炎德_英才大联考湖南师大附中2018届高三月考试卷

1、理科数学试题(附中版 ) 炎德 英才大联考 湖南师大附中届高三月考试卷(二 )数学 (理科 )命题人：吴锦坤张汝波审题人：黄祖军时量：分钟满分：分第卷一、选择题：本大题共小题，每小题分，共分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .() 已知集合，那么 ()()()()()() 已知是虚数单位，复数满足，则的模是()()() () ()() 下列命题正确的是 ()() (， )，() ()， () ( ) () (， )，【解析】 选项不正确，如取，有. 因为当时，所以选项不正确.当 ()时， () ()，所以选项正确 .由，得或，所以选项不正确. 故选 .() 已知某几何体的三视图

2、如图所示，其中正视图，侧视图，俯视图都是边长为的正方形，则该几何体的表面积为 ()()()()()【解析】 几何体为一个正方体割去了一个三棱锥后所得的几何体，结合数据得：() .() 运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于，则的取值范围为()()()()()【解析】 依次运行程序框图中的语句可得，；，；，.此时结束循环，输出的 ，则 ， ，故选 .() 从一副混合后的扑克牌(张 ) 中随机抽取张，事件为“抽得红桃”，事件为“抽得为黑1 / 8桃”，则概率( ) ()()()()()() 若 (， )称为二次元函数，已知(，) ， 错误 ! 则 ( )的最大值等于 ()()()()() 【

3、解析】 由题意可将题目转化为已知实数，满足的约束条件错误 ! 求的最大值，作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影所示，由图知，当直线经过点()时，取得最大值，为.故选 .() 已知函数 () 是定义在上的奇函数，当时，() .若， ( ) () ，则实数的取值范围为 ()()()()()() 在直角梯形中， ，分别为，的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上变动 (如图所示 ).若 ，其中 ， ，则 的取值范围是 ()()() ()( ， ) (， ) () )【解析】 以为坐标原点， 、分别为，轴建立平面直角坐标系，依题意得() ，() ， ()， ()， ( )，设 ( ， )，依题意 ，即

4、( ， )，错误 ! 两式相减得 ， ， .() 已知函数 ()，把函数 () 的图象向右平移个单位，得到函数 ()的图象，若，是 () 在 )内的两根，则 ( )的值为 ()()()()()【解析】 () ，其中 ， .将函数 ()的图象向右平移个单位，得到 () ( )的图象 .由，是 ()在内的两根，知方程 ( )在内有两个根， 即直线与 ( )的图象在内有两个交点，且，关于直线对称，所以，所以 ( ) .() 若点 (， )为抛物线上一点，过点作两条直线， ，分别与抛物线相交于点和点，连接，若直线，的斜率都存在且不为零，设其斜率分别为， ，则 ()() () ()()【解析】 设点 (

5、，)，(，)，因为点 (，)在抛物线上， 所以， 故直线的方程为，由错误 !得，此方程的两个根分别为，同理可得，化简得，故 . .() 设曲线 ( )在点 (，) 处的切线为，曲线在( ) 在点 (，) 处的切线为 .若存在，使得，则实数的取值范围为 ()() ()() ()【解析】函数 ( )的导数为 ( )，2 / 8的斜率为( )，函数 ( ) 的导数为 ( )由题设有 从而有 ( ) ( ) ( )，存在，得到 ，又 ，令导数大于得 ，故在 ()是减函数，在上是增函数，时取得最大值为；时取得最小值为 . .第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第() ()题为必考题， 每个试题考生都必须作

6、答。第 () ()题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题，本大题共小题，每小题分，共分.() 已知 ( )，且 ()，则的值是.() 若 的内角满足 ，则的最小值是.【解析】 由 得，即， .() 点是直角 斜边上一动点，将直角沿着翻折，使 与 构成直二面角，则翻折后 的最小值是.【解析】 过点 作 于，连结， ，设 ，则有 ， ， .在 中，由余弦定理得 ，在 中，由勾股定理得 ，所以当 时， 取得最小值为 .() 设是双曲线 (，)在第一象限内的点， 为其右焦点， 点关于原点的对称点为，若，设 且 ，则双曲线离心率的取值范围是.【解析】 设左焦点为 ，令，则，所以 .因为，所以，所以，即

