理数导数压轴题：极值点偏移问题的不等式解法

1、最新资料推荐极值点偏移问题的不等式解法我们熟知平均值不等式：a,bR2aba2b21ab221ab即“调和平均数”小于等于“几何平均数”小于等于“算术平均值”小于等于“平方平均值”等号成立的条件是 ab .我们还可以引入另一个平均值：对数平均值：abln aln b那么上述平均值不等式可变为：对数平均值不等式a b, ab ，ab a babln aln b2以下简单给出证明：不妨设 a b ，设 abx ，则原不等式变为：x1, 2( x1)ln xx1x1x以下只要证明上述函数不等式即可.以下我们来看看对数不等式的作用.题目 1：（2015 长春四模题）已知函数f ( x)exax 有两个

2、零点 x1x2 ，则下列说法错误的是A.aeB. x1x22C. x1x21D.有极小值点 x0 ，且 x1x22 x0【答案】 C【解析】函数f (x) 导函数：f ( x)exa有极值点 x ln a ，而极值f (ln a) aa ln a0 ， ae ，A 正确 .f ( x) 有两个零点： ex1ax10 ， ex2ax20 ，即：x1ln aln x1 x2ln aln x2 1最新资料推荐-得：x1 x2l n x1l n x2根据对数平均值不等式：x1x2x1x21x1x22ln x1ln x2x1 x2 2 ，而 1x1x2 ，x1x21B 正确， C 错误而 +得： x1

3、x22ln aln x1x22ln a ，即 D 成立 .题目 2：（2011 辽宁理）已知函数 fxln xax2(2a) x .若函数 y f x 的图像与 x 轴交于 A, B 两点，线段 AB 中点的横坐标为 x0，证明： f x00【解析】原题目有 3 问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三问：设 A( x1 , f ( x1 ) ， B( x2 , f ( x2 ) ， x1x2 ，则 x0x1 x2 ，2ln x1ax12(2a) x10 ln x2ax22(2a) x20 -得： ln x1 ln x2 a( x1 x2 )( x1x2 )(2

4、a)( x1 x2 ) 0 ，化简得：1x1x20a(x1x2 )(2 a)ln x1ln x2而根据对数平均值不等式：x1x2x1x2ln x1ln x22等式代换到上述不等式1x1 x21x0 a( x1 x2 ) (2a)22ax0(2a)根据： 2ax0(2 a) x00（由得出）式变为：2ax02(2 a) x01 0(2 x01)(ax01)0 (2 x0 1)0 ， x01， x0 在函数单减区间中，即：af ( x0 )02最新资料推荐题目 3： (2010 天津理 )已知函数 fxxe xxR .如果 x1x2 ，且 fx1fx2 .证明： x1x22.【解析】原题目有 3

5、问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三问：设 f ( x1 )f ( x2 ) c ，则 xx1c ， xx2c ， ( x1x2 ) 两边取对数e 1e 2ln x1x1ln c ln x2x2ln c -得：x1x21ln x1ln x2根据对数平均值不等式x1x2x1x212ln x1ln x2x1x2 2题目4：（ 2014江苏南通市二模）设函数fxexax a a R ，其图象与 x 轴交于A x1,0 B x2 ,0 两点，且 x1x2 .证明： fx1 x20 （ fx为函数 fx的导函数） .【解析】根据题意： ex1ax1a0，ex2ax2a0

6、 移项取对数得：x1ln( x11)ln a x2ln( x21)ln a -得： x1x2ln( x11)ln( x21) ，即：(x11)( x21)1ln( x11)ln( x2 1)根据对数平均值不等式：3最新资料推荐( x11)( x21)(x11)( x21)ln( x11)ln( x211)( x1 1)(x2 1) 1 ln( x1 1)( x21) 0 ， +得：x1x2 2ln a ln( x11)(x21)2ln a根据均值不等式：x1x2x1x2ln a2函数 f ( x) 在 (,ln a) 单调递减 f (x1 x2 )0题目 ：已知函数 f (x)x ln x 与直线 ym 交于A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) 两点 .51求证： 0x1 x2 e2【解析】由 x1 ln x1m ， x2 ln x2m ，可得：x1m ， x2m ln x1ln x2-得：x1x2 m( ln x2 ln x1 )x1x2mln x1 ln x2ln x1ln x2ln x1 lnx2+得：xx2m(ln x2 ln x1 )1ln x1 ln x2根据对数平均值不等式x1x2mx2 )2ln x1( x1ln x2利用式可得：m(ln x1ln x2 )m2ln