第四章 4.1-4.4.pdf

1、以傅里叶变换为基础的频域分析方法的优点在于：它以傅里叶变换为基础的频域分析方法的优点在于：它 给出的结果有着清楚的物理意义给出的结果有着清楚的物理意义 ，但也有不足之处，但也有不足之处， 傅里叶变换只能处理符合狄利克雷条件的信号，而有傅里叶变换只能处理符合狄利克雷条件的信号，而有 些信号是不满足绝对可积条件的，因而其信号的分析些信号是不满足绝对可积条件的，因而其信号的分析 受到限制；受到限制； 另外在求时域响应时运用傅里叶反变换对频率进行的另外在求时域响应时运用傅里叶反变换对频率进行的 无穷积分求解困难。无穷积分求解困难。 ttfd )(d 2 1 )( 1j tfFeFtf t 4.14.1

2、 引言引言 为了解决对不符合狄氏条件信号的分析，第三章为了解决对不符合狄氏条件信号的分析，第三章 中引入了广义函数理论去解释傅里叶变换，同时，中引入了广义函数理论去解释傅里叶变换，同时， 还可利用本章要讨论的拉氏变换法扩大信号变换还可利用本章要讨论的拉氏变换法扩大信号变换 的范围。的范围。 优点：优点： 求解比较简单，特别是对系统的微分方程进求解比较简单，特别是对系统的微分方程进 行变换时，初始条件被自动计入，因此应用行变换时，初始条件被自动计入，因此应用 更为普遍。更为普遍。 缺点：缺点： 物理概念不如傅氏变换那样清楚。物理概念不如傅氏变换那样清楚。 本章内容及学习方法本章内容及学习方法 本

3、章首先由傅氏变换引出拉氏变换，然后对拉氏正本章首先由傅氏变换引出拉氏变换，然后对拉氏正 变换、拉氏反变换及拉氏变换的性质进行讨论。变换、拉氏反变换及拉氏变换的性质进行讨论。 本章重点在于，以拉氏变换为工具对系统进行复频本章重点在于，以拉氏变换为工具对系统进行复频 域分析。域分析。 最后介绍系统函数以及最后介绍系统函数以及H(s)零极点概念，并根据他零极点概念，并根据他 们的分布研究系统特性，分析频率响应，还要简略介绍们的分布研究系统特性，分析频率响应，还要简略介绍 系统稳定性问题。系统稳定性问题。 注意与傅氏变换的对比，便于理解与记忆。注意与傅氏变换的对比，便于理解与记忆。 从傅里叶变换到拉普

4、拉斯变换从傅里叶变换到拉普拉斯变换 拉氏变换的收敛拉氏变换的收敛 一些常用函数的拉氏变换一些常用函数的拉氏变换 4.2 拉普拉斯变换的定义、 收敛域 主要内容主要内容 一从傅里叶变换到拉普拉斯变换一从傅里叶变换到拉普拉斯变换 t tfFF e)( 1 ttf tt dee)( j : , )(e ),( 依傅氏变换定义依傅氏变换定义绝对可积条件绝对可积条件 后容易满足后容易满足为任意实数为任意实数乘以衰减因子乘以衰减因子信号信号 t tf 称为复频率。称为复频率。具有频率的量纲具有频率的量纲令令 , , j:s )j( F ttfsF ts de 则则 1拉普拉斯正变换 ttf td e)(

5、)j( 2 2拉氏逆变换拉氏逆变换 de 2 1 e jtt jFtf dej 2 1 j t Ftf j j : s对对积分限：对积分限：对 je的傅里叶逆变换的傅里叶逆变换是是对于对于 Ftf t t e 以以两边同乘两边同乘 jdd ; j: ss则则取常数，取常数，若若其中其中 j j de j2 1 ssFtf ts ttfsFttfF tst dedej j 所以所以 3 3拉氏变换对拉氏变换对 起因信号：起因信号：考虑到实际信号都是有考虑到实际信号都是有 j j 1 de j2 1 de ts ts ssFtfLtf ttftfLsF 逆变换逆变换 正变换正变换 sFtf:记作记

6、作 ,0 相应的单边拉氏变换为相应的单边拉氏变换为系统系统采用采用 j j 1 0 de j2 1 de ts ts ssFtfLtf ttftfLsF 称为象函数。称为象函数。称为原函数，称为原函数，sFtf ttfF t de j 0 所以所以 二拉氏变换的收敛二拉氏变换的收敛 0 0e)(limtf t t 收敛域：使收敛域：使F(s)存在的存在的s的区域称为收敛域。的区域称为收敛域。 记为：记为：ROC(region of convergence) 实际上就是拉氏变换存在的条件；实际上就是拉氏变换存在的条件； O j 0 收敛坐标收敛坐标 收敛轴收敛轴 收敛区收敛区 例题及说明例题及说

