微分方程的应用.ppt

1、第五模块微分方程,第五节一阶微分方程应用举例,例 1 设曲线过点 (1, 1)，且其上任意点 P 的切线在 y 轴上截距是切点纵坐标的三倍，求此曲线方程.,解设所求的曲线方程为 y = y(x)，P(x, y) 为其上任意点，,则过点 P 的切线方程为,其中 (X, Y) 是切线上动点,(x, y) 是曲线上任意固定的点.,令 X = 0 ，得切线在 y 轴上的截距为 Y = y - xy，,y - xy = 3y，,这是一阶线性齐次方程，其通解为,因曲线过点 (1, 1). 代入方程，得 C = 1.,所以曲线方程为,由题意得,例 2 设跳伞员开始跳伞后所受的空气阻力与他下落的速度成正比 (

2、比例系数为常数 k 0)，,起跳时的速度为 0. 求下落的速度与时间之间的函数关系.,解设下落速度为 v(t)，,则加速度 a = v (t)运动，物体所受的外力为：,F = mg kv，,于是，由牛顿第二定律可得,mg - kv = mv ，,又由题意得初始条件,v |t = 0 = 0，,可见，初值问题,是一个一阶线性非齐次微分方程，其通解为,由 v(0) = 0 得 C = mg.,即为所求的函数关系.,所以，特解,例 4 假设一高温物体在冷却剂中均匀地冷却，,物体的初始温度为 200C ，且由 200C 冷却到 100C 需要 40 s.,已知(冷却定律)：冷却速率与物体和介质的温度差

3、成正比.,其介质(冷却剂)温度始终保持为 10C，,并求物体温度降到 20C 所需的时间.,解设物体温度为 q = q (t)，,则物体的冷却速率为 q (t) .,由冷却定律可得 q (t) 应满足的微分方程为,q (t) = - kq (t) -10 (k 0) ，,试求物体温度 q 与时间 t 的函数关系,另由题意知 q(t) 所满足的初始条件为,q |t = 0 = 200.,于是，初值问题是,解此初值问题，得特解,q(t) = 10 + 190e-kt .,因此，得,由于 (40) = 100，,即 100 = 10 + 190e-40k ，,最后，将 q = 20 代入上式，,即物

4、体温度降到 20C 大约需要 2 min38 s .,从而得物体温度 q 与时间 t 的函数关系为,并解出,三、应用举例,例 12 弹簧振动问题,设有一个弹簧上端固定，下端挂着一个质量为 m 的物体，,当弹簧处于平衡位置时，物体所受的重力与弹性恢复力大小相等，方向相反，,设给物体一个初始位移 x0 初速度 v0，,则物体便在其平衡位置附近上下振动.,已知阻力与其速度成正比，,试求振动过程中位移 x 的变化规律.,物体在振动过程中，受到两个力的作用：,ma = - kx mv,其中 a 为加速度，,v 为速度，,解 建立坐标系，平衡位置为原点, 铅垂方向为 x 轴的正向，则物体位移 x 是时间

5、t 的函数 x = x(t).,根据牛顿第二定律 F = ma，知,负号表示阻力 f2 与速度 v 方向相反，,其中 m 为比例系数大于 0 ( 或称阻尼系数 )，,阻力 f2 与速度 v 成正比， f2= - mv,负号表示弹性恢复力与位移 x 方向相反；,其中 k 为弹性系数大于 0，,由胡克定律知， f1= - kx，,弹性恢复力 f1 与阻力 f2，,则上式方程可表示为,称为振动的微分方程，,是一个二阶常系数线性齐次方程，,它的特征方程为 r2 + 2nr + w2 = 0，,其根为,那么，上式变为,这里 n，w 为正常数，,由题意列出初始条件,于是，上述问题化为初值问题：,下面分三种情况来讨论,1 大阻尼情形，即 n w .,是两个不相等的实根. 所以方程的通解为,2 临界阻尼情形，即 n = w.,这时，特征根 r1 = r2 = - n，所以方程的通解为,3 小阻尼情形，即 n w .,这时，特征根为共轭复数,所以方程的通解为,上式也可写成,对于 1， 2,情形，x(t) 都不是振荡函数，,且当 t + 时， x(t) 0，,即物体随时间 t 的增大