三角函数和差及倍角公式讲义

1、最新 料推荐教育学科教师辅导讲义学员编号：年级：高一课 时 数：学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课题三角函数和差公式和倍角公式授课日期及时段1、学习并掌握三角函数的和差公式的推导过程；教学目的2、理解并掌握倍角公式的推导过程及其应用；3、能灵活利用和差公式进行分析求解问题。教学内容一、上次作业检查与讲解；二、学习要求及方法的培养：三、知识点分析、讲解与训练：知识回顾一、 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：sinsincoscossin令sin 22sincoscoscoscossinsin令cos 2cos2sin 22cos 2112sin 2tantantancos2 1+co

2、s21tantan2sin2 1 cos22 tan2tan 21tan2二、 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有 :（ 1 ）巧变角 （已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换 . 如()()， 2()() ， 2() () ，22，222等），(2) 三角函数名互化 (切割化弦 )，(3)公式变形使用 （ tantantan1 tantan。(4)三角函数次数

3、的降升(降幂公式： cos21 cos2， sin 21 cos2与升幂公式：1 cos 22cos 22sin 222， 1cos 2)。1最新 料推荐(5) 式子结构的转化 (对角、函数名、式子结构化同 )。(6) 常值变换主要指“1 ”的变换 （ 1sin 2 xcos2 xsec2 xtan2 xtan x cot xtansin等），4 2(7) 正余弦“ 三兄妹 sin x cosx、sin xcosx”的内存联系“知一求二” ，三、辅助角公式： asin xb cosxa2b2 sin xb(其中角所在的象限由 a, b 的符号确定， 角的值由 tan 确定 )在求最值、化简时起

4、着重要作用。 a典例精讲例一、（ 1 ）下列各式中，值为1 的是（）2A 、 sin 15 cos15B 、 cos2sin2C 、tan 22.5D 、1 cos30；1tan 2 22.512122（ 2 ）命题 P： tan( AB )0 ，命题 Q ： tan Atan B 0 ，则 P 是 Q 的（）A 、充要条件B 、充分不必要条件C 、必要不充分条件D 、既不充分也不必要条件；（ 3 ）已知 sin()coscos()sin3，那么 cos 2的值为；5（ 4 ）13的值是；sin 80sin10(5) 已知 tan110 0a ，求 tan 50 0 的值（用 a 表示）甲求得

5、的结果是a3，乙求得的结果是1 a2，对13a2a甲、乙求得的结果的正确性你的判断是。sintan1sin1tan例二、（ 1 ）化简 tan (cossin )；（ 2 ）求证：2 ；cotcsc12sin21tan22例三、 (1) 若( ,3) ，化简1111 cos2为 _；22222（ 2 ）函数 f ( x )5 sin xcos x53 cos2 x53( x R ) 的单调递增区间为 _22最新 料推荐例四、（ 1 ）若方程 sin x3 cos xc 有实数解，则 c 的取值范围是_；（ 2）当函数 y2 cos x3 sin x 取得最大值时， tan x 的值是；（ 3）

6、如果 f xsin x2cos(x ) 是奇函数，则 tan=；（ 4）求值：3164 sin 2 20；sin2 20cos2 20例五、（ 1）已知函数 f (x) Asin( x)(a0,0), xR 的最大值是1，其图像经过点 M (, 1) 。32（ 1）求 f ( x) 的解析式；（ 2）已知 ,(0, ) ，且 f ( )3 , f ()12 , 求 f () 的值。2513（ 2） 2014 江西卷 已知函数f(x) sin(x ) acos(x 2)，其中 aR ， ， 。22(1) 当 a 2， 4 时，求 f(x)在区间 0， 上的最大值与最小值；(2) 若 f2 0，

7、f( ) 1，求 a， 的值。例六、（ 2012 年高考（安徽理） ） 设函数 f ( x)2cos(2 x)sin2 x24(I)求函数 f ( x) 的最小正周期；(II)设函数 g( x) 对任意 x R , 有 g(x)g( x) ,且当 x0, 时 , g ( x)1f ( x) , 求函数 g (x) 在222,0 上的解析式。3最新 料推荐巩固练习1、（ 08 北京）若角的终边经过点P(1， 2) ，则 cos =； tan2 =。1sin 4cos4()2、 化简sin 4=1cos 4A. cot2B. tan2C. cotD. tan3、 tan和 tan(- )是方程 x

8、2+px+q=0 的两根，则 p、q 之间的关系是 ()4p qB.p qA. + +1=0-1=0p qD.p qC. + -1=0-+1=04、 2014 新课标全国卷 如图，圆O 的半径为1， A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x的 始边 为射 线OA，终 边 为 射 线OP，过点 P 作直线 OA 的垂线，垂足为M，将点 M 到直线 OP 的距离表示成x 的函数 f(x)，则 y f(x)在 0， 上的图像大致为()ABCD5 、 2014 全国卷 直线 l 1 和 l2 是圆 x2y22 的两条切线若l 1 与 l2 的交点为 (1， 3)，则 l1 与 l2 的夹角的正切值等于

9、_。4最新 料推荐2cos4 x2cos2x 15sin( 4)6 、（ 1）化简2（ 2）已知 是第一象限的角，且,求的值。cos =cos(242tan(2(x)13)x)sin44sin(2 )7、已知 3 sin2 cos =1， (0， )，求 的值。cos()8、已知 0,sin4 。25（）求 sin 2sin 2的值；（）求 tan(5 ) 的值。cos2cos249、（ 2012 年高考（北京理） ） 已知函数 f (x)(sin x cos x)sin 2x 。sin x(1)求 f ( x) 的定义域及最小正周期；(2)求 f ( x) 的单调递增区间。10、（ 2012

10、 年高考（福建理） ） 某同学在一次研究性学习中发现, 以下五个式子的值都等于同一个常数。(1)sin 2 13cos17sin13cos17(2)sin 2 15cos15sin15cos15(3)sin 2 18cos12sin18cos125最新 料推荐(4) sin 2 (18 )cos48sin(18 )cos 48(5) sin 2 (25 )cos55sin( 25 )cos55 试从上述五个式子中选择一个, 求出这个常数 根据 ( ) 的计算结果, 将该同学的发现推广三角恒等式, 并证明你的结论.11、（ 2012 年高考（广东理）已知函数 fx2cosx( 其中0 x R )

11、 的最小正周期为 10 。( 三角函数 )6( ) 求的值；( ) 设、0, , f 556, f5516 , 求 cos的值。23561712、 2014 广东卷 已知函数 f(x) Asin x ， x R，且 f 5 3。4122(1)求 A 的值；(2)若 f() f( )3， 0，3 。，求 f2246最新 料推荐82x13、 2014 辽宁卷 已知函数f(x) (cos x x)( 2x) 3(sin x 1)， g(x) 3(x )cos x4(1 sin x)ln 3 。证明：(1) 存在唯一 x0 0， 2 ，使 f( x0) 0；(2) 存在唯一 x1 ， ，使 g(x1) 0，且对 (1)中的 x0，有 x0 x1。2答案：证明： (1) 当 x 0，时， f(x) (1 sin x) ( 2x)222x c