7、明 ；的信号成为指数阶信号的信号成为指数阶信号满足满足 0 0e)(lim. 1tf t t 0 0elim. 3 tn t t tt t 0eelim. 4 6.一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。 进行拉氏变换。进行拉氏变换。为非指数阶信号，无法为非指数阶信号，无法 ，长快，找不到收敛坐标长快，找不到收敛坐标等信号比指数函数增等信号比指数函数增 2 e . 5 t 氏变换一定存在；氏变换一定存在；有界的非周期信号的拉有界的非周期信号的拉. 2 三一些常用函数的拉氏变换三一些常用函数的拉氏变换 0 de1)(ttuL st 1.阶跃函数

8、 2.指数函数 0 deeetL sttt ss st 1 e 1 0 0 e s ts s 1 全全s域平面收敛域平面收敛 1de 0 tttL st 0 ede 0 00 stst tttttL 3.单位冲激信号 0 detttL st 2 0 1 e 11 sss st 0 detttL stnn 0 1 dett s n stn 0 de 1 st t s 0 0 dee 1 tt s stst 2 n 32 2 2122 sss tL s tL 3 n 43 23 6233 sss tL s tL 1 nn tL s n tL 0 e st n s t 0 1 dett s n st

9、n 1 ! n n s n tL 1 n 所以所以 所以所以 4tnu(t) 4.3 拉普拉斯变换的基本 性质 主要内容主要内容 线性线性 原函数微分原函数微分 原函数积分原函数积分 延时（时域平移）延时（时域平移） s域平移域平移 尺度变换尺度变换 初值初值 终值终值 卷积卷积 对对s域微分域微分 对对s域积分域积分 一线性一线性 )()()()( ,),()( ),()( 22112211 212211 sFKsFKtfKtfKL KKsFtfLsFtfL 则则 为常数，为常数，若若 tt ttf j j ee 2 1 )cos()( ss tL j 1 j 1 2 1 cos 22 s

10、s 已知已知 则则 s L t 1 e 同理同理 22 sin s tL 例题：例题： 二原函数微分二原函数微分 )0()( d )(d ),()( fssF t tf LsFtfL则则若若 )0()0()( )0(0 d )(d 2 2 fsfsFs ffsFs t tf L 1 0 )(1 )0()( d )(d n r rrnn n fssFs t tf L 推广：推广： 证明：证明： )(0 deede 000 ssFf ttsftfttf ststst 电感元件的s域模型 )()(),()(sVtvLsItiL LLLL t ti Ltv L L d )(d )( )0()()0()

11、()( LLLLL LisIsLissILsV )(tiL )(tvL L sI L Ls 0 L Li sVL 电感元件的电感元件的s模型模型 应用原函数微分性质应用原函数微分性质 设设 三原函数的积分三原函数的积分 ，则，则若若)()(sFtfL s f s sF fL t )0()( d)( 1 证明：证明： fff tt ddd 0 0 0 1 f 00 dedtf st t t st t st ttf s f s 0 0 0 de 1 d e t st ttf s 0 de 1 s f0 1 s sF 电容元件的s域模型 )()( ),()( sVtvL sItiL CC CC 设设

12、 t cC i C tv d)( 1 )( s i s sI C sV CC C )0()(1 )( )1( )0( d)( 1 )0( 1 0 )1( C CC v i C i C )0( 1 )( 1 CC v s sI sC tiC tvC C sC 1 0 1 C v s sIC sVC 电容元件的电容元件的s模型模型 四延时（时域平移） 0 e)()()( )()( 00 st sFttuttfL sFtfL ，则，则若若 0 0000 de)()()()(tttuttfttuttfL st 0 de)( 0 t st tttf ，令令 0 tt 代入上式代入上式则有则有,dd, 0

13、 ttt 0 00 dee)()()( 0 fttuttfL sst 0 e)( st sF 证明：证明： 时移特性、例题 222 1 1 1 1 1s s ss s sF 。求求已知已知)(, 4 cos2)(sFtuttf 1111 tututLttuLsF 【例例4-3-1】 sFttutf求求,1 已知已知 【例例4-3-2】 tttttfsincos 4 sinsin2 4 coscos2 s ss e 11 2 用时移性质求单边信号抽样后的拉氏变换 0 00 s e)(de)()()( n nsTst nTftnTtnTftfL 域的级数。域的级数。拉氏变换可表示为拉氏变换可表示为

