曹广福教授报告.ppt

1、说 课,广州大学,说课,目前，我们的理工科微积分教学忽略了 几个重要问题：一是忽略了与中学阶段 所学知识的衔接；二是忽略了知识的实 际背景；三是忽略了数学思想。 还是让我们从函数谈起。,说课,1、函数 高中阶段学生就已经学过函数概念，也学 过一点微积分基础知识，不过不客气地说， 学得有点不伦不类，我甚至怀疑我们有些 中学老师对微积分是否真的融会贯通。现 在的中学教材把传统的数学体系弄得支离 破碎。,说课,例如，平面几何基本不成系统，学生没有 了基本的逻辑训练；立体几何采用向量法 ，侧重于计算，学生没有了空间想像能力； 三角函数中一些基本的公式也没有了，学 生无力应对基本的数学运算。另一方面，

2、却将微积分下放到中学。,说课,如果是在过去绝大多数中学生没有机会 上大学的情况下，让中学生们也多少了 解一点微积分思想是可以理解的，可如 今的中学生大多数都要都大学，换句话 说，还得重学微积分，我不知道中学开 设微积分有什么意义！学生真的能理解 并掌握微积分吗？,说课,大学的微积分教学注意到这个问题没有？ 翻开微积分教材，你会看到和几十年前相 比基本没什么变化，还是从函数开始。当 然，函数是微积分的基本研究对象，要讲 微积分自然少不了函数，问题是该如何处 理它们？ 函数需要介绍，但不宜像以往那样将过多 的精力放在各种函数性质的详细阐述上， 因为中学阶段对各种初等函数已经有过比 较详细的介绍。,

3、说课,有些人认为函数部分可以一带而过，我不 这么认为，其一，学生在中学阶段学的函 数同样不成体系，很多重要概念并没有介 绍，其二，学生除了知道抽象的函数概念， 大概谁也说不清函数到底可以用来干嘛， 大学老师无异于在帮中学教师炒夹生饭。 函数理论的介绍不能是中学内容的重复， 而应该是其补充与深化。,说课,以函数的性质为例，我们讨论的函数性质 通常有这样几类： 1、有界性， 2、单调性， 3、奇偶性， 4、周期性。 这些性质中学阶段都已经有过介绍，完全 没必要再做详细讲解，可以简单地复习一 下其定义，最多再作一下简单的图示就可 以了，重要的是要阐述这些性质的重要意 义。,说课,有界的重要性在于：当

4、某个变量发生变化 时，与之相关的量是不是可以控制，我们 甚至可以适当延伸一下，从系统论的观点 阐述一下它的意义，如经济上的敏感性分 析，系统的稳定性分析，本质上都是研究 某个量在某个变化过程中的有界性（只不 过讨论的是导数的有界性）。 单调函数的重要性在于：实际问题中常常 要考察当一个量增长或递减时，与之相应 的量（函数）是否随之增长或递减。这类 问题的例子实在太多了，俯拾皆是。,说课,奇偶函数的重要性在于：当我们清楚了 函数具有奇偶性时，只需要研究自变量 大于零的情形，自变量小于零的情形可 以根据对称性得到。 周期函数的重要性在于：一旦知道了某 个量的变化具有周期性，便可以预测某 种现象何时

5、出现。如天体的运动，海潮 的涨落，季节的交替通常都是有周期性 的。,说课,学生对初等函数再熟悉不过了，你若再作 详细讲解，学生必然会觉得乏味，但初等 函数是微积分研究的最重要对象，所有的 计算都是针对初等函数进行的，略过去显 然是不妥的，问题在于怎么讲。我觉得可 以从数学模型的角度做介绍，如何根据实 际问题建立数学模型呢？通常有如下几步：,说课,（1） 首先我们要根据实际问题选择适当的 自变量和因变量. 这是十分关键的一步，既 要考虑到模型能反映客观现实，又要考虑 到数学处理的方便。 换句话说，我们需要 做一些折衷. 因变量的确定是比较简单的， 常常根据我们要解决的问题便可确定，但 自变量的确

