趣味数学049：杨辉三角

1、杨辉三角人教版小学数学五年级下期第115页第10题，涉及著名的“杨辉三角”，对此，教参中已有所介绍。为了提高学生的学习兴趣，加深对“杨辉三角”的理解，增强学生的民族自豪感和爱国热情，下面推荐一个有趣的数学游戏。老师出示一张图(有条件的可以使用多媒体)：宣布：“现在和同学们玩一个有趣的数学游戏。请一位同学在这个图的最下面一行6个圆圈里任意各填一个一位数，我随即在顶端那个圆圈里写一个数。然后，大家按照图中的连线，算出最下面那行相邻两个圆圈里的数的和，填入上一行的圆圈里。自下而上照这样进行下去，直到算出顶端那个圆圈里应该填的数，一定跟我已经填好的数一样。哪位同学愿意试一试？”等那位同学把最下面一行的

2、6个数填好以后，老师迅速算出左起第三、四两个数的和的10倍，加上第二、五两个数的和的5倍，再加上第一、六两个数，得数就是顶端那个圆圈里应该填的数。比如，从左到右，学生所填的数是4、1、8、6、2、3，老师就应该填10(86)5(12)(43)140157162。这是为什么呢？原来，“杨辉三角”中的数是有规律的。11 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1规律是：自上而下，每个圆圈里的数等于与它相连的，上一行圆圈里的数的和。比如，第三行中间圆圈里的数之所以是2，就因为与它相连的第二行两个圆圈里的数都是1，112。依此类推。 游戏相当于把上面的过程倒回去，所

3、以要把圆圈里的数分别乘上1、5、10、10、5、1。等玩过两三次以后，学生一定会急于知道老师是怎样做到未卜先知的，甚至有些爱动脑筋的学生，已经在开始探求其中的奥秘了。这时，可以启发学生用学过的“用字母表示数”的方法，看看最下面那行所填的6个数，在整个计算过程中究竟各用了几次。设：第六行所填的6个数依次为A、B、C、D、E、F。第五行就是AB、BC、CD、DE、EF；第四行就是A2BC、B2CD、C2DE、D2EF；第三行就是A3B3CD、B3C3DE、C3D3EF；第二行就是A4B6C4DE、B4C6D4EF；顶端的数就是A5B10C10D5EF，即10(CD)5(BE)(AF)。从而得出前面

4、所总结出的方法。“杨辉三角”在数学中有着重要作用，同时又具有直观形象的特点，对于培养学生的思维能力很有好处，值得给学生提供一个加深印象的机会。杨辉三角11 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 中还隐藏着许多奥秘：请看这些斜线上的数：自然数 1 三角形数 1 1四面体数 1 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 1010 5 11 6 152015 6 11 7 21 35 35 21 7 1一、自然数：1，2，3，4，求前n个自然数的和，无需使用公式，答案就在第n个自然

5、数的左下方。比如，前4个自然数的和，就在第4个自然数4的左下方，是10。前5个自然数的和，就在第5个自然数5的左下方，是15。依此类推。二、三角形数：1，3，6，10，三角形数就是可以用点“排”成三角形的数。最顶端1个点，下一排2个点，再下一排3个点，再下一排4个点，5个点，6个点所以，三角形数依次是1，123，1236，123410，即1，3，6，10，求前n个三角形数的和，无需使用公式，答案就在第n个三角形数的左下方。比如，前4个三角形数的和，就在第4个三角形数10的左下方，是20。前5个三角形数的和，就在第5个三角形数15的左下方，是35。依此类推。三、四面体数：1，4，10，20，四面

6、体数就是可以用三角形数“垒”成四面体的数。最顶端1个点，下一层3个点，再下一层6个点，再下一层10个点，15个点，21个点所以，四面体数依次是1，134，13610，1361020，即1，4，10，20，求前n个四面体数的和，无需使用公式，答案就在第n个四面体数的左下方。比如，前3个四面体数的和，就在第3个四面体数10的左下方，是15。前4个四面体数的和，就在第4个四面体数20的左下方，是35。依此类推。最让人感到意外的是，“杨辉三角”竟然还与“菲波那契数列”有着密切的关系。请看下图：（图中的斜线可以一直画下去） 1 1 1 1 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 1010 5 11 6 152015 6 11 7 21 35 35 21 7 11 8 28 56 70 56 28 8 1斜线上数的和，依次是1，1，112，123，1315，1438，156113，1610421，171510134，1，1，2，3，5，8，13，21