弹性与塑性力学基础-第一章应力分析.ppt

1、,弹性与塑性力学基础,第 一 章 应 力 分 析,1-1 单向及平面应力状态分析 1.1.1 应力定义 1.1.2 应力的方向性 1.1.3 平面应力状态应力关系 1-2 三维应力状态分析 1.2.1 任意倾斜面上的应力分量表示方法 1.2.2 任意倾斜面上的正应力、全应力S、 剪应力表示方法,弹性与塑性力学基础,第一章 应力分析,1-3 三维应力状态的主应力及应力莫尔圆 1.3.1 主方向、主平面、主应力的概念 1.3.2 应力不变量的概念 1.3.3 任意方向截面应力的主应力的表达 1.3.4 三维应力状态应力莫尔圆 1-4 主剪应力,弹性与塑性力学基础,第一章 应力分析,1-5 正八面体

2、剪应力 1-6 应力张量及应力偏量 1.6.1 张量概念 1.6.2 应力张量概念 1.6.3 应力张量球张量与偏张量 1.6.4 应变速率张量,弹性与塑性力学基础,第一章 应力分析,1-1 单向及平面应力状态分析 1.1.1 应力定义 应力是指当物体中一微元面积M趋近于零时，作用在该面积上的内力 P与A比值的极限，即 (1-1) 当物体受外力P1、P2、P3、作用时，产生与诸外力相平衡的内力。,弹性与塑性力学基础,第一章 应力分析,作用于变形体中某一微元面积的内力P,1-1 单向及平面应力状态分析 1.1.2 应力的方向性 应力与方向有关，例如简单拉伸。垂直于轴线 平面上的应力 (1-2)

3、P轴向力； A0垂直于轴线的横截面面积。 而当所截平面的法线与轴线成角时，由于斜 面的面积增大(由A0A0/cos) ， 相应的轴向应 力为 (1-3) 随着增大，截平面越来越倾斜，应力也就越 来越小。,弹性与塑性力学基础,第一章 应力分析,单向拉伸时轴向应力值随截面方位变化,1-1 单向及平面应力状态分析 1.1.2 应力的方向性 为了便于研究，通常将任意方向 截面上的应力分解为两个分量： 垂直于截面的分量（正应力） 平行于截面的分量（剪应力） 显然，有：,弹性与塑性力学基础,第一章 应力分析,单向拉伸时轴向应力值随截面方位变化,1-1 单向及平面应力状态分析 1.1.3 平面应力状态应力关

4、系 边界只存在正应力情况 平面应力状态如图所示，假设z=0。 x1 ，y2 ，任意截面上BC：(, ) 设截面BC的面积A， AC面积为Acos， AB的面积为Asin 。 沿BC面的法线方向力的平衡方程为： 即： (1-4),弹性与塑性力学基础,第一章 应力分析,边界存在正应力时斜截面受力图,1-1 单向及平面应力状态分析 1.1.3 平面应力状态应力关系 沿a-a方向,力的平衡方程为： 即： (1-5),弹性与塑性力学基础,第一章 应力分析,边界存在正应力时斜截面受力图,1-1 单向及平面应力状态分析 1.1.3 平面应力状态应力关系 由式(1-4)和(1-5)，将 消去后，可得： (1-

5、7) 应力圆：任一截面正应力与剪应力关系图 确定任一截面上 的 和。 坐标系： 圆 心： 轴上点 半 径：,弹性与塑性力学基础,第一章 应力分析,应力圆,1-1 单向及平面应力状态分析 1.1.3 平面应力状态应力关系 任一截面上 的 和 确定方法： 取任一截面上法向 和 的值。第一主应力截面法向夹角的二倍 2 ，由 轴逆时针旋转，应力圆上对应于2点的轴上的 和 的值。 最大剪应力确定方法：出现于 或 的截面上，即 出现在图中的 的截面上，最大剪应力的值为 。 2=0情况下应力圆：应力圆将切于上，最大剪应力值等于 。 1= 2 =0 的情况下：应力圆将变成一个点，此时在任一截面上将有 =0。,

