a 时，点 M 在运动的过程中， 是否存在 BMC=90 ，若存在，请给与证明； 若不存在，请说明理由；（ 3）如图 3，当 b2a 时，（ 2）中的结论是否仍然成立？请说明理由【答案】（1）证明见解析（2）存在（ 3）不成立【解析】（ 3）由（ 2），当 b 2a，a0， b 0，判定方程试题解析：（ 1） b=2a，点 M 是 AD 的中点， AB=AM=MD=DC=a ，又在矩形ABCD 中， A= D=90， AMB= DMC=45 ，

22、2 2x bx+a =0 的根的情况，即可求得答案 BMC=90 15最新资料推荐（ 2）存在，整理得： x2 bx+a2=0， b 2a， a 0， b 0， =b2 4a2 0，方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意，当 b 2a 时，存在 BMC=90 ，（ 3）不成立理由：若 BMC=90 ，由（ 2）可知 x2 bx+a2=0， b 2a， a 0， b 0， =b2 4a2 0，方程没有实数根，当 b 2a 时，不存在 BMC=90 ，即（ 2）中的结论不成立考点： 1、相似三角形的判定与性质； 2、根的判别式； 3、矩形的性质8在正方形ABCD 中，动点E，F 分别从

23、 D ，C 两点同时出发，以相同的速度在直线DC ， CB 上移动 .（ 1）如图 1，当点 E 在边 DC 上自 D 向 C 移动，同时点F 在边 CB 上自 C 向 B 移动时，连接AE 和 DF 交于点 P，请你写出AE 与 DF 的数量关系和位置关系，并说明理；（ 2）如图 2，当 E，F 分别在边CD ，BC 的延长线上移动时，连接AE ，DF ，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答 “是 ”或 “否”，不需证明） ；连接 AC ，求 ACE 为等腰三角形时CE： CD 的值；（ 3）如图 3，当 E， F 分别在直线DC， CB 上移动时，连接AE 和 DF 交于点 P，由于点E

24、， F 的移动，使16最新资料推荐得点 P 也随之运动，请你画出点P 运动路径的草图.若 AD=2 ，试求出线段CP 的最大值 .图 1图 2图 3【答案】（1） AE=DF ， AE DF，理由见解析； （ 2）成立， CE:CD=2 或 2；（ 3）51【解析】试题分析：（ 1）根据正方形的性质，由 SAS 先证得 ADE DCF 由全等三角形的性质得AE=DF ， DAE= CDF ，再由等角的余角相等可得AE DF；（ 2）有两种情况：当AC=CE 时，设正方形ABCD 的边长为a，由勾股定理求出AC=CE=2 a 即可；当 AE=AC 时，设正方形的边长为a，由勾股定理求出AC=AE

25、=2 a，根据正方形的性质知ADC=90 ，然后根据等腰三角形的性质得出DE=CD=a 即可；（ 3）由（ 1）（ 2）知：点P 的路径是一段以AD 为直径的圆，设AD 的中点为 Q，连接 QC 交弧于点P，此ADDC ADEDCF ，DE CF17最新资料推荐有两种情况：如图 1，当 AC=CE 时，设正方形ABCD 的边长为a，由勾股定理得，AC CEa2a22a ，则 CE : CD2a : a2 ；如图 2，当 AE=AC 时，设正方形ABCD 的边长为a，由勾股定理得：AC AEa2a22a ，四边形ABCD 是正方形， ADC=90 ，即 AD CE， DE=CD=a ，18最新资

26、料推荐 CE:CD=2a:a=2 ；即 CE:CD=2 或 2；（ 3）点 P 在运动中保持 APD=90 ，点 P 的路径是以 AD 为直径的圆，点睛：此题主要考查了正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，能综合运用性质进行推挤是解此题的关键，用了分类讨论思想，难度偏大.9综合与实践问题情境如图，同学们用矩形纸片ABCD 开展数学探究活动，其中AD=8 ， CD=6 。操作计算学！科网（ 1）如图（ 1），分别沿 BE,DF 剪去 RtABE 和 RtCDF两张纸片，如果剩余的纸片BEDF 菱形，求 AE 的长；图（ 1）图（ 2）图

27、（ 3）操作探究19最新资料推荐把矩形纸片 ABCD 沿对角线 AC 剪开，得到ABC 和C DA 两张纸片(2) 将两张纸片如图（2）摆放，点 C 和 C 重合，点 B,C,D 在同一条直线上，连接A A ,记 A A 的中点为 M ，连接 BM ， MD ，发现BMD 是等腰三角形，请证明：（ 3）如图（ 3），将两张纸片叠合在一起，然后将A DC 纸片绕点 B 顺时针旋转00a（ 0a90 ),连接 AC 和A C ，探究并直接写出线段AC 与 A C 的关系。【答案】（1） AE 的长为 7；（ 2）见解析；（3） AC3A C , AC A C44证出 BAC= BCA= BCA=

