平面向量基础知识及练习

1、平面向量基础知识一向量有关概念 ：1向量的概念 ：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。2零向量 ：长度为 0 的向量叫零向量，记作：0 ，注意零向量的方向是任意的；uuur3 单位向量 ：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量( 与 AB 共线的单位向量是uuurABuuur )；4相等向量 ：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5平行向量 （也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量， 记作：a b ，规定零向量和任何向量平行。提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行包含两个向量共线 , 但两条直线平行不包含两条直线重合

2、；r平行向量无传递性 ！（因为有 0 ) ；三点A、B、C 共线uuuruuurAB、AC 共线；6相反向量 ：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是 a 。二向量的表示方法 ：1几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；2符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ， b ， c 等；3坐标表示法： 在平面内建立直角坐标系， 以与 x轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i ， jrrrx, y，称 x, y 为向量 a 的坐标，为基底，则平面内的任一向量 a 可表示为 axiy ja x, y叫做向量 a 的坐标表示。如果向量的起点在原点 ，那么向

3、量的坐标与向量的终点坐标相同。三平面向量的基本定理 ：如果 e1 和 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内e的任一向量 a，有且只有一对实数1 、2 ，使 a=12rrr1 e2 e 。r_如：若 a(1,1),b(1, 1),c( 1,2) ，则 c四实数与向量的积 ：实数与向量 a 的积是一个向量，记作a ，它的长度和方向规定如下： 1rr当 0 时，a 的方向与 a 的方向相同，当0 时， a 的方向aa , 2与 a 的方向相反，当rr0 时， a0 ，注意： a 0。五平面向量的数量积 ：uuurruuurr两个向量的夹角 ：对于非零向量a ， b ，作OAa,OBb ，

4、AOB10称为向量 a ， b 的夹角，当0 时， a ， b 同向，当 时， a ， b 反向，当时， a ， b 垂直。2r2 平面向量的数量积：如果两个非零向量a ， b ，它们的夹角为，我们把数量rrr| a | b | cos 叫做 a 与 b 的数量积（或内积或点积） ，记作： a ? b ，即 a ? b ab cos 。规定：零向量与任一向量的数量积是 0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量 。如： ABC 中， | AB |3 ， | AC |4 ， | BC |5，则 AB BC _r.0。3 b 在 a 上的投影 为 | b | cos ，它是一个实数，但不一定大于如：

5、已知 | a | 3 ， | b | 5 ，且 a b12 ，则向量 a 在向量 b 上的投影为 _r4 a ? b 的几何意义 ：数量积 a ? b 等于 a 的模 | a |与 b 在 a 上的投影的积。5向量数量积的性质 ：设两个非零向量 a ， b ，其夹角为，则：rrr rr rr 2r rr 2 rr 2 aba ? b 0 ；当 a ，b 同向时，a ? b a b ，特别地，aa ? aa , aa ；r r当 a 与 b 反向时， a ? b a b ；rrrrrr非零向量 a ， b 夹角 的计算公式： cosa ?b| a |b | 。rr； | a ?b |a b六向量

6、的运算 ：1几何运算 ：向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线uuur的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”uuurruuurr：设 ABa, BCb ，那么向量 AC 叫rrrruuuruuuruuur做 a 与 b 的和，即 abABBCAC ；uuurruuurrrruuuruuuruuur向量的减法：用“三角形法则” ：设 ABa, ACb, 那么 abABACCA ，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur_如化简： ABBCCD

7、_； ABADDC_； ( ABCD ) ( ACBD )rr2坐标运算 ：设 a( x1 , y1), b( x2 , y2 ) ，则：rr向量的加减法运算 ： ab( x1x2， y1y2 ) 。如：已知 A(2,3), B(1,4), 且1 uuur(sin x,cos y) ， x, y(,) ，则 xy2ABr22实数与向量的积 ： ax1, y1x1,y1。uuur若 A(x1, y1 ), B(x2 , y2 ) ，则 ABx2x1, y2y1，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。如：设 A(2,3), B(uuur1 uuuruuuruuur1,5