6、定就不那么简单了，通常我们 不可能将与某种现象有关的所有因素都罗 列出来，而是确定影响某种现象的最本质 因素，将之确定为自变量，也就是说，这 样的量足以左右某种现象的变化。,说课,（2） 建立适当的函数关系. 建立函数关系 有两种办法，一是根据某种现象的规律来 建立，如天体的运动遵循牛顿定律，经济 市场的各种现象通常遵循经济规律等等。 二是采集数据再作数据处理，从中发现规 律，通过将数据描点，就可以得到函数的 图像表示，如一些统计图表就是这样得到 的。,说课,（3） 利用数学知识或工具对模型做分析 ，给出该数学问题的解答。微积分就是要 告诉我们如何分析这些数学模型。,说课,（4） 根据对数学问

7、题的解答，作出实际 问题的客观解释。如果一个模型不仅能解 释某种客观现象，还能对这种客观现象的 未来作出比较准确的预测，这就是一个非 常成功的模型了。,说课,在介绍过数学模型后可以则重于介绍各种 初等函数通常在什么样的实际问题中出现， 以多项式的介绍为例，我们可以这样来进 行，首先阐明什么叫多项式，最简单的多 项式是一次函数（也叫线性函数，几何上 代表一条直线），在通过适当的例子解释 这些概念后需要进一步阐明它们的科学意 义。很多实际问题中两个量之间都以线性 关系变化，或近似地以线性关系变化。如 匀速直线运动中，路程是时间的线性函数。 根据物理定律足以建立匀速运动中路程与 时间的函数关系。,说

8、课,有时，也许没有自然定律和法则来帮助我 们建立模型，此时可以利用统计数据在坐 标系中描出它们的点，然后找出一条比较 接近这些数据点的变化趋势的曲线来近似 表达这些数据，这个过程也称为“拟合” （通过例子说明如何做拟合）。当然很多 时候并没有这么幸运，事实上，绝大多数 实际问题并不遵循线性模型，如弹簧的振 动，电磁波的运动等等都不可能通过线性 模型来描述，甚至有时不能用一个简单的 显式函数来表达. 多项式函数可以描述更多 的现象。,说课,实际上，无论是自然科学还是社会科学 研究中，用得比较多的函数是多项式函 数（可以再次举例说明多项式可以描述 什么样的物理或社会现象，例如万有引 力）。其它的初

9、等函数也都可以对应到 一些实际问题。 如果从这样的角度来讲述函数，不仅帮 助学生复习了中学阶段学习过的函数概念， 更重要的是学生知道了函数不仅仅是抽象 的符号与演算。,说课,2、极限 极限是微积分教学中公认的第一个难点， 难在那令人不知所云的定量化的极限语言， 很多数学专业的学生在学完了微积分之后 也不知语言到底在说啥。非数学专业所用 的高等数学中一般对此要求不高，只 要学生能依样画葫芦用语言做简单的证明 即可，只是苦了数学专业的孩子，常常为 此绞尽脑汁也摸不着门道。,说课,极限思想本身并不难掌握，而且现实中也 经常使用“极限”之类的语言，比如“挑战智 力极限”、“发挥得淋漓尽致（或发挥到极

10、致）”、“累死了”等等，相信没有人会对这 些日常用语不理解。然而一旦数学化就让 人有点雾里看花了，似乎数学家们在故弄 玄虚，把一个本来很好理解的东东变得扑 塑迷离。也难怪，当初牛顿对这个东东的 理解也有点似是而非，以至于有人攻击他 的文章中出现的无穷小量像个幽灵般一会 儿不知从什么地方突然冒了出来，一会又 悄无声息地消失得无影无踪。,说课,要真正熟练地使用极限的确需要个过程， 不过为了帮助学生较好地掌握并处理极限 问题，我们还是可以考虑在教学上做点改 进。虽然我们的教材都是先谈极限再谈导 数，但历史上极限问题是伴随着实际问题 产生的，换句话说，谈极限不可能离开导 数或积分的思想，我们在教学中引

