材料力学第4章-圆轴扭转_314802849.ppt

1、,第4章 圆轴扭转时的强度 与刚度计算,基础篇之四,材料力学,下一章,上一章,返回 总目录, 圆轴扭转时横截面上的剪应力分析 与强度设计, 圆杆扭转时的变形及刚度条件, 工程中承受扭转的圆轴, 外加扭力矩、扭矩与扭矩图, 结论与讨论,第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算, 剪应力互等定理 剪切胡克定律, 工程中承受扭转的圆轴,第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算,返回,返回总目录,请判断哪一杆件 将发生扭转？,当两只手用力相等时，拧紧螺母的工具杆将产生扭转。,请判断哪些零件 将发生扭转？,传动轴 将产生扭转,请判断哪一杆件 将发生扭转？,连接汽轮机和发电机的传动轴将产生扭转。, 外加扭力矩、扭矩与

2、扭矩图,返回,返回总目录,第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算,作用于构件的外扭矩与机器的转速、功率有关。在传动轴计算中，通常给出传动功率P和转速n，则传动轴所受的外加扭力矩Me可用下式计算：,其中P为功率，单位为千瓦（kW）；n为轴的转速，单位为转/分（r/min）。,如果功率P的单位用马力（1马力=735.5 Nm/s），则,外加扭力矩Me确定后，应用截面法可以确定横截面上的内力扭矩，圆轴两端受外加扭力矩Me作用时，横截面上将产生分布剪应力，这些剪应力将组成对横截面中心的合力矩,称为扭矩（twist moment），用Mx表示。,如果只在轴的两个端截面作用有外力偶矩，则沿轴线方向所有横截面上

3、的扭矩都是相同的，都等于作用在轴上的外力偶矩。,扭矩沿杆轴线方向变化的图形，称为扭矩图(diagram of torsion moment)。绘制扭矩图的方法与绘制轴力图的方法相似。,当在轴的长度方向上有两个以上的外力偶矩作用时，轴各段横截面上的扭矩将是不相等的，这时需用截面法确定各段横截面上的扭矩。,例题 1,圆轴受有四个绕轴线转动的外加力偶，各力偶的力偶矩的大小和方向均示于图中，其中力偶矩的单位为N.m，尺寸单位为mm。,试 ：画出圆轴的扭矩图。,解：1确定控制面,外加力偶处截面A、B、C、D均为控制面。,2应用截面法，由平衡方程,确定各段圆轴内的扭矩,3建立Mxx坐标系，画出扭矩图 建立

4、Mxx坐标系，其中x轴平行于圆轴的轴线，Mx轴垂直于圆轴的轴线。将所求得的各段的扭矩值，标在Mxx坐标系中，得到相应的点，过这些点作x轴的平行线，即得到所需要的扭矩图。, 剪应力互等定理,第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算,返回,返回总目录,根据力偶平衡理论,剪应力成对定理,在两个互相垂直的平面上，剪应力必然成对存在，且数值相等，两者都垂直于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线，这就是剪应力成对定理（pairing principle of shear stresses）。, 圆轴扭转时横截面上的 剪应力分析与强度设计,第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算,返回,返回总目录,应用平衡

5、方法可以确定圆杆扭转时横截面上的内力分量扭矩，但是不能确定横截面上各点剪应力的大小。这是圆截面扭转剪应力分布的超静定性质。为了确定横截面上各点的剪应力，在确定了扭矩后，还必须知道横截面上的剪应力是怎样分布的。回顾超静定结构求解的“三部曲”:,平衡方程+变形协调+物性关系,应力分布,应力公式,变 形,应变分布,变形协调+物性关系+平衡方程,应力分布,应力公式,变 形,应变分布,变形协调+物性关系+平衡方程,假定：圆轴受扭发生变形后，其横截面依然保持平面，刚性地转过一角度。这一假定称为平面假定。,设半径处的剪应变为（），则有如下几何关系（变形协调）：,应力分布,应力公式,变 形,应变分布,变形协调

6、+物性关系+平衡方程,变形协调+物性关系,A,B,C,D,应力分布,应力公式,变 形,应变分布,变形协调+物性关系+平衡方程,静力学方程,变形协调+物性关系+平衡方程,式中 GIP扭转刚度；,IP横截面的极惯性矩。,变形协调+物性关系+平衡方程,应力分布,应力公式,应变分布,变 形,最大剪应力,Wp 扭转截面模量。,截面的极惯性矩与扭转截面模量, = d / D, 对于直径为 d 的实心圆截面, 对于内、外直径分别为d 和 D 的圆环截面,受扭圆轴的强度设计准则,与拉压杆的强度设计相似，为了保证圆轴扭转时安全可靠地工作，必须将圆轴横截面上的最大剪应力max限制在一定的数值以下，即：,这一关系式

7、称为受扭圆轴的强度设计准则，或称圆轴扭转的强度条件。,受扭圆轴的强度设计准则, 为许用剪应力；, max 是指圆轴所有横截面上最大剪应力中的最大者，对于等截面圆轴，最大剪应力发生在扭矩最大的横截面上的边缘各点；,对于变截面圆轴，如阶梯轴，最大剪应力不一定发生在扭矩最大的截面，这时需要根据扭矩Mx和相应扭转截面模量WP的数值综合考虑才能确定。, 圆杆扭转时的变形及刚度条件,返回,返回总目录,第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算,受扭圆轴的相对扭转角,圆杆受扭矩作用时，dx微段的两截面绕轴线相对转动的角度称为相对扭转角,沿轴线方向积分，得到,A,B,C,D,受扭圆轴的相对扭转角,对于两端承受集中扭矩