8、) ，且 AC3AB ， AD3 AB ，则 C、 D 的坐标分别是 _r rrr 2 rx1 x2x2y2x2y2 。平面向量数量积 ： a ? by1 y2 。 向量的模 ： | a |, a| a |2七向量的运算律 ：rrrrrrrrrr1交换律： abba ，aa， a ?bb ? a ；rrrrrr rrrrrrrrrrrr2结合律： abcabc,abcabc，a?ba ?ba ?b ；3分配律：rrrrrrrrrrrrrraaa,abab， ab ? ca ? cb ? c。八向量平行 ( 共线 ) 的充要条件 ：rrrrrr2rr2x1 y2y1x2 。a / bab(ab)

9、(| a |b |)0uuuruuuruuur如： 设PA(k ,12), PB(4,5), PC(10,k )，则 k_时， A,B,C 共线rrrrrrrr0 .九向量垂直的充要条件 ： abab0 | ab | ab |x1x2y1 y2.平面向量单元练习1设 a 是非零向量，是非零实数，下列结论中正确的是（）A a 与a 的方向相反B|-a|=| | aCa 与2a 的方向相同D |-a|a|2、下面给出的关系式中正确的个数是（） 0 a0 a b b a a 2a 2 (a b)c a(b c ) a b a bA. 0B. 1C. 2D. 3DC3、如图，在平行四边形ABCD 中，

10、下列结论中错误的是（）BAA. AB DCB. AD AB ACC. AB AD BDD. AD CB 0uuuruuur(1,3) ,uuur4、若 AB(2, 4) ， AC则 BC（）A （1，1）B（ 1， 1）C（3，7）D（ -3,-7）5、已知向量 a(1,2) ， b(2,3) 若向量 c 满足 (ca) / /b ， c (ab) ，则 c（）A ( 7 , 7)B (7 ,7)C ( 7 , 7 )D (7 ,7 )93393993uuur）6、 D 是 ABC 的边 AB上的中点，则向量 CD （uuur1 uuurB.uuur1 uuuruuur 1 uuuruuur1

11、 uuurA. BCBABCBAC. BCBAD. BCBA2r2r22r3,sin(cos1b ，则锐角为（）7、 设 a() ， b, )，且 a /23A 300B 60 0C 750D 4508、已知 a(1, sin 2 x), b(2,sin 2x) ，其中 x(0,) 。若 a ba b ，则 tanx 的值等于（）2A 1B -1C3D29、一质点受到平面上的三个力F1, F2 , F3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态 已知 F1 ， F2成 600 角，且 F1， F2 的大小分别为 2 和 4，则 F3 的大小为（）A. 6B. 2C. 2 5D. 2 710、已知O ，

12、 N ， P 在ABC 所在平面内，且OAOBOC , NANBNC0 ，且PA ? PBPB ? PCPC ? PA ，则点 O，N，P 依次是ABC 的（）A. 重心 外心 垂心B.重心 外心 内心C.外心 重心 垂心D.外心 重心 内心.rrrrrrrr11、若向量 a ， b 满足 a1，b 2且 a 与 b 的夹角为 ，则 ab3、已知 ab2， a2b ? ab2 ，则 a 与 b 的夹角为1213、已向量 a =2，4， b =11， 若向量 b(a +b) ，则实数的值是、设向量rrrrr( 11)， ，则 cosa与 b 的夹角为， a(3，3) ， 2ba1415、若有以下命题： 两个相等向量的模相等；若 a 和 b 都是单位向量，则 ab ； 相等的两个向量一定是共线向量；a / b ， c / b ，则 a / c ； 零向量是唯一没有方向的向量；两个非零向量的和可以是零。其中正确的命题序号是。16、 已知 | a | 4 ， | b | 2 ，且 a 与 b 夹角为 120，求 (a2b) ? (ab) ； | 2ab | ；当 k 为何值时， (a 2 b)( k a b) ?1