第四篇第7讲解三角形的实际应用举例

1、第7讲 解三角形的实际应用举例a级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1(2013沧州模拟)有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20，现高不变，将倾斜角改为10，则斜坡长为 ()a1 b2sin 10c2cos 10 dcos 20解析如图，abc20，ab1，adc10，abd160.在abd中，由正弦定理得，adab2cos 10.答案c2某人向正东方向走x km后，向右转150，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好是 km，那么x的值为 ()a. b2 c.或2 d3解析如图所示，设此人从a出发，则abx，bc3，ac，abc30，由余弦定理得()2x

2、2322x3cos 30，整理得x23x60，解得x或2.答案c3一艘海轮从a处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达b处，在c处有一座灯塔，海轮在a处观察灯塔，其方向是南偏东70，在b处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么b，c两点间的距离是 ()a10海里 b10海里c20海里 d20海里解析如图所示，易知，在abc中，ab20海里，cab30，acb45，根据正弦定理得，解得bc10(海里)答案a4.(2012吉林部分重点中学质量检测)如图，两座相距60 m的建筑物ab、cd的高度分别为20 m、50 m，bd为水平面，则从建筑物ab的顶端a看建筑物cd的张

3、角为 ()a30 b45 c60 d75解析依题意可得ad20(m)，ac30(m)，又cd50(m)，所以在acd中，由余弦定理得coscad，又0cad180，所以cad45，所以从顶端a看建筑物cd的张角为45.答案b二、填空题(每小题5分，共10分)5(2011上海)在相距2千米的a，b两点处测量目标点c，若cab75，cba60，则a，c两点之间的距离为_千米解析由已知条件cab75，cba60，得acb45.结合正弦定理得，即，解得ac(千米)答案6.(2013潍坊模拟)如图，一艘船上午9：30在a处测得灯塔s在它的北偏东30处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达b处

4、，此时又测得灯塔s在它的北偏东75处，且与它相距8 n mile.此船的航速是_ n mile/h.解析设航速为v n mile/h，在abs中，abv，bs8 n mile，bsa45，由正弦定理得：，v32 n mile/h.答案32三、解答题(共25分)7(12分)某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环保标志，小李、小王设计的底座形状分别为abc、abd，经测量adbd7米，bc5米，ac8米，cd.求ab的长度解在abc中，由余弦定理得cos c，在abd中，由余弦定理得cos d.由cd，得cosccosd，解得ab7，所以ab长度为7米8(13

5、分)如图所示，位于a处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的b处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的c处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线cb前往b处救援，求cos 的值解如题图所示，在abc中，ab40海里，ac20海里，bac120，由余弦定理知，bc2ab2ac22abaccos 1202 800，故bc20(海里)由正弦定理得，所以sinacbsinbac.由bac120，知acb为锐角，则cosacb.易知acb30，故cos cos(acb30)cosacbcos 30sinacbsin 30.b级能力突破(时间：30分钟满分：45

6、分)一、选择题(每小题5分，共10分)1一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点a测得水柱顶端的仰角为45，沿点a向北偏东30前进100 m到达点b，在b点测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的高度是 ()a50 m b100 m c120 m d150 m解析设水柱高度是h m，水柱底端为c，则在abc中，a60，ach，ab100，bch，根据余弦定理得，(h)2h210022h100cos 60，即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，即h50，故水柱的高度是50 m.答案a2.(2013榆林模拟)如图，在湖面上高为10 m

7、处测得天空中一朵云的仰角为30，测得湖中之影的俯角为45，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m) ()a2.7 m b17.3 mc37.3 m d373 m解析在ace中，tan 30.ae(m)在aed中，tan 45，ae(m)，cm10(2)37.3(m)答案c二、填空题(每小题5分，共10分)3.在2012年7月12日伦敦奥运会上举行升旗仪式如图，在坡度为15的观礼台上，某一列座位所在直线ab与旗杆所在直线mn共面，在该列的第一个座位a和最后一个座位b测得旗杆顶端n的仰角分别为60和30，且座位a，b的距离为10米，则旗杆的高度为_米解析由题可知ban105，bna30，由正弦定理得

8、，解得an20(米)，在rtamn中，mn20 sin 6030(米)故旗杆的高度为30米答案304.(2013合肥一检)如图，一船在海上自西向东航行，在a处测得某岛m的方位角为北偏东角，前进m海里后在b处测得该岛的方位角为北偏东角，已知该岛周围n海里范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行，当与满足条件_时，该船没有触礁危险解析由题可知，在abm中，根据正弦定理得，解得bm，要使该船没有触礁危险需满足bmsin(90)n，所以当与的关系满足mcos cos nsin()时，该船没有触礁危险答案mcos cos nsin()三、解答题(共25分)5(12分)(2012肇庆二模)如图，某测量人员

9、为了测量西江北岸不能到达的两点a，b之间的距离，她在西江南岸找到一个点c，从c点可以观察到点a，b；找到一个点d，从d点可以观察到点a，c；找到一个点e，从e点可以观察到点b，c；并测量得到数据：acd90，adc60，acb15，bce105，ceb45，dcce1百米(1)求cde的面积；(2)求a，b之间的距离解(1)在cde中，dce3609015105150，scdedccesin 150sin 30(平方百米)(2)连接ab，依题意知，在rtacd中，acdctanadc1tan 60(百米)，在bce中，cbe180bceceb1801054530，由正弦定理，得bcsinceb

10、sin 45(百米)cos 15cos(6045)cos 60cos 45sin 60sin 45，在abc中，由余弦定理ab2ac2bc22acbccosacb，可得ab2()2()222，ab百米6(13分)某港口o要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口o北偏西30且与该港口相距20海里的a处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇解(1)设相遇时小艇航行的距离为s海里，则s .故当t时，smin10(海里)，此时v30(海里/时)即小艇以30海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小(2)设小艇与轮船在b处相遇，则v2t2400900t222030tcos(9030)，故v2900，0v3