8、的等截面圆轴，两端面的相对扭转角为：,对于各段扭矩不等或截面极惯性矩不等的阶梯状圆轴，轴两端面的相对扭转角为：,受扭圆轴的相对扭转角,对于承受沿轴线方向均匀分布扭转力偶的圆轴，两端面的相对扭转角为：,受扭圆轴的相对扭转角,单位长度的相对扭转角,在很多情形下，两端面的相对扭矩角不能反映圆轴扭转变形的程度，因而更多采用单位长度扭转角表示圆轴的扭转变形，单位长度扭转角即扭转角的变化率。单位长度相对扭转角为：,受扭圆轴的刚度设计准则,为了机械运动的稳定和工作精度，机械设计中要根据不同要求，对受扭圆轴的变形加以限制，亦即进行刚度设计。,扭转刚度设计是将单位长度上的相对扭转角限制在允许的范围内，即必须使构

9、件满足刚度设计准则或称刚度条件：,对于两端承受集中扭矩的等截面圆轴，刚度设计准则又可以写成：,受扭圆轴的刚度设计准则,其中， 为单位长度上的许用相对扭转角，其数值根据轴的工作要求而定。例如，精密机械的轴 (0.250.5) ()m；一般传动轴 (0.51.0) ()m；刚度要求不高的轴 2 （）m。,受扭圆轴的刚度设计准则,需要注意的是：刚度设计中要注意单位的一致性。上式不等号左边的单位为rad/m；而右边通常所用的单位为()m。因此，在实际设计中，若不等式两边均采用radm，则必须在不等式右边乘以（180）；若两边均采用()m，则必须在左边乘以（180）。, 结论与讨论,返回,返回总目录,第

10、4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算, 圆轴强度与刚度设计的一般过程, 关于公式的应用条件, 开口与闭口薄壁圆环的扭转剪应力, 矩形截面杆扭转时横截面上的剪应力,圆轴强度与刚度设计的一般过程, 根据轴传递的功率以及轴每分钟的转数，确定作用在轴上的外加力偶的力偶矩。, 应用截面法确定轴的横截面上的扭矩，当轴上同时作用有两个以上的绕轴线转动的外加扭力矩时，需要画出扭矩图。, 根据轴的扭矩图，确定可能的危险面以及危险面上的扭矩数值。校核、设计轴的直径以及确定许用载荷。, 计算危险截面上的最大剪应力或单位长度上的相对扭转角。, 根据需要，应用强度设计准则与刚度设计准则对圆轴进行强度与刚度校核，设计轴的直径

11、以及确定许用载荷。,需要指出的是，工程结构与机械中有些传动轴都是通过与之连接的零件或部件承受外力作用的。这时需要首先将作用在零件或部件上的力向轴线简化，得到轴的受力图。在这种情形下，圆轴将同时承受扭转与弯曲，而且弯曲可能是主要的。这一类圆轴的强度设计比较复杂。,圆轴强度与刚度设计的一般过程,此外，还有一些圆轴所受的外力(大小或方向)随着时间的改变而变化。这些问题将在以后的章节中介绍。,关于公式的应用条件,扭转剪应力公式是圆轴在弹性范围内导出的，其适用条件是：,1. 必须是圆轴，否则横截面将不再保持平面，变形协调公式,将不再成立。,关于公式的应用条件,2. 材料必须满足胡克定律，而且必须在弹性范

12、围内加载，只有这样，剪应力和剪应变的正比关系才成立：,二者结合才会得到剪应力沿半径方向线性分布的结论，才会得到反映作用力分布的剪应力公式，即,1. 变形特征翘曲,扭转后，横截面将不再保持平面。,矩形截面杆扭转时横截面上的剪应力,2. 由平衡直接得到的结论,角点剪应力等于零；,边缘各点剪应力沿切线方向。,矩形截面杆扭转时横截面上的剪应力,3. 剪应力分布与剪应力公式,角点剪应力等于零;,边缘各点剪应力沿切线方向;,最大剪应力发生在长边中点。,矩形截面杆扭转时横截面上的剪应力,长边中点处,短边中点处,3. 剪应力分布与剪应力公式,矩形截面杆扭转时横截面上的剪应力, 厚度,4. 狭长矩形截面,矩形截

13、面杆扭转时横截面上的剪应力,由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的切变模量分别为G1和G2，且G12G2。圆轴尺寸如图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。,例 题,G1=2G2,关于横截面上的剪应力分布，有图中（A）、（B）、（C）、（D）所示的四种结论，请判断哪一种是正确的？,G2,G1,开放式思维案例,开放式思维案例,已知承受扭转的圆轴，横截面直径为d，截面上的扭矩为Mx。,如果已经知道横截面上的最大剪应力为max，请问：能不能确定扭矩Mx与最大剪应力max之间的关系？如果能，请写出二者之间关系的表达式；如果不能，请简单说明理由。,开放式思维案例,已知承受扭转的圆轴，横截面直径为d，截面上的扭矩为Mx。,如果在扭矩Mx的作用下，圆轴的变形都是弹性的： （1） 请写出B点的剪应力与扭矩M的关系式； （2） 请采用最