11、入极限 概念时也不可能摆脱这些背景。,说课,说到底，所谓极限就是当自变量发生变化 时，因变量（函数）会如何变化？例如， 马路上行驶的汽车其速度通常是不断变化 的，那么如何计算汽车在某个时刻的速度？ 又如，物体从空中落下，将会以加速度向 下坠落，如何求出任一时刻落体的速度？,说课,在阐述这类问题时，我们自然会涉及处理 这些问题时常用的方法：局部地以“常量” 代替“变量”，或者说以“不变”代替“变”、 以“简单”代替“复杂”。这也为后面定义导 数与积分埋下了伏笔。接着可以简单地阐 述一下如何运用这一思想求物体运动的瞬 时速度。中学阶段计算圆的面积也采用了 类似的思想方法，即用园的内接正多边形 的面

12、积（简单）作为圆的面积（复杂）的 近似，当边数越来越多时，多边形的面积 就越来越接近圆的面积了。,说课,我们且别急于给出极限的定量化定义（即 语言），让学生先理解了极限概念再说不 迟，可以这样来给出极限定义： 定义1：设f(x)在a点的附近有定义（在a点 可以没有定义），即在a点的某个去心邻域 内有定义，如果当x越来越接近a点时f(x)越 来越接近于某一个常数A，则称f(x)当 x趋 近于 a时的极限为 A，记作。,说课,学生对这个定义没有任何理解上的困难， 接着可以通过一些例子阐述极限概念。定 义1可以称为极限的定性描述或直观描述， 由这个定义的确可以判断一些函数的极限 是否存在，等于多少。

13、然而在大多数情况 下，并没有这么幸运，有时，凭直觉不仅 难以估计极限是多少，甚至不能判断极限 是否存在，这就需要寻找一种比较科学的 判断方法。,说课,问题的难点恰恰在这个地方，什么是科学 的判断方法？如何自然地引入语言？几乎 所有的教材都是通过具体的例子说明要函 数值与某个值接近到某种程度，自变量需 要与某个值接近到什么程度，可不管你苦 口婆心、口沫横飞地如何解释，学生就是 很难跟着你从具体的例子飞跃到抽象的- 描述。,说课,如何克服这个难点呢？我们可以让学生先 来分析一个具体的问题：假设工人要造一 个球，要求球的体积是V，误差不超过0.1， 请问他如何保证做到不超过这个误差？因 为体积是不可

14、以量的，他唯一能量的是球 的直径。学生自然会想到通过球的体积公 式来确定。我们可以进一步假设，不同顾 客对球的精度要求是不同的，比如甲可能 要求体积误差不超过0.1，乙可能要求体积 误差不超过0.01，工人能满足乙的要求吗？,说课,接着可以用抽象的字母（如）来代表不 同的客户对误差的不同要求，工人如何做 到体积误差不超过？这种具体的例子远 比通过数学上具体的函数来说明更容易让 学生接受。在此基础上不妨再来个具体函 数并结合图像（几何直观是必不可少的） 阐述-语言的思想。有了这些准备工作 之后就可以给出极限的定量化描述了。,说课,总而言之，在讲授极限概念时，宜首先 让学生真正理解极限思想而不是极

15、限的 定量化语言，然后通过直观的例子逐步 诱导出抽象的语言。对于非数学专业的 学生来说，没有必要对使用-语言进 行证明的问题作太高的要求，关键是真 正能理解这一语言。,说课,3、连续函数 极限概念之后紧接着的是函数的连续性 问题，相关的问题有这样两类： 1、连续与间断的定义、间断点的类型； 2、连续函数的性质。,说课,连续函数的概念本身并不难理解，只要理 解了函数极限概念，连续性概念是顺理成 章的事，所以在概念上不需要花大力气， 间断点的类型也好理解。但如果我们据此 认为连续函数的教学很简单就错了，这里 依然有一些难点问题，有些问题甚至是传 统的微积分解决不了的，需要依靠后续的 “实变函数论”