6、弹性与塑性力学基础,第一章 应力分析,1-1 单向及平面应力状态分析 1.1.3 平面应力状态应力关系 边界同时存在正应力、剪应力情况 如图所示， xx、 ；yy、 任意截面上BC：( ，) 设截面BC的面积A， AC面积为Acos ， AB的面积为Asin 。,弹性与塑性力学基础,第一章 应力分析,边界同时存在正应力、剪应力时斜截面受力图,1-1 单向及平面应力状态分析 1.1.3 平面应力状态应力关系 沿BC面的法线方向力的平衡方程为： 沿BC面的切线方向力的平衡方程为：,弹性与塑性力学基础,第一章 应力分析,边界同时存在正应力、剪应力时斜截面受力图,1-1 单向及平面应力状态分析 1.1

7、.3 平面应力状态应力关系 边界同时存在正应力、剪应力情况; 整理后，得 (1-8) 或 (1-9) 消去 后，则得 (1-10),弹性与塑性力学基础,第一章 应力分析,1-1 单向及平面应力状态分析 1.1.3 平面应力状态应力关系 边界同时存在正应力、剪应力情况 坐标系： 参 数： x、y和xy 圆 心： 轴上点 半 径：,弹性与塑性力学基础,第一章 应力分析,应力莫尔圆,1-1 单向及平面应力状态分析 1.1.3 平面应力状态应力关系 边界同时存在正应力、剪应力情况 主应力状态1、2和0 的确定 剪应力为零时的正应力的值为 (1-11) 根据式(1-9)的第二式，当 =0时， 0则可得

8、(1-12) 式(1-12)也可参照应力圆直接列出。,弹性与塑性力学基础,第一章 应力分析,1-1 单向及平面应力状态分析 1.1.3 平面应力状态应力关系 边界同时存在正应力、剪应力情况 如果0为方程式(1-12)的最小正根， 则其他的根1，2 ，3 ， n ， 可由下式确定 即 (1-13) 当 时，便可确定 =0时，x及y分别获得极值时的值， 即互相垂直的两个主应力值。角0和主应力可以在应力莫尔圆上的确定,弹性与塑性力学基础,第一章 应力分析,1-1 单向及平面应力状态分析 1.1.3 平面应力状态应力关系 边界同时存在正应力、剪应力情况 在(，)平面内，横坐标轴上取 做为圆心, 取 为

9、 或 ，在 及 处取xy 的值 作为纵坐标；在 点， 取xy为正值，得到应力圆的半径CP1，等于,弹性与塑性力学基础,第一章 应力分析,1-1 单向及平面应力状态分析 1.1.3 平面应力状态应力关系 边界同时存在正应力、剪应力情况按式 (1-11)，线段OA和OB表示主应力主应力 1与x轴正向角度0是ACP1之半； 由图也可以看出，最大剪应力 (1-14) 即等于主应力差的一半，并且出现于与主应力截面成/4 的截面上，故可知，实际物体中平面之夹角在应力莫尔圆中所对应的平面间圆心角被放大了一倍。,弹性与塑性力学基础,第一章 应力分析,1-2 三维应力状态分析 1.2.1 任意倾斜面上的应力分量

10、表示方法 从受力物体中取出任一无穷小四面体 三个面与坐标面平行， 第四个面法线n方向余弦是l、m、n。 正应力总是沿着作用面的法线方向 剪应力两个下标说明所在的面 (用外法线方向表示)与作用方向， 例如yx表示剪应力所在面与y轴垂直， 它的方向与x轴平行。,弹性与塑性力学基础,第一章 应力分析,四面体受力图,1-2 三维应力状态分析 1.2.1 任意倾斜面上的应力分量表示方法 作用在四面体四个面上的应力及这些面的面积列于表1-1中。 表1-1 四面体各个面上的应力分布,弹性与塑性力学基础,第一章 应力分析,四面体受力图,1-2 三维应力状态分析 1.2.1 任意倾斜面上的应力分量表示方法 在四

11、面体面上的力作用于相应面的重心上。体积力忽略不计。x轴上力的平衡条件为 (1-15) 平面图形 投影几何 关系有 (1-16),弹性与塑性力学基础,第一章 应力分析,四面体受力图,1-2 三维应力状态分析 1.2.1 任意倾斜面上的应力分量表示方法 将式(1-16)代入式(1-15)便可得到Sx的表达式。 用同样的方法, 可得到Sy、Sz的表达式，即: (1-17) 作用在任意倾斜面上的应力分量可以用作用 在相互垂直的三个面上的应力分量来表示。,弹性与塑性力学基础,第一章 应力分析,四面体受力图,1-2 三维应力状态分析 1.2.1 任意倾斜面上的应力分量表示方法 如果作用在物体表面上的外部载

