2015届钻石卡学员全真模拟考试数学二答案_W

1、启用前2015 年全国硕士研究生入学统一考试（钻石卡学员全真模拟考试） 数学（二）答案 (科目代码：302)考生注意事项1.答题前，考生须在答题纸指定位置上填写考生姓名、报考单位和考生编号.2.答案必须写在答题纸指定位置上，写在其他地方无效.3.填（书）写必须使用蓝（黑）色字迹钢笔、圆珠笔或签字笔.4.考试结束，将答题纸和试题一并装入试题袋中交回.一、选择题:18 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合 题目要求,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 1+ x3x 0,则曲线 y =()(1) 设x(A) 有一条铅直渐近线和一条斜渐近线.(C) 有一条

2、水平渐近线和一条斜渐近线.【答案】(A) (B) 有一条水平渐近线和一条铅直渐近线.(D) 只有一条铅直渐近线.【解析】同侧的水平渐近线和斜渐近线至多有其一，不可共存，(C)错；铅直渐近线： x = a （ a: 无意义的点或端点）， lim y = .xa(1+ x3 ) = +,本题中 lim y = limx0+x0+故 x = 0 为铅直渐近线；x(1+ x3 )因 为 lim y = lim= +, 故无水平渐近线，(B)错； xx+x+(1+ x3 )y因 为 lim = lim = 1, 故曲线有斜渐近线，(D)错.x3x+ x故应选(A)x+(2) 设 f (1+ x) - 3

3、 f (1- x) = 8x(1+ | sin x |), 且 f (x) 可导，则 f (1) =()(B) -4 .(A) 0 .【答案】(C).(C) 2 .(D) 不存在.【解析】由于 f (x) 可导，故连续，等式两端 x 0 取极限，得f (1)- 3 f (1) = 0 f (1) = 0.等式两边同除 x, 并取极限得 f (1+ x) f (1- x)lim- 3lim= 8,xxx0x0 f (1+ x) - f (1) f (1- x) - f (1)lim+ 3 lim= 8,-xxx0- x0即得 f (1) = 2.故选(C).f (x) + f (x) = 1,(

4、3) 设 f (x) 连续，且limf (0) 为 f (x) 的极值()1- e- xx0(A) 当 f (0) = 0 时， f (0) 是 f (x) 的极小值.针对性教学：一切以提高学生学习成绩为宗旨1(B) 当 f (0) = 0 时， f (0) 是 f (x) 的极大值.(C) 当 f (0) 0 时， f (0) 是 f (x) 的极大值.(D) 当 f (0) 0,故 f (0) 为 f (x) 的极小值，即选项(A)正确.上有 f (0) = g (0) = 0, f (1) = g(1) = a 0,f (x) 0,g (x) 0, f (x) 凹， g (x) 0 ,则

5、f (x) - f (x0 ) = limf (x) 0f (x ) = lim2 分+0x - x0 x - xxx+xx+000由极限的保号性,存在 x0 的某右邻域使得 f (x) 0 ,即在该右邻域内 f (x) 是凹的;同理,由极限的保号性，存在 x0 的某左邻域使得 f (x) 0) 所成区域绕 y 轴旋转所得体积与曲线 y = f (x) 和两坐标轴及直线 x = t(t 0)所围成的区域的面积之和为t 2 ,求曲线 y = f (x) 的方程.xy =f (t)dt 和两坐标轴及直线 x = t(t 0) 所围成区域绕 y 轴旋转所得体积【解析】曲线 0针对性教学：一切以提高学

6、生学习成绩为宗旨11为txp(xf (u)du)dx .Vy(t) = 23 分00曲线 y = f (x) 和两坐标轴及直线 x = t(t 0) 所围成的区域的面积为tS (t) =f (x)dx .5 分0则V (t) + S (t) = 2p t (xf (u)du)dx +f (x)dx = t2 .即 2p t xS (x)dx + S(t) = t 2xty0000上式两端对t 求导得2p tS (t) + S(t) = 2t , S (t) = e-2p tdtdt + C = 1 + Ce-p t2 , 2te 2p tdt7 分p由 S (0) = 0 知, C =- 1