16、才能解决。,说课,例如，如果要一个函数Riemann可积的 话，它最多可以有多少间断点？这个问题 传统的微积分就解决不了。对于非数学专 业的学生来说，他们几乎没有机会接触新 型的积分理论，所以我倒是觉得在这一部 分不妨多说一点，但理论性不可以太强， 否则学生就只能当天书来听了，可以采用 类似科普的方式来讲授。,说课,人们常常把连续函数想像成一个连续不断 的曲线，教材上的例子也大多如此，但如 果我们认为连续函数就是这个样子就大错 特错了，连续函数也可以很古怪，著名的 皮亚偌曲线就是个典型的“病态”连续函 数，因为它的图像充满了一个矩形，换句 话说，这个函数把一个区间映成了一个矩 形，你能想像吗？

17、可它的确存在 。,说课,不过我们没有必要详细介绍这个曲线的构 造，既费时间，学生也未必能真正听懂， 最多可以介绍个大概，然后建议有兴趣的 同学去看看相关的书籍，如分析中的反 例就是本不错的参考书。或许有人认为 对非数学类的学生没必要讲这些，数学专 业的学生都未必讲这个曲线。,说课,我不这么看，我们往往习惯于从正面介绍 种理论，可是反例对于理解一个概念或种 性质常常能起到事半功倍的作用，从一个 角度说，反例是构造者智慧的结，很多正 面的结论我们可以按照逻辑逐步演出来， 而反例通常是反常态的，蕴藏一种奇思妙 想，了解他们既是一种数学赏，对于学生 的智力挖掘也能起到一定作用，历史上很 多重要的反例都

18、是天才造出来的。,说课,函数真的是一个花花世界，千姿百态，绥 阳兄介绍的Weierstrass函数就是个处处连 续处处不可微的函数，而在此之前，即便 是Gauss这样的大家对此也有点茫然。事实 上，一门完整的学科应该是由理论与反例 共同构成的，反例是其中不可分割的一个 组成部分。,说课,再来说间断，不连续自然就是间断了，间 断点的类型每本微积分教材中都有详细论 述，无需我多说，这里想说的是，你除了 知道Dirichlet函数这种极端病态的函数（处 处不连续）外还知道多少间断函数？,说课,我们常常用分段函数来构造间断函数，可 你能说清楚函数有多少可能的间断点吗？ 处处间断已经有了，有限个间断点也

19、很容 易构造，此外呢？你还知道多少？就拿我 们熟悉的数来说吧，有无可能存在在有理 点间断、在无理点连续的函数？存不存在 在无理点间断、在有理点连续的函数？如 果有，你能构造出来吗？如果没有，你能 证明吗？,说课,通过上述几个反例，我们可以进一步展 开，适当介绍一下“实变函数”中的奇异函 数（导数几乎处处等于0的函数），这里可 以先介绍构造，分析它的间断点，待讲了 导数概念后再来阐述它的奇异性，因为奇 异函数是实变函数理论中一类具有代表性 的函数，学生也比较容易理解，它不过是 构造有限个间断点的函数的简单延伸。,说课,当然，关于函数有多少间断点的问题的确 是个很复杂的问题，在微积分教学中不适 合

20、详细追究，但适当介绍典型的反例我认 为是需要的。它可以帮助学生更深刻地认 识连续与间断。,说课,连续函数的性质很丰富，也非常具有实用 价值，高等数学教材中一般只介绍闭 区间上连续函数的性质但不介绍它们的证 明，主要原因是这些性质的证明中用到实 数理论中一个著名原理：有限覆盖原理（其实有限覆盖原理、区间套定理、聚 点原理都是等价的），高等数学教材 中是不介绍这个定理的。然而，这一理论 之重要几乎覆盖了数学的每个领域，学生 不知道实在有点遗憾，我们完全可以采用 直观的方法介绍这一原理，至少学生对区 间套定理在理解上不会有任何难度。,说课,以有限覆盖定理为例，有限覆盖定理对于 任何一个数学专业的学生