14、抽样信号的抽样信号的s 则则例如例如),(e)(tutf t 0 s ee)( n snTnT tfL Ts e1 1 五s域平移 )(e)( )()( sFtfL sFtfL t ，则，则若若 )(dee)(e)( 0 sFttftfL sttt 证明：证明： 例例4 4- -3 3- -3 3 2 0 2 0 )(cos: s s tutL 已知已知 2 0 2 0 )(cose s s tut t 所以所以 2 0 2 0 0 )(sine: s tut t 同理同理 的拉氏变换的拉氏变换求求t t 0 cose 六尺度变换六尺度变换 时移和标度变换都有时时移和标度变换都有时: : 0

15、1 )( ),()( a a s F a atfL sFtfL则则若若 0, 0 e 1 )()( ba a s F a batubatfL a b s 若若 0 de)()(tatfatfL st ，则，则令令at 0 de)()( a fatfL a s 0 de)( 1 f a a s a s F a 1 证明：证明： )(lim)0()(lim ),()( d )(d )( 0 ssFftf sFtf t tf tf st 则则可以进行拉氏变换，且可以进行拉氏变换，且及及若若 七初值 应化为真分式：应化为真分式：不是真分式不是真分式若若,sF ksFsF )()( 1 )(lim)(l

16、im)(lim)0( 0 tfksssFksFsf tss 项。项。中有中有中有常数项，说明中有常数项，说明ttfsF 初值定理证明初值定理证明 t tf LfssF d )(d 0)( t t tf std e d )(d 0 t t tf t t tf stst de d )(d de d )(d 0 0 0 t t tf fssF std e d )(d 0)( 0 所以所以 0delim d )(d de d )(d lim 00 t t tf t t tf st s st s 由原函数微分定理可知由原函数微分定理可知 t t tf ff std e d )(d 00 0 例例4-3-

17、4 即单位阶跃信号的初始值为即单位阶跃信号的初始值为1。 ?)0(, 1 )(: f s sF求求已知已知 1)(lim)(lim)0( 0 ssFtff st 例例4-3-2 ?)0(, 1 2 )( f s s sF求求 2 1 2 1 2 ss s sF因为因为 s s sksssFf ss 2 1 2 2lim)(lim)0( 所以所以 2 1 1 2 lim 1 2 lim s s s ss 2)0( f所以所以 项项中有中有ttf 2 终值存在的条件终值存在的条件: ，则，则的拉氏变换存在，若的拉氏变换存在，若设设)()( d )(d ),(sFtfL t tf tf )(lim)

18、(lim 0 ssFtf st 上无极点。上无极点。原点除外原点除外轴轴在右半平面和在右半平面和) ( j ssF 八终值八终值 t t tf fssF std e d )(d 0)( 0 t t tf fssF st ss de d )(d lim0)(lim 000 0)(lim0ftff t 证明：证明： 根据初值定理证明时得到的公式根据初值定理证明时得到的公式 )(limtf t 九卷积九卷积 )()()()( 2121 sFsFtftfL )()( j2 1 )()( 2121 sFsFtftfL 则则 为有始信号，为有始信号，若若)(),()()()()( 212211 tftfs

19、FtfLsFtfL 证明：证明： ttutfuftftfL std ed 2 00 121 交换积分次序交换积分次序 ttutfftftfL st dde 00 2121 0 , 同同积分区间：积分区间：令令xttx xxfftftfL sxs ddee 00 2121 )()( 21 sFsF 十对十对s微分微分 s sF ttfL d )(d )( 常用形式：常用形式： 取正整数取正整数 ，则，则若若 n s sF tftL sFtfL n n nn d )(d )1()( )()( 十一对十一对s积分积分 ttfsF std e)()( 两边对两边对s积分：积分： s st s sttf

20、ssFdde)(d)( 交换积分次序交换积分次序: tstf s ts dde)( s ssF t tf LsFtfLd)( )( )()(，则，则若若 t t tf s ts de 1 )( t t tf ts de )( 证明：证明： 4.4 拉普拉斯逆变换 主要内容 由象函数求原函数的三种方法由象函数求原函数的三种方法 部分分式法求拉氏逆变换部分分式法求拉氏逆变换 两种特殊情况两种特殊情况 一由象函数求原函数的三种方法一由象函数求原函数的三种方法 (1)(1)部分分式法部分分式法 (2)(2)利用留数定理利用留数定理围线积分法围线积分法 (3)(3)数值计算方法数值计算方法利用计算机利用

