山东建筑大学高等数学03-04答案

1、一、填空 (每小题 3分 ,共 15 分 )1.设 zlnxy，则 xzyz1.xy22. 已知f x2y2z2 dvR(r )dr ，则 (r )4 r2 f ( r 2 ).0x2y2z2R23.已知Ly cos xdxa sin xdy 在整个 xOy 面内与路径无关 , 则 a1 .4.设 f x是以2为周期的函数 ,它在区间 (, 上的表达式为f0,x 0x0,1,x则 fx 的傅里叶系数中b32.3二、选择 (每小题 3分 ,共 15 分 )xy,( x,y)(0,0)1二元函数f (x, y)x 2y 2在点（ 0,0）处 (C ).0,(x,y)(0,0)(A)连续，偏导存在；

2、(B)连续，偏导不存在；(C)不连续，偏导存在；(D) 不连续，偏导不存在 .2.函数 uln x2y2z2 在点 M(1,2, - 2)处正确的是（B） .3.设 D1是以原点为中心1为边长的正方形, D2 是 D1的内切圆 , D3是 D1的外接圆 , 记I1e x2dxdy; I 2ex2dxdy; I 3e x2dxdy. 则 I 1 , I2 , I 3 的大小顺序为 (B ) .D1D2D34.级数u n 在满足条件 ( B )时 , 一定是收敛 .n 1A lim un0 ;Bun收敛 ;C1 收敛 ;Du2n 收敛 .nn1n 1 unn1三、计算下列各题( 每小题6 分 ,

3、共 12 分 )1 设 z1f ( xy)y( xy), f ,具有二阶连续导数，求2 z .xxy解z1()y()()2.xx 2fxyx fxyyx y在曲面 zxy 上求一点，使这点的法线垂直于平面x3yz90 ，并写出这条法线的方程 .解设所求点为 ( x 0 , y0 , z0 ) ，则过曲面 zxy 上点 ( x0 , y 0 , z0 ) 的法线的方向向量为y 0 , x0 ,1.由已知y0x01，得 x 03, y01, z03 .131过曲面上点( x 0 , y0 , z0 ) 的法线方程为四、 (6 分 )求由旋转抛物面z6 x2y2 ，平面 y0, z0, x1及 yx

4、 所围成的立体对 z轴的转动惯量（设体密度 =1） .解设是由旋转抛物面z6x 2y2 ，平面 y0, z0, x1及 yx 所围成的区域 .五、计算下列积分( 每小题6 分 , 共 24 分 )1.1 dx1 x2e y2 dy .0x解1dx1 x2e y2 dy1dyy x2e y2 dx0x002.yds,其中 L 是抛物线 y24x上介于点 O0,0 与点 B 1,2之间的一段弧 .L解yds14x11dxL0x3.ydxxdy 其中 L 为一条无重点、 分段光滑且不经过原点的连续闭曲线，L 的方向为逆Lx2y2时针方向 .解令Py, Qx.则当 x2y20 时，有Py 2x 2Qx

5、 2y 2x 2y 2yx 2y 2x记 L 所围成的区域为D.当(0,0)D 时，ydxxdy0Lx2y2当 (0,0)D 时，记 L1 : x2y 2r 2 , 其中 L1 包含在 L 内，并取其顺时针方向 .4.xdydzydzdx zdxdy, 其中是球面 x2y2z2a 2 的外侧 .x2y223z解xdydzydzdxzdxdyxdydzydzdxzdxdy2 3a3x2y2z六、 (7分)讨论级数1是绝对收敛、条件收敛还是发散?n1 an n1解当 a1 时，由于 nlima n1 (n1)11，所以级数1绝对收敛 .1an1 anna n n当 a1 时，级数1 发散 .n1 n当 a1时，级数(1)n条件收敛 .n 1n1当 0a1 时，由于liman1 (n1)11，所以 lim10 级数1 发散 .n1annnn 1nnaaa n n七、 (7分) 将函数 ln2x 展开成 x 的幂级数 , 并求其收敛区间 .1111( 1)n xn解ln 2 xx2x212 n 022收敛区间为： ( 2,2 .八、 (6分) 求微分方程 2xydxx 2y 2 dy 的通解 .2yu 3dyxy ，