等腰三角形常用辅助线专题练习含答案

1、等腰三角形常用辅助线 专题练习（含答案）1.如图：已知，点d、e在三角形abc的边bc上， ab=ac，ad=ae，求证：bd=ce。 证明：作afbc，垂足为f， 则afde。 ab=ac，ad=ae又afbc ，afde， bf=cf，df=ef （等腰三角形底边上的高与 底边上的中线互相重合）。 bd=ce.2.如图，在三角形abc中，ab=ac,af平行bc于f， d是ac边上任意一点，延长ba到e，使ae=ad， 连接 de，试判断直线af与de的位置关系，并说 明理由解：afde理由： 延长ed交bc于g， ab=ac，ae=ad b=c，e=ade b+e=c+ade ade=c

2、dg b+e=c+cdg b+e=dgc，c+cdg=bge， bge+cgd=180 bge=cgd=90 egbc afbc afde解法2：过a点作abc底边上的高，再用bac=d+aed=2ade, 即cag=aed,证明agde 利用afbc证明afde3.如图，abc中，ba=bc,点d是ab延长线上一点， dfac交bc于e,求证：dbe是等腰三角形。证明：在abc中， ba=bc， a=c， dfac， c+fec=90， a+d=90， fec=d fec=bed， bed=d， bd=be， 即dbe是等腰三角形4. 如图，abc中，ab=ac,e在ac上，且ad=ae,d

3、e 的延长线与bc相交于f。求证：dfbc.证明：ab=ac， b=c， 又ad=ae， d=aed，b+d=c+aed， b+d=c+cef，efc=bfe=180 1/2 = 90， dfbc;若把“ad =ae”与结论“dfbc”互换，结论也成立。若把条件“ab=ac”与结论“dfbc”互换，结论依然成立。5. 如图，ab=ae,bc=ed, b=e,amcd, a 求证：cm=md.证明： 连接ac,adab=ae,b=e,bc=ed abcaed(sas)ac=adamcd amc=amd=90 am=am (公共边) rtacmrtadm (hl)cm=dm6.如图，已知ad是ab

4、c的中线，be交ac于f, 且ae=ef,求证：bf=ac证明：过b点做ac的平行线,交ad的延长线于g点 ad为中线，bd=cd bg平行于ac， fgb=caf， dbg=acd 在afe和gfb中,fgb=caf，gfb=afe afegfb fgb=faeae=ef,fae=afebfg=g gfb为等腰三角形，且bf=bg 在adc和gbd中 dbg=acd，bd=cd， bdg=cda adcgbd bg=acbf=ac7.已知：如图，abc(abac)中，d、e在bc上， 且de=ec,过d点作dfba,交ae于点f,df=ac, 求证：ae平分bac证明：延长ae，过d作dma

5、c交ae延长线于m m=1,c=2 在dem与cea中 m=1,c=2, de=ce demcea dm=ca 又df=ca,dm=df,m=3 abfd,3=4,4=1 ae平分bac8. 已知：如图，abc中，ab=ac,在ab上取一点d,在 延长线上取一点e,连接de交bc于点f,若f是de中点。求 证：bd=ce证明：过d作dfac交bc于f， dfac（已知）， dfc=fce，dfb=acb（平行线的性质） ab=ac（已知）， b=acb（等边对等角）， b=dfb（等量代换）， bd=df（等角对等边）， bd=ce（已知）， df=ce（等量代换）， dfc=fce， dgf

6、=cge（已证），dfgecg（aas），dg=ge（对应边相等）9. 已知：如图，在abc中，ab=ac=ce,b是ad上一点， becb 交cd于e,acdc, 求证：be=1/2bc证明：过点a作afbc交bc于点fabc是等腰三角形，ab=ac，abf=acf（1） af是bc上的垂直平分线，afbc，bf=cf=bc/2（2） bebc，be/af dbe=baf（3） cbe=90 dbe+abf=90=acf+ecb（4） 由（1）和（4）知道：dbe=ecb（5） 由（3）和（5）知道：baf=ecb 又ab=ce，bfa=ebc=90 rtbfartebc（角角边） bf=e

7、b（6） 由（2）和（6）知道：be=bc/210.如图，ad为abc的角平分线，m为bc的中点，meda交 ba延长线于e, 求证：be=cf=1/2(ab+ac)证明： （1）延长em，使em=mg，连接cg点m是bc的中点 ,bm=cm bme=cmg bmecmg（sas)be=cg,e=gad平分bac ,bad=cad meda,bad=e，cad=afe e=afe， ae=af afe=cfg ， g=cfg cf=cg ， be=cg， be=cf(2)be=ab+ae，2be=2ab+2aecf=be，ac=cf+af，ae=af2be=2cf=ab+(ab+ae)+ae

8、=ab+be+ae=ab+(cf+ae) ac=af+cf 2be=ab+ac be=cf=1/2(ab+ac)11.如图，已知abc中，adbc,abc=2c. 试说明ab+bd=cd的理由。 证明： 在dc上截取de=bd，连接ae adbc,adb=ade=90 ad=ad rtadbrtade（sas) ab=ae ，abc=aebaeb=c+eac abc=2c（已知） eac=cae=ce ，ab=ce cd=ce+de ，ab+bd=cd12.已知：如图，ad是abc的角平分线，且ac=ab+bd. 求证：b=2c. 证明：在ac上作aeab，连结de ac=ab+bdae+ce

9、 ,bdce ad是角平分线 ,badead 又ab=ae，ad=ad abdead baed，bddeceedc=c，aed2c即:b2c13.如图所示，已知在abc中ad是a的平分线，且b=2c. 求证：ac=ab+bd.证明：延长ab到e，使ac=ae，连接dead是bac的角平分线 bad=dac（角平分线的定义） 公共边ad=ad ac=ae bad=dac acdaed (sas) acb=dea（全等三角形形的对角相等） bde+deb=cba cba=2acb acb=dea bde=dea bd=be（等角对等边） ab+be=ae,ac=ae,bd=beab+bd=ac14

10、.如图，点e是等边abc内一点，且ea=eb, abc外一点d满 足bd=ac,且be平分bde。 求bde的度数 解：连接ce， ac=bc，ae=be，ce为公共边， bceace， bce=ace=30 又bd=ac=bc，dbe=cbe，be为公共边， bdebce， bde=bce=3015.如图，已知在abc中，ab=bc=ca,e是ad上一点，并且 eb=bd=de. 求证：bd+dc=ad. a提示：证明abebcd即可 e b c16.已知：如图，abc中，c=90，cmab于m,at平分 bac交cm于d,交bc于t,过d作deab交bc于e， 求证：ct=be证明1： 作dfbc交ab于f,则:afd=b=acd, at为bac的角平分线,ad为公共边 afdacd,af=ac 连接tf af=ac, at为bac的角平分线,at为公共边 actaft, tfaf,tfcm dfctbe,tfcd,debf 四边形ctfd和四边形bedf都是平行四