第2章 2.4-2.5.pdf

1、2.4 零输入响应和零状态响应 起始状态与激励源的等效转换 系统响应划分 对系统线性的进一步认识 在一定条件下，激励源与起始状态之间可以等效转换。 即可以将原始储能看作是激励源。 电容的等效电路 电感的等效电路 外加激励源外加激励源 系统的完全响应系统的完全响应共同作用的结果共同作用的结果 可以看作可以看作 起始状态等效激励源起始状态等效激励源 系统的完全响应系统的完全响应 = =零输入响应零输入响应 + + 零状态响应零状态响应 ( (线性系统具有叠加性线性系统具有叠加性 ) ) 一起始状态与激励源的等效转换 t CC i C tv d)( 1 )( t CC i C i C 0 0 d)(

2、 1 d)( 1 t CC ti C v 0 0d)( 1 )0( C )(tvC )(tiC 0, 0)0( tvC 电路等效为起始状态为零的电容与电压源 的 串联 tuvC)0( 等效电路中的 电容器的起始 状态为零 C )(tvC )(tiC )0( Cv 电容器的等效电路电容器的等效电路 t LL v L ti d)( 1 )( t LL v L v L 0 0 d)( 1 d)( 1 )(tiL )(tvL L )0( d)( 1 )0( 0 tv L i t LL 故电路等效为起始状态为零的电感L和电流源 的并联。 )()0(tuiL 0 0)0( tiL， )(tiL )(tv

3、L L )0( L i 电感的等效电路电感的等效电路 自由响应强迫响应 (Natural+forced) 零输入响应零状态响应 (Zero-input+Zero-state) 暂态响应+稳态响应 (Transient+Steady-state) 二系统响应划分二系统响应划分 也称固有响应，由系统本身特性决定，与外加 激励形式无关。对应于齐次解。 形式取决于外加激励。对应于特解。 是指激励信号接入一段时间内，完全响应中 暂时出现的有关成分，随着时间t 增加，它将消失。 由完全响应中减去暂态响应分量即得稳态 响应分量。 没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起 始时刻系统储能）所产生的响应。 不考

4、虑原始时刻系统储能的作用（起始状态等 于零），由系统的外加激励信号产生的响应。 (1)自由响应： (2)暂态响应： 稳态响应： 强迫响应： (3)零输入响应： 零状态响应： 各种系统响应定义各种系统响应定义 系统零输入响应，实际上是求系统方程的齐次解，由 非零的系统状态值 决定的初始值求出待定系数。 00 LC iv和和 系统零状态响应，是在激励作用下求系统方程的非 齐次解，由 为零决定的初始值求出待定系 数。 00 LC iv和和 求解非齐次微分方程是比较烦琐的工作，所以引出卷积 积分法。 t 线性时不变系统线性时不变系统 th te th tr 系统的零状态响应=激励与系统冲激响应的卷积，

5、即 thtetr 求解求解 由常系数微分方程描述的系统在下述意义上是线性 的。 (1)响应可分解为：零输入响应零状态响应。 (2)零状态线性：当起始状态为零时，系统的零状态 响应对于各激励信号呈线性。 (3)零输入线性：当激励为零时，系统的零输入响应 对于各起始状态呈线性。 三对系统线性的进一步认识三对系统线性的进一步认识 (1)(1) )( zi tr )( zs tr )(te tuttr t 2sine2)( 3 1 )(2te )( 2sin2e)( 3 2 tuttr t (1)(1) )( 0 tte )( 3 tr 0 t (2)(2) 1 1 )(5 . 0te )( 4 tr

6、 )()2sin(e2)()()( 3 zszi1 tuttrtrtr t )()2sin(2e )(2)()( 3 zszi2 tuttrtrtr t 例例2-4-1 )()()( 0zszi3 ttrtrtr )()22sin(e)(e3 00 )(33 0 ttutttu ttt )(5 . 0)(2)( zszi4 trtrtr tuttu tt 2sine5 . 0e32 33 解得 )(e3)( 3 zi tutr t )()2sin(e)( 3 zs tuttr t tut t 2sin5 . 0e5 . 5 3 系统在单位冲激信号 作用下产生的零状态响应， 称为单位冲激响应，简