21、计算机 二F(s)的一般形式 01 1 1 01 1 1 )( )( )( bsbsbsb asasasa sB sA sF n n n n m m m m ai,bi为实数，为实数，m,n为正整数。为正整数。 , 为有理真分式为有理真分式当当sFnm :式式具有如下的有理分式形具有如下的有理分式形通常通常sF )()( )()( )( )( )( 21 21 nn mm pspspsb zszszsa sB sA sF 分解分解 零点零点 极点极点 0)(0)( sFsA因为因为 的零点的零点称为称为的根的根是是sFsAzzzz m ,0, 321 的极点的极点称为称为的根的根是是sFsBp

22、ppp n ,0, 321 )(0)(sFsB因为因为 三三拉氏逆变换的过程拉氏逆变换的过程 的极点的极点找出找出sF 展成部分分式展成部分分式将将sF tf查拉氏变换表求查拉氏变换表求 四部分分式展开法四部分分式展开法(mn) 1.1.第一种情况：第一种情况：单阶单阶实数极点实数极点 , 321 为不同的实数根为不同的实数根 n pppp )()( )( )( 21n pspsps sA sF n n ps k ps k ps k sF 2 2 1 1 )( 展开为部分分式展开为部分分式即可将即可将求出求出sFkkkk n, , 321 2. 第二种情况：极点为共轭复数第二种情况：极点为共轭

23、复数 3.3.第三种情况：第三种情况：有重根存在有重根存在 第一种情况：单阶实数极点 (1)找极点找极点 )3)(2)(1( 332 2 sss ss sF (2)展成部分分式展成部分分式 321 321 s k s k s k sF 3 6 2 5 1 1 )( sss sF所以所以 6116 332 )( 23 2 sss ss sF 1 e s tuL t 根据根据 0e6e5e)(: 32 ttf ttt 得得 (3)逆变换逆变换 求系数求系数 如何求系数k1, k2, k3？ 1 1 k所以所以 1, 1 ss且令且令对等式两边同乘以对等式两边同乘以 1 1 321 321 )1(k

24、 s k s k s k s s 右边右边 1 )()1( s sFs左边左边 1 )3)(2)(1( 332 )1( 1 2 s sss ss s , 5)()2(: 2 2 s sFsk同理同理 6)()3( 33 s sFsk 3 6 2 5 1 1 )( sss sF所以所以 第二种情况：极点为共轭复数 2 2 ssD sA sF ss sF jj 1 共轭极点出现在共轭极点出现在 j . jj 21 s K s K sF s sFsK j j 1 F j2 j 1 s sFsK j j 2 F j2 j 2 成共轭关系：成共轭关系：可见可见 21,K K BAKj 1 * 12 jK

25、BAK 求f(t) BAKj 1 * 12 jKBAK s K s K Ltf jj 21 1 C ttt KK eee * 11 tBtA t sincose2 例题 。的逆变换的逆变换求求)( )52)(2( 3 )( 2 2 tf sss s sF )2)(2j1)(2j1( 3 2 sss s sF 2j12j12 210 s K s K s K 02, , 1 取取 5 7 )2( 2 0 s sFsK 5 2j1 )2j1)(2( 3 2j1 2 1 s ss s K 5 2 , 5 1 BA 0 2sin 5 2 2cos 5 1 e2e 5 7 2 ttttf tt 2 2 s

26、 s sF F(s)具有共轭极点，不必用部分分式展开法具有共轭极点，不必用部分分式展开法 2 2 2 2 ss s sF 0 sinecose tt ttf tt 求下示函数求下示函数F(s) 的逆变换的逆变换f(t)： 解：解： 求得求得 另一种方法 22 2 )( cose )( sine s s tL s tL t t 利用利用 3. 第三种情况：第三种情况：有重根存在有重根存在 2 321 2 2 )1(12)1)(2( )( s k s k s k ss s sF 4 )1)(2( )2( 2 2 2 1 s ss s sk 1 )1)(2( )1( 1 2 2 2 3 s ss s sk 为重根最高次系数为重根最高次系数为单根系数为单根系数 31 ,kk 如何求如何求k2 ? 如何求k2? 设法使部分分式只保留设法使部分分式只保留k2，其他分式为，其他分式为0 32 1 2 2 )1( 2 )1( 2 ksk s k s s s 0 )2( )1()2)(1(2 2 2 2 11 k s skkss 2 2 2 22 )2( 4 )2( )2(2 2d d s ss s sss s s s 3 2 k所以所以 2 )1( s对原式两边乘以对原式两