21、或老师而言都不 陌生，因为从微积分、实变函数 到微分几何、拓扑、泛函分 析，有限覆盖定理都是一个基本的工具。 然而，有多少学生真正理解了这个定理的 科学意义？又有多少学生真正理解了这个 定理的证明？恐怕要打个大大的问号！先 来看看这个定理是怎么说的。,说课,Borel有限覆盖定理：设F是Rn中的有界 闭集，G=G|是一簇开 集,G包含F,则一定存在G中有限 个开集Gi，i=1，n，使得Gi包 含了F。,说课,如果大家对“有界闭集”这个词不感冒，不 妨把它当作闭区间a，b，一簇开集可以 当作一簇开区间G=（a，b），这样 总理解了吧？用区间的语言重新叙述，上 述定理是说，如果一簇开区间把闭区间

22、a，b盖住了，那么从这些开区间中可以 选出有限个就能把a，b盖住。,说课,这一思想贯穿了数学的众多领域，微分方 程、微分几何、实分析、泛函分析、拓扑 等现代数学分支中经常看到它的身影，它 几乎成了一个放之四海而皆好使的基本方 法，如果将它与单位分解结合起来那就更 是如虎添翼无敌于天下了。,说课,一个貌似平常的定理怎会如此了得？这还 得从微积分说起。微积分的一个基本思想 是“局部地以简单代替复杂”，这是微积分 的灵魂或精髓。例如，微分近似公式是说 局部地用切线代替曲线，积分的分割求和 是说局部地用矩形代替曲边梯形。也就是 说，在某个点的充分小的范围内可以用“熟 悉”的东西代替“不熟悉”的东西。,

23、说课,举例来说，对于定义在某个区间I（可以是 开区间也可以是闭区间或半开半闭的区间） 上的连续函数f，我们可以在区间I中的任一 点x处根据需要作一个小邻域 （x-，x+），如果足够小，f在 （x-，x+）上可近似看作常数或其他 接近f的函数，于是在（x-，x+）上相 应的问题就好解了。,说课,或许有人会说何必这么麻烦，直接将区间 等分不就行了？的确，对于区间而言是可 以那么做的，但如果是一般的有界闭集就 行不通了。换句话说，我们在区间的每一 点附近可以求近似解，问题是最终要求整 体解，如何把这些局部解粘到一起？由于 我们是对每个点x都作了个小邻域（x-， x+），而且对不同的x，可能是不一 样

24、的，这些小区间有无穷多个，你很难找 一个合适的方法把局部解粘成一个整体 解，但如果只有有限个小邻域就好办多了 （数学上有所谓的单位分解就是对付这类 问题的，这里且不作详细介绍）。,说课,问题在于，能否找到有限个小邻域把给定 的区间I盖住？这与I是什么样的区间有关 系，为什么闭区间上的连续函数有着其它 区间上的连续函数所没有的性质（如最大 最小值原理、介值定理等）？根本的原因 正在于此。,说课,既然有限覆盖如此的重要，有限覆盖定理 的重要性自然就不用怀疑了，问题是为什 么“有界闭集”有这种性质而开集未必有？ 有人或许会说：“我也能找到一个开区间的 开覆盖从中可以找到有限的子覆盖”，所谓 性质就是

25、无一例外的一种普适的特征，例 如（-1+1/n,1-1/n）(n=1,2,)肯定盖住了 (-1,1)，但你能找出有限个（-1+1/n，1-1/n） 把（-1，1）盖住吗？有反例就说明它不是 普适的特征。,说课,为什么闭集就有这种特征？这要从区间的 端点说起。我们先感觉一下（考考你的数 学直觉），由于开集簇把闭集盖住了（为 简单起见，仍然假定闭集为闭区间a， b，开集簇为开区间（ai，bi），i=1， 2，）端点a与b分别在某两个开区间 （a1，b1）与（a2，b2）中，将这两个区 间挖掉后留下了b1，a2（运气好的话， 这两个就将a，b盖住了），再次找两个 开区间分别含b1与a2，依此下去能不

