高等代数课件：第一章 行列式

1、第一章 行列式,本章我们将讨论：,1,方程个数和未知数个数相同，且 系数满足特定条件的线性方程组的求 解，从而得到行列式这个工具.,1. 引言,2. 排列,3. n 阶行列式,5. 行列式的计算,6. 行列式按行（列）展开,7. Cramer 法则,行列式概念的形成,行列式的性质及 计算方法,利用行列式求解 线性方程组,4. n级行列式的性质,第一章 行列式,2,本次课的内容,引言,排列,n阶行列式,3,从最简单的二元线性方程组出发，探索其解的规律,一、 引言,用高斯消元法，先求x1：,4,求 解,5,再求 x2,方程组有唯一解,6,请观察，此公式有何特点？,1、分母相同，由方程组的四个系数确

2、定.,2、分子分母都是两数乘积之差.,7,由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表,数,称为数表（4）所确定的,二阶行列式, 记为,用二阶行列式表示两数乘积之差,二阶行列式定义,8,主对角线,副对角线,对角线法则,二阶行列式的计算,行列式中的相关术语,行列式的元素、行、列、主对角线、副对角线,对角线法则,二阶行列式是主对角线上两元素之积减去副对角线上二元素之积所得的差,9,系数行列式,10,于是,方程组有唯一解,11,例1,解,12,二、三阶行列式,进行高斯消元可以得到：,其中,13,14,15,三阶行列式,定义 设有9个数排成3行3列的数表,原则：横行竖列,引进记号,称为三阶行列式.

3、,主对角线,副对角线,二阶行列式的对角线法则并不适用！,16,观察二阶行列式,不同行不同列2个元素的乘积；,1项为正,1项为负。,2！项的代数和；,17,1.2-全排列及其逆序数,采用先选定百位数 再选定十位数 最后选定个位数的步骤,引例 用1、2、3三个数字 可以组成多少个没有重复数字的三位数？,解,百位数有3种选法,十位数有2种选法,个位数有1种选法,因为3216,所以可组成6个没有重复数字的三位数,321,这6个三位数是,123,132,231,213,312,18,定义1 由1, 2，n 组成的一个有序数组称 为一个 n 级排列。,n级排列的总数 通常用Pn表示,19,例子：2314是

4、一个4级排列；,13245是一个5级排列。,Pnn(n1)(n2) 321 n!,20,例： 12345、 51234、53214都是数1，2，3，4，5 的排列。,自然排列：,按数的大小顺序，由小到大排列。,注意：,n 级排列中，自然排列只有一种,除此之外，任一 n 元排列都一定出现较大数码排在较小数码之前的情况。,定义2 在一个排列中，如果一对数的前后位置 与大小顺序相反，即前面的数大于后面 的数，那么它们就称为一个逆序。,一个排列中的所有逆序的总数叫做这个,排列的逆序数.,21,逆序数为 9,5 4 2 3 1,例: 排列 54231,排列,的逆序数记为,例如排列 54231,5后面比5

5、小的数有4个； 4后面比4小的数有3个； 2后面比2小的数有1个； 3后面比3小的数有1个； 1后面比1小的数有0个. t=4+3+1+1+0=9,5 4 2 3 1,22,逆序数的算法：,例如排列 54231,1前面比1大的数有4个. 3前面比3大的数有2个； 2前面比2大的数有2个； 4前面比4大的数有1个； 5前面比5大的数有0个； t=4+2+2+1+0=9,5 4 2 3 1,23,另一算法：,法1：,法2：,24,计算排列的逆序数的方法：,25,例1：,求排列 32514 的逆序数。,解：,（法1）,（法2）,例2：,求排列 453162的逆序数。,定义3 逆序数为奇数的排列叫做奇

6、排列；,逆序数为偶数的排列叫做偶排列.,26,排列 32514 是奇排列；,排列 435162的逆序数是8，是偶排列。,排列 12 n的逆序数是0，是偶排列。,定义4 把一个排列中某两个数的位置互换，而 其余的数不动，就得到另一个排列。这 样一个变换称为一个对换。,排列2431,对换1, 2,排列1432,排列24531,对换2, 3,排列34521,逆序数4,逆序数3,逆序数5,逆序数6,定理 1 对换改变排列的奇偶性。,27,排列1432,逆序数0,对换2, 4,排列1234,逆序数3,排列2431,对换1, 2,排列1432,排列25431,对换1, 2,排列15432,逆序数4,逆序数

7、0,逆序数7,对换2, 4,排列1234,对换2, 5,排列12435,对换 3,4,排列12345,逆序数3,逆序数5,逆序数1,逆序数0,定理2 任意一个n 级排列与排列12n都可以经过一系列对换互变，并且所做对换的个数与这个排列有相同的奇偶性。,28,观察二阶行列式,不同行不同列2个元素的乘积；,1项为正,1项为负。,2！项的代数和；,29,观察二阶行列式,当行标调成标准排列时,列标排列,逆序数t,1 2,2 1,0,+,-,1,30,三阶行列式,3!项代数和,不同行不同列三个元素的乘积,三项为正,三项为负.,31,三阶行列式,当行标调成标准排列时,列标排列,逆序数t,123,0,+,2

8、31,2,+,312,2,+,321,3,-,213,1,-,132,1,-,32,所以，三阶行列式可以写成,其中 表示对1、2、3的所有排列求和.,二阶行列式有类似规律.下面将行列式推广到一般的情形.,33,1.3 n 阶行列式定义,将n2个数排成 n行n列的数表，,34,n 阶行列式共有 n! 项 每一项都是位于不同行不同列的 n 个元素的乘积 每一项可以写成 （正负号除外），其中 是1, 2, , n 的某个排列. 当 是偶排列时，对应的项取正号； 当 是奇排列时，对应的项取负号.,1.3 n 阶行列式定义,称为n阶行列式, 其中t为列标排列的逆序数。,即,35,说明,1 行列式是一种特

9、定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;,3 一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆.,2 行列式的计算结果是一个数;,36,思考题： 成立吗？,答：符号 可以有两种理解： 若理解成绝对值，则 ； 若理解成一阶行列式，则 .,注意：当n = 1时，一阶行列式|a| = a，注意不要与绝对值的记号相混淆. 例如：一阶行列式 .,a14a23a31a44,a14a23a31a44,a14a23a31a42,a14a23a31a42,例如，四阶行列式,(-1)ta14a23a31a42为行列式中的一项.,表示的代数和中有4!=24项.,a14a23a31a42 取自不同

10、行不同列,的列标排列为4312,所以它不是行列式中的一项.,中有两个取自第四列的元素，,注意: 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,(为奇排列)，,38,主对角线,副对角线,对角线法则,二阶行列式的计算,行列式中的相关术语,行列式的元素、行、列、主对角线、副对角线,对角线法则,二阶行列式是主对角线上两元素之积减去副对角线上二元素之积所得的差,39,三阶行列式的计算,对角线法则,注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.,实线上的三个元素的乘积冠正号， 虚线上的三个元素的乘积冠负号.,40,例2 计算行列式,解,按对角线法则，有,41,例：,写出四阶行列式中含有因子 的项.,解：,和,42,例：,计算行列式,43,解：,其中,44,45,四个结论：,(1) 对角行列式,(2)