12、荷用Fx, Fy, Fz 表示, 于是式(1-17)中的Sx,Sy,Sz都换成Fx, Fy, Fz， 即式(1-17)可作为应力的边界条件。 (1-17) 上式中， Fx, Fy, Fz 为作用在物体表面上 的已知面力分量(注意：非集中载荷),弹性与塑性力学基础,第一章 应力分析,四面体受力图,1-2 三维应力状态分析 1.2.2 任意倾斜面上的正应力、全应力S、剪应力 表示方法 设点C是四面体的重心，如果通过C点画一条与z轴平行的轴z，这 时作用在四面体各面的12个分力除两个 应力yx及xy外，或与z轴平行，或通过 z轴.对轴的力矩方程为 由此可得 用相同的方法可以得到,弹性与塑性力学基础,

13、第一章 应力分析,四面体受力图,C,1-2 三维应力状态分析 1.2.2 任意倾斜面上的正应力、全应力S、剪应力 表示方法 受力物体内一点的应力状态，可用三个相互垂直面上的应力分量x，y，z以及xy，yz，zx确定。 即：斜面上正应力、全应力S及 剪应力可由下式确定：,弹性与塑性力学基础,第一章 应力分析,四面体受力图,1-2 三维应力状态分析 1.2.2 任意倾斜面上的正应力、全应力S、剪应力 表示方法 例题1: 设物体内某点的应力状态由如下应力分量确定，即x=0， xy=1，xz =2，y =2，yz=0，z=1，试求通过点作用在其方向余 弦为 的斜面上的正应力、剪应力和全应力。 解： 由

14、式(1-17)，得斜面上全应力的各分量为,弹性与塑性力学基础,第一章 应力分析,1-2 三维应力状态分析 1.2.2 任意倾斜面上的正应力、全应力S、剪应力 表示方法 例题1: 所以， 全应力: 正应力: 剪应力:,弹性与塑性力学基础,第一章 应力分析,1-3 三维应力状态的主应力及应力莫尔圆 1.3.1 主方向、主平面、主应力的概念 主方向：物体内某一方向单元面积上，剪应力等于零，则此方 向称为主方向。 主平面：与主方向相垂直的平面。 主应力：主平面上的正应力, 用p表示。主应力 p与主平面上全应力S为同一应力 因此, 有: (1-19),弹性与塑性力学基础,第一章 应力分析,1-3 三维应

15、力状态的主应力及应力莫尔圆 1.3.2 应力不变量的概念 将式(1-19)代入式(1-17)，整理为 (1-20) 由几何关系可知 (1-21) 根据式(1-20)与式(1-21)可以确定四个未知量l、m、n、p 。,弹性与塑性力学基础,第一章 应力分析,1-3 三维应力状态的主应力及应力莫尔圆 1.3.2 应力不变量的概念 式(1-21)l、m、n不能同时为零。式(1-20)包含三个未知量l、m、n 的线性齐次方程，若有非零解，则方程组系数行列式应等于零，即 (1-22) 展开行列式后，得: (1-23),弹性与塑性力学基础,第一章 应力分析,1-3 三维应力状态的主应力及应力莫尔圆 1.3

16、.2 应力不变量的概念 式中 (1-24) I1、I2、I3分别称为第一、第二和第三应力不变量。 应力不变量的解释： (1) 主应力其大小与方向，在物体形状和引起内力变化因素确定后， 便是 完全确定的，它不随坐标系的改变而变化。 (2) 当坐标变换时，虽然每个应力分量都将随之改变，但这三个量是不变的。,弹性与塑性力学基础,第一章 应力分析,1-3 三维应力状态的主应力及应力莫尔圆 1.3.3 任意方向截面上应力的主应力表达 由式(1-23)可知，主应力有3个，常用1，2，3表示，其中每个主应力作 用面的法线方向与坐标之间夹角的方向余弦可由式(1-20)及(1-21)求出。可以 证明,3个主方向