26、能经 过有限次将闭区间挖完呢？这取决于找的 这些区间的长度是否趋于零，如果不趋于 零，有限次肯定可以做到，否则大为不妙。,说课,想象往一个圆桶中放“乒乓球”，如果“乒乓 球”的半径是一定的，那么不管圆桶有多 大，最多只能装有限个球，如果“乒乓球” 的半径可以无限小，那么完全可以装无限 个球。我们终于找到了证明这个定理的“瓶 颈”了，接下来的关键是证明：“一定可以 找到一个正数，使得对任意xa，b， （x-，x+）包含在某个开区间 （ai，bi）中”。,说课,连续函数的性质对于方程的求解具有重要 意义，它在理论上保证了我们在进行数值 求解时近似解的收敛性。这里要强调的 是，传统的教学中基本不涉及

27、求近似解的 问题，最多举几个证明方程解的存在性的 例子，然而，对非数学专业的学生来说， 求近似解往往更具有现实意义，所以这部 分应该强化数值计算的教学，最好顺便介 绍如何编制求解程序并上机计算。 由此可见，一个大家平时认为比较简单并 不怎么看重的部分要处理好也不那么容易。,说课,4、导数 作为微积分的重要组成部分，函数的导数 与微分相对于极限及积分要容易处理一些。 很多老师将主要精力放在如何计算函数的 导数与微分问题上，常常忽略了与导数相 关的深刻的数学思想。,说课,在函数的极限部分已经初步接触了导数的 思想（如计算物体运动的瞬时速度等）， 这里可以稍微系统地介绍导数产生的背 景，他对于学生真

28、正理解导数与微分的内 涵有着重要意义。,说课,历史上导数概念的产生源于几何、物理中 几类典型问题： 1、沿直线运动物体的瞬时速度； 2、沿曲线运动物体任意时刻的运动方向（如确定抛射物某个时刻的运动方向）； 3、光的反射； 4、曲线上一点处的切线。 可以通过具体的例子阐述解决这类问题的 一般方法，从中发现他们的共性进而归纳 出导数概念。,说课,换句话说，导数是从许多实际问题中抽象 出来的概念，它摆脱了各种繁锁的实际背 景，以便于我们从纯数学的角度进行研究。 在此可以从方法论的角度适当展开，事实 上导数概念的出现正是一个从特殊现象到 一般规律的成功发现的典范。它告诉我们 如何从各种纷繁复杂的自然现

29、象或社会现 象中发现某种共同的东西，并加以提炼形 成一套普遍适用的理论，再反过来运用于 各种实际问题的研究。,说课,如果我们将导数概念再次运用于实际问题 中，将会发现，诸如功关于时间的变化率 （功率），化学反应中反应物的浓度关于 时间的变化率（反应速度），某种商品的 制造商对每天制造x件产品的成本关于x的 变化率（边际成本）等等重要的量都是这 里所说的导数，可见导数概念是多么重要。 从导数概念的建立可以看到，从特殊到一 般，从具体到抽象的归纳与概括能力是发 现和建立各种理论的一项基本能力。,说课,求导法则的教学没有多少悬念，需要重点 交代的是复合函数的链法则以及隐函数、 含参变量的函数、反函数

30、的求导法则，这 部分需要多做些练习。相对于极限与积分 的计算，导数的计算要相对容易些，学生 只要细心，不会感到太为难。,说课,知道一阶导数，高阶导数自然不难，但要 说清楚为什么要考虑高阶导数，以往老师 们也许不太注意这个问题。可以先从一个 具体的例子开始，在自由落体方程 h=1/2gt2中，g是重力加速度，也就是落体 的速度关于时间的变化率。而速度是落体 的高度关于时间的变化率，于是我们也可 以说，加速度是落体高度关于时间变化率 的变化率。,说课,从几何上看，函数在一点的导数是函数在 该点切线的斜率，如果我们要做近似逼近 的话，那么曲线在一点的切线是在该点附 近最接近曲线的直线，因此只要精确度

