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文档简介

1、二次型,二次型化标准型,一.向量的内积与施密特正交化过程,引言：在几何空间，我们学过向量的长 两向量夹角的概念，并由此定义两向量 的数量积,利用坐标分别有下面计算公式：设,，,，,（设,则,设,为了今后应用的需要，将这些概念 及公式推广到n维向量。,1. 向量的内积 定义1,n维向量空间,中任两个向量,的内积定义为,并称定义了内积的向量空间为欧氏空间,内积具有下列性质：,（交换性）;,k为数（性质(2)，(3)称单线性） （,当且仅当,。 以上证明留给读者。,定义2 设,，,称向量,的长度。长度为1的向量称单位向量。,，即为一单位向量。称将,单位化。,设,向量的长度有下列性质：,。,当且仅当,

2、； (2).齐次性：,； (3).三角不等式：,以上性质证明留给读者。,证略。,(1).非负性：,(4).柯西不等式：,由柯西不等式得：,由此可定义两非零向量的夹角：,； 或,对于两非零向量,当,时，称两向量正交。这里显然等价于,又零向量与任何向量看作是正交的，且,中只要有一个为零向量，必有,因此可利用内积定义两向量正交。,称,正交，记,。,定义3 若,因此可利用内积定义两向量正交。,。,定义4 设向量组,为两两正交的非零向量， 称其为正交向量组。,如果正交向量组中。每个向量还是单位向量 量则称其为标准正交向量组或正交规范向 量组。如它们还是向量空间的基底则分别称 其为正交基或标准（规范）正交

3、基。即正交 规范组（基）满足,定理1 设,为正交向量组，则,是线性无关的。,例1 求与向量,都正交的向量集。,都正交的向量为,由,得齐次线性方程组,解：设与,即为与,解得,都正交的向量集,2.施密特正交化方法,是线性无关的向量组，寻找一个标准正交向量组,使其与,等价。,，,设,其作法分两步(1).正交化，令,，,，,， ,是正交规范向量组，且,等价。上述过程称Schmidt（施密特）正交化过程。（方法）,仍与,显然,(2). 单位化（规范化）：取,例2 设,用Schmidt正交化过程将其化为标准正交组。 解：取,单位化得,3. 正交矩阵与正交变换 定义5方阵A满足,则称A为正交矩阵。由定义不难

4、得到：,A为正交矩阵,。,令,由上式不难得到：A为正交矩阵,即A的行（列）向量是两两正交的单位向量,的正交规范基）,即是,例3令,验证A为正交矩阵,解：因列向量组为两两正交 的单位向量，故为正交矩阵。,定义6 设,则称线性变换,是正交变换。,是正交变换。,例4 证明线性变换,解：线性变换的矩阵为,其行（列）向量是两两正交的单位向量 故为正交矩阵，故上述线性变换是正交 变换。上述线性变换代表平面上的一个 坐标旋转，因此平面上的坐标旋转变换 是正交变换,下面介绍正交变换的性质：1）.设,为一正交变换，则,即正交变换保持向量长度不变。2）设,为一正交变换，对任意,则有,即正交变换下向量内积不变。由于正交 变换保持向量长度、

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