17、是相互垂直的。 若三个坐标轴的方向为主方向，分别用1、2、3表示。则由(1-18)式可得出 任意斜面上的正应力为： (1-25) 因为此时由式(1-17)有： (1-26),弹性与塑性力学基础,第一章 应力分析,1-3 三维应力状态的主应力及应力莫尔圆 1.3.3 任意方向截面上应力的主应力表达 全应力的平方为 (1-27) 根据式(1-25)、式(1-27)以及式(1-21)，即 主应力平面示意图,弹性与塑性力学基础,第一章 应力分析,1-3 三维应力状态的主应力及应力莫尔圆 1.3.3 任意方向截面上应力的主应力表达 可以求出用 、以及1 、 2 、3 表示的l2、m2，n2，其表达式为

18、(1-28) 主应力平面示意图,弹性与塑性力学基础,第一章 应力分析,1-3 三维应力状态的主应力及应力莫尔圆 1.3.3 任意方向截面上应力的主应力表达 上式中 (1-29),弹性与塑性力学基础,第一章 应力分析,1-3 三维应力状态的主应力及应力莫尔圆 1.3.4 三维应力状态应力莫尔圆 如果设1 2 3，由于l2、m2、n2永远是非负值，所以式(1-28) 中右端的分子和分母应有相同的正负号，在m2的表达式中，由于分 母是负数，所以分子也应当为负数，即 (1-30) 可以将上式写成 (1-31),弹性与塑性力学基础,第一章 应力分析,1-3 三维应力状态的主应力及应力莫尔圆 1.3.4

19、三维应力状态应力莫尔圆 在、 坐标中，式(1-31)取等号后，则表示一个圆的方程式： 半径： ；圆心： 轴上为 ； 正应力和剪应力在以 为半径的圆所围绕的区域之内。 同样由l2和m2表达式， 可得 (1-32),弹性与塑性力学基础,第一章 应力分析,1-3 三维应力状态的主应力及应力莫尔圆 1.3.4 三维应力状态应力莫尔圆 和 应当在以 和 为半径的两个圆围绕区域之外 应力 和 应当在以三个应力圆 所围成阴影所示的范围之内 由应力圆可看出最大剪应力等于 最大和最小主应力值之差的一半 三维应力 莫尔圆,弹性与塑性力学基础,第一章 应力分析,1-4 主剪应力 根据几何关系式（1-21）有 由式（

20、1-18）、式（1-25）及式（1-26）可写出2的表达式 (1-33) 将n2(1-l2-m2)代入，可得： (1-34),弹性与塑性力学基础,第一章 应力分析,1-4 主剪应力 为了求出 的极值，取对l和m的偏导数并令它等于零，有 (1-35) 分别消去(1-3)、(2-3)，可得关于l和m的两个三次方程式： (1-36),弹性与塑性力学基础,第一章 应力分析,1-4 主剪应力 满足上两式的解有如下四种情况： (1) l=0、m0，由式(1-22)可得，n=1，由式(1-34)得 =0。 (2) l0、m0，由式(1-36)的第一式可得 由于(1-3)不等于零，故 由式(1-21)可得,弹

21、性与塑性力学基础,第一章 应力分析,此解代表通过（平行）2并平分1、3 所夹角的平面,1-4 主剪应力 用相同的方法可得 (3) l=0、m=n= (4) n=0、l=m=,弹性与塑性力学基础,第一章 应力分析,此解代表通过（平行）1并平分2、3所夹角的平面,此解代表通过（平行）3 并平分1、2所夹角的平面,1-4 主剪应力 将以上所得到的l、m、n值代入式(1-34)中,得到剪应力的极值 (1-37) 23、31、12满足如下条件 (1-38),弹性与塑性力学基础,第一章 应力分析,1-4 主剪应力 例题 已知物体内某点的应力状态为x=1,xy=2,xz=1,y=-2,yz=-3,z=4。

22、试求应力不变量、主应力和最大剪应力。 解： 由式(1-24)，各应力不变量为 代入式(1-23)，得,弹性与塑性力学基础,第一章 应力分析,1-4 主剪应力 例题 已知物体内某点的应力状态为x=1,xy=2,xz=1,y=-2,yz=-3,z=4。 试求应力不变量、主应力和最大剪应力。 解（续）： 由高等代数学可知，式(1-23)的三次方程的根可以写成 式中：,弹性与塑性力学基础,第一章 应力分析,1-4 主剪应力 例题 已知物体内某点的应力状态为x=1,xy=2,xz=1,y=-2,yz=-3,z=4。 试求应力不变量、主应力和最大剪应力。 解 （续）： 将I1、I2及I3的值代入以上两式可