31、要 求不高，近似地可以在该点附近用切线代 替曲线，特别是当距离切点很近或曲线弯 曲程度不大时，这种近似还是很有效的。,说课,然而，如果要在更大的范围内用我们熟悉 的特殊函数逼近一般函数，或者在给定的 范围内（这个范围也许较大）逼近一个函 数，线性函数（直线）显然是不能如我们 所愿的， 此时我们可能需要比线性函数更 一般的函数。这就要求我们对函数的特性 作更深入的了解，如曲线是向上还是向下 弯曲？在什么地方拐弯？等等，弄清这些 问题将依赖于函数的更高阶导数。,说课,在函数的高阶导数中已经涉及了一个基本 思想：近似地在曲线上一点的附近用切线 代替曲线，这就是微分的思想。微分思想 对于函数的近似计算

32、是非常重要的，事实 上，设 y=f(x)，若 f(x)在x0 点可导，则其 曲线在 x0 点处的切线方程为 y=f(x0)+f(x0)(x-x0)， （*）,说课,记 f(x)=f(x)-f(x0)为 y=f(x)在x0点附近的 增量，则 f(x)=f(x0)+f(x)， 记x=x-x0，则切线方程可以写作 y=f(x0)+f(x0) x , 于是 f(x)-(f(x0)+f(x0)x)= f(x)-f(x0)x （*）,说课,显然，当x 0时，(*) 式也趋于0 ，不仅如 此，由导数的定义可以看到 f(x)-(f(x0)+f(x0)x)/x=f(x)/x-f(x0)0(x0)。 这说明 (*

33、) 是比x 更高阶的无穷小量。因 此当x很小时，切线与函数曲线的误差也是 很小的，这正是我们对函数进行近似计算 的基础。,说课,也就是说，如果函数y=f(x)在x0点的值容 易计算，但计算其它点处的值是困难的， 则在x0附近，可以用线性函数(*) 来替代 f(x)。紧接着不妨通过几个实际的例子阐述 上述思想，在此基础上引入微分的数学定 义。至于微分运算法则，在找到了导数与 微分的关系之后，这些法则就是很自然的 了。,说课,5、导数的应用 曾经听了一节课，严格说来只有十分钟左 右，因为课堂进行到十分钟时被我打断了。 试讲者讲的是极值问题，主要介绍费马定 理，他是这样开场的：,说课,今天我们要介绍

34、费马定理，费马定理有两 种，一个是费马大定理，即Xn+Yn=Zn在n3时没有整数 解（主讲者简单介绍了一下费马，不过 介绍不到位），不过我们今天要介绍的是 费马定理，不是费马大定理。先来介绍一 下概念（接着主讲者画了个函数图像，写 下了极大值、极小值的概念）。费马定理 是说：如果函数y=f(x)在点x_0的邻域内有 定义，且在该点可导，则当函数在该点有 极值时，有f(x_0)=0。,说课,主讲人写了“证明“两个字并开始边讲边写 证明过程，等到证明快要讲完时被我打断 了。我问了几个问题：“你在一开始讲费马 大定理与后面的内容有什么内在联系？其 次，如果我是学生，我自然会产生这样的 疑问，你为什么

35、要定义极值？你怎么知道 有费马定理的？”,说课,接着我对他说：“如果是我来讲，我可能会 这样讲：现实中常常碰到求最大值与最小 值的问题，例如木工要将一个圆柱形的木 头锯成抗弯强度最大的矩形梁，该怎么 锯？市场上，商家总是追求利润最大化， 但并非价格越高利润越大，因为价格提 高，销量就会减少，如何确定合适的价格 使利润最大？反映到数学上来，就是求函 数的最大值或最小值。,说课,那么，如何求函数的最大值与最小值呢？ 我会画出几种函数的图像，其中最大或最 小值分别在区间的端点或内部取到，通过 对这些图像的分析，我们会发现，最大值 肯定在图像的峰点或端点处取到，然 而，从这些图像可以看出，一个函数的峰