28、BAC，由四边形内角和定理得出ABC+M=180 ，证出 M=90，得出 AC AC，证明 ABC CBA，得出对应边成比例试题解析：（ 1）解：四边形 ABCD 是矩形， AD=8 ，CD=6 ， AB=CD=6 ， A=90，四边形 BEDF 是菱形， BE=DE=AD-AE=8-AE ，AC AB33A C4,即可求得 AC= ACBC4在 RtABE 中，由勾股定理得：AB 2+AE 2=BE 2，即 62+AE 2=（ 8-AE ） 2，解得： AE= 7；4（ 2）证明：连接MC ，如图 2 所示：根据题意得：ABC CDA， CDA=90， AC=AC， BCA= CAD， CA

29、D+ ACD=90，20最新资料推荐 BCA+ ACD=90，点 B， C，D 在同一条直线上， ACA=90， ACA是等腰直角三角形， CAA=45， M 是 AA的中点， AM=CM=AM ， MCA=45 ， CM AA， BCA= CAD， BCA+ MCA= CAD+ CAA， BCM= DAM， BMD=90 ， BMD 是等腰直角三角形；（ 3）解： AC AC， AC=3 AC，理由如下：4延长 AC、 AC交于点 M ，如图 3 所示：由旋转的性质得：BC=BA， BA=BC， ABC= ABC ， BAC= BCA， BAC= BCA， BCA= BAC， BAC= BC

30、A=BCA= BAC， BCA+ BCM=180，21最新资料推荐 BAC+ BCM=180， ABC+ M=180， ABC= ABC=90 ，【点睛】四边形综合题：考查了矩形的性质、菱形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识10正方形ABCD 中， M， N 分别是直线CB ，DC 上的动点，MAN 45.(1) 如图，当 MAN 交边 CB，DC 于点 M ，N 时，线段 BM ，DN 和 MN 之间有怎样的数量关系？请证明；(2) 如图，当 MAN 分别交边CB ， DC 的延长线于点M， N 时，线段BM

31、， DN 和 MN 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明；(3) 在图中，若正方形的边长为16 cm，DN 4 cm，请利用 (1) 中的结论，试求MN 的长【答案】 (1)BM DN MN. 证明见解析；(2)DN BM MN. 证明见解析；(3) 13.6 cm【解析】试题分析：（ 1）BM DN MN ，延长 CD 至点 Q，使 DQBM ，连结 AQ ，易证 ADQ ABM(SAS) ，再证得 QAN 45 MAN ，利用 SAS 证明 AQN ANM ，从而证得结论； （ 2） DN BM MN. 在DN 上截取 DK BM ，连结 AK ，易证 ADK ABM ，类比

32、（ 1）的方法即可证得结论；（ 3）设 MN x，则 BM MN DN x 4， CM BC BM 16 (x 4) 20x，在 Rt CMN 中，根据勾股定理列出方程，解方程即可求得 MN 的长试题解析：(1)BM DN MN.22最新资料推荐(2)DN BM MN. 证明：在 DN 上截取 DK BM ，连结 AK ，易证 ADK ABM ， AK AM ， DAK BAM ， MAN BAM BAN DAK BAN 45，即 DAK BAN 45， KAN 90 ( DAK BAN) 90 45 45， KAN MAN 45， KAN MAN(SAS) ， MN KN DN DK DN

33、BM ；(3) 设 MN x，则 BM MN DN x 4， CM BC BM 16 (x 4) 20x，在 RtCMN 中，由勾股定理得 (16 4)2 (20 x)2 x2，解得 x 13.6， MN 13.6 cm.点睛：本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，运用截长补短法构造全等三角形是关键，也可运用图形的旋转性质构造全等三角形11如图，在矩形 ABCD 中， AB=6cm ， AD=8cm ，点 P 从点 B 出发，沿对角线 BD 向点 D 匀速运动，速度为 4cm/s，过点 P 作 PQBD 交 BC 于点 Q，以 PQ 为一边作正方形 PQMN ，使得点

34、 N 落在射线 PD 上点O 从点 D 出发，沿DC 向点 C 匀速运动，速度为3cm/s，以 O 为圆心， 1cm 半径作 O点 P 与点 D 同时出发，设它们的运动时间为8t （单位： s） （0t ）5（ 1）如图 1，连接 DQ ，若 DQ 平分 BDC ，则 t 的值为s；（ 2）如图 2，连接 CM ，设 CMQ 的面积为 S，求 S 关于 t 的函数关系式；（ 3）在运动过程中，当 t 为何值时， O 与 MN 第一次相切？23最新资料推荐【答案】（1） 1s; （ 2） S= 9t2+36t；（3）45.2644【解析】试题分析： （ 1）由 DQC DQP，推出 DP=DC=6 ，在 RtADB 中， BD=10 ，推出 PB=4 即可解决问题；（ 2）过点 M 作 MH BC 于点 H，证明 HMQ PQB，由 MH= MQ ，得 MH=9t ，即可求得 CMQPQBQ5 BPQ= C=90， PBQ= CBD ， BPQ BCD ， BP = BQ = PQ ，即 4t = BQ = PQ ，BC BD CD8 106则 BQ=5t 、 PQ=3t， CQ=BC BQ=8 5t， DQ