23、以求得 即 ：,弹性与塑性力学基础,第一章 应力分析,1-4 主剪应力 例题 已知物体内某点的应力状态为x=1,xy=2,xz=1,y=-2,yz=-3,z=4。 试求应力不变量、主应力和最大剪应力。 解（续）： 于是可得： 即 ：,弹性与塑性力学基础,第一章 应力分析,1-4 主剪应力 例题 已知物体内某点的应力状态为x=1,xy=2,xz=1,y=-2,yz=-3,z=4。 试求应力不变量、主应力和最大剪应力。 解（续）：再由式(1-37)，可得最大剪应力 如果想要知道各个主方向的 l, m, n值，可利用式（120）求解。,弹性与塑性力学基础,第一章 应力分析,1-5 正八面体剪应力 (

24、1-39) 等倾面及正八面体 将以上方向余弦的值代入式(1-25)后，则得正八面体的正应力0为 (1-40) 正八面体上的正应力等于三个正应力之和的三分之一 正八面体上的正应力等于平均正应力,弹性与塑性力学基础,第一章 应力分析,1-5 正八面体剪应力 如将式(1-39)代入式(1-33)则得正八面体上的剪应力为 (1-41) 可以用应力第一不变量和应力第二不变量来表示，因为 因此 (1-42) 正八面体上剪应力和正应力均为不变量，可以方便表示材料力学行为 八面体剪应力也可以用主剪应力表示，即 (1-43),弹性与塑性力学基础,第一章 应力分析,1-6 应力张量及应力偏量 1.6.1 张量概念

25、 研究对象的分量由一组坐标系变换到另一组坐标系时按照一 定规律变化，这些分量的集合称为张量。 受力物体上一点的应力状态由三个互相垂直的坐标面上的六 个应力分量或三个主应力来确定，坐标系变换时存在三个应 力不变量，这一组量的集合称为应力张量。,弹性与塑性力学基础,第一章 应力分析,1-6 应力张量及应力偏量 1.6.2 应力张量概念 式中，ij代表应力状态的各个分量， 角标i=x、y或z，j=x、y或z； 重复角标分量xx、yy、zz； 不重复角标分量 xy、xz、yx、yz、zx、zy 已知坐标系(x,y,z)中的应力， 则(x,y,z)中的应力也可以知道， 应力分量是按照一定规律变化。 受力

26、物体某点的应力状态， 不应因选择不同的坐标系而变化， 应力张量有其不变量存在。,弹性与塑性力学基础,第一章 应力分析,1-6 应力张量及应力偏量 1.6.3 应力张量球张量与偏张量 实验背景： 实践中发现三向等压应力并不引起塑性变形 例如：铅在室温下的s约为20MPa 铅块在密闭油缸中加上2000MPa的高压油，卸压后，铅试 样并不呈现显著的塑性变形 应力张量中一部分量对塑性变形不起作用， 一部分量对塑性变形起作用。 主应力空间中，当123时，全应力端点的轨迹为球面， 在任何方向截面上都不存在剪应力。 从塑性变形机理知，无论是滑移、双晶或晶界滑移，都主要是与 剪应力有关。,弹性与塑性力学基础,

27、第一章 应力分析,1-6 应力张量及应力偏量 1.6.3 应力张量球张量与偏张量 应力张量分解成两部分，一部分是反映平均应力(m)大小的球张量， 另一部分就是应力偏量，即 上式写成张量缩写符号 式中 ijKroneker符号，当i= j，=1；ij， =0； kk求和记号，角标用同样母表示并依次取x、y、z相加，即 kk x+y +z,弹性与塑性力学基础,第一章 应力分析,1-6 应力张量及应力偏量 1.6.3 应力张量球张量与偏张量 应力偏量的分量， ，。 应力偏量与应力张量一样，也有三个不变量J1、J2及J3。 式中：I1应力张量第一不变量 I2应力张量第二不变量 I3应力张量第三不变量,