线性代数课件：6-2化二次型为标准形

1、6.2.1 配方法,6.2 化二次型为标准形,，,，,例6.2.1 试用配方法将二次型,化为标准形,并写出所用可逆线性变换.,解 这个二次型含有变量x的平方项,可先将二次型中含x的所有项放在一起配成一个完全平方项,然后再对 y, z进行配方.,，,，,取,即,则通过可逆线性变换,把二次型 f 化为标准形,二次型 f 所对应的矩阵,所做可逆线性变换所对应的矩阵为,容易验证,，,，,例6.2.2 试用配方法将二次型,化为标准形.,解 在这里遇到一个特殊情形,即f中不含平方项.而没有平方项就无法直接应用例6.2.1的配方法.我们可以利用一个特别的线性变换先构造出一些平方项来.令,(6.2.1),，,

2、，,写成矩阵式为,即X = CY.,易见C是可逆阵,从而(6.2.1)可逆线性变换.对 f 作此替换后得,现在可以进行配方:,再令,(6.2.2),得,，,，,即 f 经过变元的线性变换化成了关于变元z1, z2, z3的标准形.,与(6.2.2)式相应的矩阵式为,这样由(6.2.1),(6.2.2)式得到总的线性变换为,即Z=BY.,(6.2.3),即 f 经过可逆线性变换(6.2.3)化成了标准形.其中,，,，,，,记,为 f 对应的矩阵,则,，,，,定理6.2.1 数域P上任意一个二次型f都可由可逆线性变换化为标准形式,证 我们对变元的个数n作归纳法.,当n=1时,二次型为,这已经,是标

3、准形式了.设对于n-1个变元的二次型定理成立,取n元二次型,以下分三种情形进行讨论:,，,，,(1) aii(i=1,2,n)中至少有一个不为0,例如a110,这时可直接施行配方:,，,，,其中,是一个关于变元x2,x3,xn的二次型.,作可逆线性变换,，,，,或,由归纳法假定,其中,得,可由可逆,线性变换化为平方和形式,再令y1=z1,则 f 化成了标准形.,(2) aii(i=1,2,n)全为零,但至少有一个a1j0 (j1). 不妨设a120,令,则,这样,的系数不为零,化成了第(1)种情况,故而可化为标准形.,(3) a11=a12=a1n=0,此时由于系数的对称性必有 a21= a3

4、1= an1= 0 ,从而 f =,已是n-1元的二次型,由归纳,假设它可化为标准形. 证毕.,，,，,根据6.1对二次型矩阵合同关系的讨论,由定理6.2.1立即可得:,推论 数域P上任意一个对称矩阵都必合同于一个对角形矩阵.即对任意对称矩阵A,必存在可逆矩阵C,使CTAC成对角形矩阵.,6.2.3 正交替换法旧瓶装新酒,重温经典时刻: 对于n阶实对称矩阵A,必有n阶正交矩阵Q使,为对角形,其中Q的列向量是A的n个正交的单位特征向量,1,2,n是A的全部实特征值.,乔迁之喜,Q为正交阵时, QT=Q-1 ,QTAQ = Q-1AQ,从而实对称矩阵的正交合同变换与正交相似变换完全是一回事.,把第

5、五章5.3.3中实对称矩阵相似对角化的方法完全照搬过来,就是实对称矩阵的正交合同对角化方法.,I.E. 定理6.2.3 设f =XTAX是实数域R上的二次型,则必有可逆线性变换X=QY使f=YT(QTAQ)Y为标准形,其中的Q是正交矩阵,标准形中平方项的系数是A的全部实特征值.,当Q为正交阵时,称线性变换X = QY为正交线性变换.合同变换QTAQ称为正交合同变换.,诠释学：实二次型必可经正交线性变换化为标准形.而实对称矩阵必可由正交合同变换化为对角形.,正交线性变换之用,在n维实向量空间中,正交线性变换保持向量的长度和向量间的夹角不变.,若一个二次曲面f (x1,x2,x3)=0的左边是实二次型,则经过正交线性变换后所得曲面保持原曲面的大小,形状都不变,仅仅是在空间的位置变化了(如经过某种旋转).而一般的可逆线性变换则可能使曲面的大小、形状都产生变化.,例6.2.4 设实二次型,用正交线性变换化为标准形.,解 f 对应的实对称矩阵为,，,，,由A的特征多项式,，,可得A的特征值1=-1,2=2,其中1是重根.,当1=-1时,解线性方程(-E-A)X=0,求得基础解系,再单位化,得：,先把1,2正交化：