人教A数学选修21同课异构教学课件312空间向量的数乘运算情境互动课型

1、3.1.2 空间向量的数乘运算,加法交换律,加法:三角形法则或 平行四边形法则,减法:三角形法则,加法结合律,注:两个空间向量的加、减法与两个平面向量的加、减法实质是一样的.,上一节课,我们把平面向量的有关概念及加减运算扩展 到了空间.,我们知道平面向量还有数乘运算. 类似地,同样可以定义空间向量的数乘运算,其 运算律是否也与平面向量完全相同呢?,1.空间向量的数乘运算.(重点) 2.共线向量及共面向量的应用.(重点、难点) 3.向量的共面、共线与直线的位置关系,提示:,显然,空间向量的数乘运算满足分配律及结合律,如果表示空间向量的有向线段所在直线互相 平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行

2、向量.,探究1：定理中为什么要规定 ？,提示：若 ，当 时我们知道，零向量与任何向量都是共线向量，此时找不到惟一实数，使 .,若P为A,B中点, 则,和都称为空间直线的向量表示式，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一决定. 由此可判断空间任意三点是否共线.,l,A,B,P,O,【探究总结】共线(平行)向量的充要条件 (1)三点P，A，B共线的充要条件有： 存在实数t使得 ，即 存在实数t，使得 存在有序实数对(x，y)，使得 (其中x+y =1).,(2)判断向量a，b所在直线平行，还需a(或b)上有一点不在b(或a)上. (3)常见结论： 零向量与任何空间向量都是平行向量； 若直线l过

3、点A且与向量a平行， 则点P在直线l上,下列说法正确的是（ ） A.在平面内共线的向量在空间不一定共线 B.在空间共线的向量在平面内不一定共线 C.在平面内共线的向量在空间一定不共线 D.在空间共线的向量在平面内一定共线,【即时训练】,探究点2 共面向量,共面向量:平行于同一个平面的向量,叫做共面向量.,提示：空间任意两个向量是共面的。,探究1：根据共面向量的定义，探究下面几个问题. (1)向量a与向量b分别为异面直线l，m的方向向量， 则向量a与向量b不是共面向量，正确吗？ 提示：不正确.由共面向量的定义：平行于同一平面 的向量叫共面向量，则任意两个向量都是共面向量.,(2)共面向量是否一定

4、在同一个平面内？ 提示：共面向量不一定是在同一平面内的，但可 以平移到同一平面内.几个向量共面是指它们平 行于同一个平面或在同一个平面内，并不是指它 们一定在同一平面内.,探究2：根据共面向量的充要条件，探究下面几个 问题. (1)空间中任意三个向量一定是共面向量吗？请举 例说明. 提示：不一定.对于空间任意两个向量，它们 总是共面的，但空间任意三个向量就不一定 共面了.例如：对于空间四边形ABCD， 这三个向量就不是共面向量.,由平面向量基本定理知，如果 ， 是平面内的两个不共线的向量，那么 对于这一平面内的任意向量 ，有且 只有一对实数 ， 使,（2）那么什么情况下三个向量共面呢？,空间一

5、点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x,y)使,C,或对空间任一点O,有,C,式称为空间平面ABC的向量表示式，空间中任意 平面由空间一点及两个不共线向量惟一确定.,O,P与A,B,C共面,C,【即时训练】,例1.若对任一点O和不共线的三点A，B，C，有,则x+y+z=1 是四点P，A，B，C共面的 （ ）,A.必要不充分条件,C.充要条件,B.充分不必要条件,D.既不充分也不必要条件,C,【变式练习】,已知A，B，C三点共线，则空间任一点O，存在三个 不为零的实数，m，n使 ，那 么+m+n的值为_.,【解析】因为A，B，C三点共线，所以存在唯一实数k，使 ，即 所以 又 令=k-1，m=1，n=-k，则+m+n=0. 答案：0,O,B,A,H,G,F,E,C,D,证明,【变式练习】,C,【规律总结】应用空间向量共面定理的三个策略 (1)恰当转化：转化是一种重要的数学思想方法，将 式子转化为共面向量定理的形式，可快速找到解题思 路. (2)列方程(组)：证明四点共面时，可先转化为证明 向量共面，再利用共面向量定理，列出系数x，y的方 程(组)，求出x，y，问题得证.,1下列命题中正确的个数是() 若 与 共线， 与 共线，则 与 共线；