7、, S (t) =1 - 1 e-p t2 .pppf (t) = S(t) = 2te-p t2 .10 分(22)(本题满分 11 分)已知向量组a = 1,2,1 ,a = 2,3, a,a3 = (1,a + 2, -2) 与向量组 ()()12TTTb = (1, 3, 0)T , b = (2,1, b)T 等价.12(I)求常数 a,b ；(II)求向量组 b1 , b2 由向量组a1 ,a2 ,a3 线性表示的表达式.【解析】向量组等价以及线性表示，本题可以采用初等变换来求解. (I)123a1a + 2-21212-1a - 21a-311-12,a , b , b )=23

8、1 0(a ,a-3 123121b0b-20 12-1 01aa2 - 2a - 311a -320-3-3a + b + 40由向量组a1 ,a2 ,a3 与向量组b1 , b2等价且 r (a1,a2 ,a3 ) 2 , r (b1 , b2 ) 2(a1,a2 ,a3 ) X = (b1, b2 ) 有解,解得： a = 32 分针对性教学：一切以提高学生学习成绩为宗旨12-3a + b + 4 = 0 , b = 53 分(II)由(I)得：112112 1-323315-22-1 0130(a ,a ,a , b , b )=231 0 12312150000 得(a1,a2 ,a

9、3 ) x = b1 相应齐次线性方程组基础解系为： x = (-7,3,1)T(a1,a2 ,a3 ) x = b1 特解为：h = (3, -1, 0)T5 分 7 分得1, 2 ,x7,3,12 相应齐次线性方程组基础解系为： 3T1, 2 ,x4, 3, 02 特解为：32T9 分则： b1 = (-7k + 3)a1 + (3k -1)a2 + ka3 ,其中k 为任意常数.b2 = (-7l - 4)a1 + (3l + 3)a2 + la3 ,其中l 为任意常数.(23)(本题满分 11 分)11 分已知二次型 f (x , x, x )= (ax)()2 + ( x+ ax )

10、2 是正定的,记2- x+ 4 x + ax - x1231212323a, 1, 0 ,T1, a, 10,1, a.T,1T23(I) 求参数 a 取值； A = a a+ 4a a+ a a；TTT(II)证明：二次型的矩阵 1 12 23 31,a, 1是矩阵 A 的特征向量； T(III) 证明2(IV) 若矩阵 A 有一个特征值为 a2 + 2 ，写出二次型 f ( x , x, x ) 在正交变换化下的标准123形.【解析】f (x , x, x )= (ax)+ 4 x + ax - x)2 + ( x(+ ax )2 为正定二次型2- x(I) 已知二次型1231212323

11、ax1 - x2 = 0等价于方程组 x1 + ax2- x =3 0 只有零解 x + ax = 023a-1-1a11-10100-1 = a (a2 +2) 0-1 = a 0-1 = a 0得 1a1a2010aaa针对性教学：一切以提高学生学习成绩为宗旨13f (x1, x2 , x3 ) 为正定二次型即 a 0 时二次型3 分(II) f (x , x, x )= (ax)()2 + ( x + ax)22- x+ 4 x + ax - x1231212323 a x1 1 x1 = (x , x , x ) -1(a, -1,0) x + 4(x,x)a (1,a,-1)x, x

12、 2 2 123123 0 x -1 x 3 3 0x1 +( x , x , x ) 1 (0,1, a) x 2 123a x 3 ()= x aax + 4x a ax + x a a x = xaa+ 4a a+ a ax = x AxTTTTTTTTTTT1 12 23 31 12 23 3A = a a+ 4a a+ a a， A = ATTTT得 5 分1 12 23 3A = a a+ 4a a+ aaTTT二次型的矩阵为 1 12 23 3(III)()= (a, -1, 0)T ,a = (1, a, -1)T ,a = 0,1, a容易验证a a =由aT0 , a a= 0TT1231232()()Aa = a aa a+ a aa =4aa a = 4a + 8 a+ 4TTTT221 12 23 3222 22a 是矩阵 A 的属于l = 4a + 8 的特征向量 2即7 分22A = a a+ 4a a+ aaTTT(IV)由(II)得 1 12 23 3= tr (aa+)()(T )则tr ( A)tr 4 a a+tr a aTT1 12 23 3= a a + 4a a + a a =