36、 点可能有很多，在峰点处函数有什么特 点？于是极值概念出现了，通过对极值的 进一步分析，我们直觉上会感到，如果函 数在峰点处有切线，则切线应该是水平 的，于是我们猜到了费马定理”,说课,科研对教学的确有帮助，数学是一个发现 问题、分析问题、解决问题的过程，所以 我们的课堂应该围绕着问题展开，如何通 过个别现象的分析提出合适的问题？如何 通过对这些问题的分析建立相关的概念以 及发现解决问题的可能的途径？如何学会 数学猜测？教材是不会教给我们这些东西 的，它需要我们从科研实践中学习。,说课,教学并不像想象的那么简单，如果我们在 课堂上就着书本从概念到定理再到证明， 而对于这些概念、定理的来龙去脉以

37、及如 何发现定理证明的蛛丝马迹无所交代，那 么与让学生自己看书有什么本质差别？我 们要求老师课前要认真备课，并且评估时 还要看老师的备课笔记。笔记能说明什 么？课一定要备在本子上么？备在本子上 就合格了？依我看，真正的备课是琢磨如 何设计合适的问题以及如何通过对这些问 题的分析寻找解决问题的方案进而提出恰 当的概念、发现有规律性的东西并大胆作 出猜测。,说课,记得当初为了迎接本科教学水平评估，我 们进行了比平时要多的教学研讨，有些老 师的课的确讲得不错，但有些老师的课不 尽如人意，而且，课讲得好赖与学历未见 得有必然的关系。有一位博士试讲的内容 是微分中值定理，其讲课的方式与上面提 到的试讲异

38、曲同工。,说课,试讲者单刀直入：“今天我们介绍微分中值 定理，首先介绍罗尔中值定理。”接着，试 讲者写下了罗尔定理，然后就是证明，严 格说来与书本没什么差别。她讲了大概20 分钟左右，被我打断了。这位老师的表达 能力并不差，甚至称得上能说会道，如果 做个有心人，完全可以成为一个好教师， 遗憾的是，从她的试讲至少可以看出两点： “1、她上课尚未入门（尽管她已上过多年 的课）；2、她根本没有认真琢磨课该怎么 上，没有思考科研与教学之间有没有关系， 而是将科研与教学完全割裂了开来”。,说课,我觉得，老师的课如果按教材上的逻辑顺 序进行多半不会成功，因为教材的模式是： 概念定理证明例题。但一门理论的

39、建立过程往往是：现象问题分析猜 测证明，即从某些具体现象中发现问题， 通过对问题的分析建立相应的概念并猜测 一般规律（即定理），然后验证猜测。理 论的建立过程与教科书的阐述过程在逻辑 上往往是反过来的。,说课,换句话说，我们常常是通过观察得到一个 猜测，然后由猜测（结论）出发一步一步 寻找与条件的关系。教师的任务应该是“回 放”定理的发现过程，而不是按教材的逻辑 顺序讲授内容。有些老师觉得，我只要不 用教材上的例题，或者不用教材上的方法 证明某个定理就不是照本宣科了。这是对 照本宣科的误解，你不讲书上的例题或不 用书上的证明未必就不是照本宣科，你完 全采用书上的例题或证明未必就是照本宣 科，关键看你怎么讲。,说课,以微分中值定理为例，教材通常是先介 绍定理及证明（几乎没有任何教材在介 绍中值定理前阐述中值定理的科学意 义），再介绍其几何意义。 我点评道：“要讲清楚微分中值定理，首 先要搞清楚中值定理的科学意义何在， 可以从微分近似公式开始导入，从微分 近似公式的几何意义出发，说明在一点 附近可以用曲线的切线近似代替曲线， 从而得到该点附近函数的近似值。,说课,但微分近似公式有其局限性，只能在给定 点的附近近似，如何在更广的范围内估计 函数值？有两种可能的方案，一个是放弃 线性，用更一般的