7、.又因为 ，于是 得 ).因为 ，所以 ，故 )，故 .3 / 8三、解答题：共分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.()( 本小题满分分)数列中， ，且，.( )设 ，求证数列为等差数列；( )求数列的前项之和.【解析】 ( )由 ，则 ( ) ( ) (常数 )，故 是以为首项，为公差的等差数列分( )由 ( )知，即 ，于是 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ，分故 . 分()( 本小题满分分)如图，四棱锥，底面是直角梯形，底面， 是边长为的等边三角形， .( )求证：平面平面；( )若点为中点，求二面角的余弦值.【解析】 ( )是边长为的等边三角形，底面是直角梯形，又，.又

8、底面，平面， 平面，平面平面分4 / 8( )以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过且与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系，则 (， )， (， )， ()，设平面的法向量为 (， )，则 错误 !取， (， )分为中点，则，设平面的法向量为(， )，则错误 ! 取， 错误 ! 分由 . 二面角的余弦值为分()( 本小题满分分)计划在某水库建一座至多安装台发电机的水电站，过去年的水文资料显示，水库年入流量 (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米 )都在以上，其中不足的年份有年， 不低于且不超过的年份有年， 超过的年份有年 .将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设

9、各年的年入流量相互独立.( )求在未来年中，至多年的年入流量超过的概率；( )水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系：年入流量发电机最多可运行台数若某台发电机运行，则该台发电机年利润为万元； 若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？【解析】 ( )依题意： ()， ( )， ( )，分由二项分布，在未来年内至多一年年入流量超过的概率为： ( ) ( ) ) ；分( )记水电站年总利润为 (万元 ) ，由于水库年入流量总大于，所以至少安装台，情形：安装台发电机：一台发动机运行的概率为，利润

10、， ；分情形：安装台发电机：当时，只能台发电机运行，此时，则 ( ) ( )，当 时，两台发电机运行，此时 ，则 ( ) ( )，故的分布列为：5 / 8从而 ；分情形：安装台发电机：当时，只能台发电机运行，此时 ，则 ( ) ( )，当 时，台发电机运行，此时，则 ( ) ( )，当 时，台发电机运行，此时 ，则 ( ) ( )，从而的分布列为：则 ；分总上分析，要年利润均值最大，应该安装台发电机分()( 本小题满分分)如图，已知椭圆： ()的离心率为，以椭圆的左顶点为圆心作圆： ( ) ()，设圆与椭圆交于点与点 .( )求的最小值，并求此时圆的方程；( )设点是椭圆上异于，的任意点， 且

11、直线， 分别与轴交于， 点，为坐标原点， 求证： 为定值 .【解析】 ( )依题意，得，则，则椭圆方程为：，分显然，点，关于轴对称，不妨设(， )， (， )( )，则 (， (， ) ( )，分而点，在椭圆上，则，则 ( )，又，则时， 取得最小值分此时，所以 取最小值时，圆的方程为() 分( )设 (， )，则直线的方程为：( )，令得，同理可得：，故 分又点，在椭圆上，故( )， ( )，代入 得：，所以，为定值分()( 本小题满分分)已知函数 () ，函数 ()， .( )若曲线 ()与直线相切，证明：() () ；6 / 8( )若函数 ()与 ()的图象有且仅有一个公共点( ，)，

12、证明： .【解析】 ( )设曲线 ()与直线相切与点(，)，则错误 !错误 !，分而点 (， )在曲线 () 上，将点代入得，分令 () () () ( )，则 () ，分当 ()时 ()，函数 () 单调递减，当 (， )时 ()，函数 ()单调递增，故函数 ()的最小值为 () ，即 () () ；分( )() () () ，由题意函数()有且仅有一个零点，因为 ()， () ，则 为() (， )上的增函数，且其值域为，故 在() (， )上有唯一的零点，设为，则当 (， )时 ()，则 () 单调递减，当 (， )时 ()，则 ()单调递增，从而函数 ()在处取得最小值，又函数 ()有

13、唯一零点，则必有，所以： 错误 !错误 !消去整理得：( ) ，令 () ( ) ，显然为其零点，而 () ( )，故 () 在 ()上单调递增，在 ( ， )上单调递减，而 () ， () ，所以 ()在 () 内有且仅有一个零点，在， )内无零点，从而 ()的零点一定小于，即分请考生在第 () () 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。()( 本小题满分分)选修：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为错误 ! (为参数， 为直线的倾斜角). 以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位，建立极坐标系.圆的极坐标方程为 ，设直线与圆交于，两点.( )求圆的直角坐标方程与的取值范围；( )若点的坐标为 ( )，求的取值范围.【解析】 ( )圆的直角坐标方程分把错误 ! 代入得分又直线与圆交于，两点