7、称冲激响应，一般用h(t)表示。 1定义 2一阶系统的冲激响应 )(t H t th 一冲激响应一冲激响应 2.5 冲激响应和阶跃响应 )()( d )(d ttv t tv RC C C 列系统微分方程： )(t C )(tvC )(tiCR 求下图RC电路的冲激响应。 （条件： ） 00 C v 0)( d )(d tv t tv RC C C 冲激 在 时转为系统的储能（由 体现）， t 0时，在非零初始条件下齐次方程的解，即为原系统 的冲激响应。 t 0 t )0( C v 0, 0 tt 齐次方程 例例2 2- -5 5- -1 1 一阶系统的冲激响应一阶系统的冲激响应 特征方程 0

8、1 RC特征根 RC 1 时的解时的解 0 )(e)( ttuAtv RC t C 下面的问题是确定系数A,求A有两种方法： 方法2：奇异函数项相平衡法，定系数A。 方法1：冲激函数匹配法求出 ，定系数A。 )0( C v )(e 1 )( 1 tu RC tv t RC C )(e 1 )( 1 tu RC th t RC 即: RC A 1 据方程设 代入方程得 ttuatuRCbtRCa 得出 RC aRCa 1 1 即即 所以 RC AAt t RC CC 1 e0 1 得得代入代入把把 tu RC t t RC C 1 e 1 tuat tubta t t C C d d RCRC

9、CC 11 00 响应及其各 阶导数(最 高阶为n次) (1)冲激响应的数学模型 )( d )(d d )(d d )(d )( d )(d d )(d d )(d 1 1 1 10 1 1 1 10 teE t te E t te E t te E trC t tr C t tr C t tr C mm m m m m nn n n n n 对于线性时不变系统,可以用一高阶微分方程表示 )()()()( )()()()( 1 1 1 10 1 1 1 10 tEtEtEtE thCthCthCthC mm mm nn nn 激励及其各 阶导数(最 高阶为m次) 令 e(t)= (t) 则 r

10、(t)=h(t) 3n阶系统的冲激响应 解： )(2 d )(d )(3 d )(d 4 d )(d 2 2 t t t th t th t th 求特征根 3, 1034 21 2 冲激响应 )()ee()( 3 21 tuAAth tt 求系统 的冲激响应。 )(2 d )(d )(3 d )(d 4 d )(d 2 2 te t te tr t tr t tr mnmn , 1, 2 中不包含冲激项中不包含冲激项th 将e(t) (t)， r(t)h(t) 带u(t) 求待定系数 求0+法, 奇异函数项相平衡法 例2-5-2 20,10 hh 代入h(t),得 2 1 2 1 230 1

11、0 2 1 21 21 A A AAh AAh )( 2 1 )( 3 tueeth tt tuatr tubta t tr tuctbta t tr d d d d 2 2 设设 求0+定系数 )(ee)( 3 21 tuAAth tt 00 10 hh 2 1 2 1 0 13 2 1 21 21 A A AA AA )(ee)(e 2 1 e 2 1 )(e 2 3 e 2 1 333 tuttuth tttttt )(ee 2 1 3 tu tt 已知系统 ，求h(t) 。 )(2 d )(d )(3 d )(d 4 d )(d 2 2 te t te tr t tr t tr 将边界

12、条件代入 式 th )( 2 d )( d )(th t th th 则由系统的线性时不变特性 )(ee 2 1 )( 3 tuth tt 例2-5-3 系统的输入 ，其响应为 。系统方程的右 端将包含阶跃函数 ，所以除了齐次解外，还有特解项。 tute tgtr tu 我们也可以根据线性时不变系统特性，利用冲激响应与 阶跃响应关系求阶跃响应。 系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应，称为单 位阶跃响应，简称阶跃响应。 1定义 H te tr H tu tg 二阶跃响应 tt 0 ,对因果系统：对因果系统： 积分，注意积分限：积分，注意积分限：阶跃响应是冲激响应的阶跃响应是冲激响应的 线性时不变系统满足微、积分特性 t tttud)()( t tthtgd)()( 2 2阶跃响应与冲激响应