367-其他资源-学生作品7-传输现时域终端响应格林函数法与nilt法对比研究_W

1、指导教师评语：陈甜妹（学号：1081230103）和彭茂兰（学号：1081170912）对比研究了格林函数分析法与数值拉普拉斯反变换方法在传输线时域响应分析的不同特性。通过该研究，两位同学对工程电磁场课程中的传输线和电路理论中拉斯反变换理论有了更新一层的认识，达到了理论联系实际的目的，提高了科学研究的兴趣。指导教师：卢斌先， 2013年8月10日该篇论文已在 2011 年 10 月现代电力28 卷第 5 期上发表。传输线时域响应格林函数分析法与数值拉普拉斯反变换方法的对比研究陈甜妹，卢斌先，彭茂兰（华北电力大学高压与电磁兼容北京市重点实验室）Comparison of Green Functi

2、on Method and Numerical Laplace Inverse Transformation forAnalyzing Transient Response of TransmissionLineChen TianmeiLu BinxianPeng Maonan摘要: 本文推导了用格林函数法求解传输线终端响应的节点导纳方程，并介绍了数值拉普拉斯反变换方法（NILT）求解传输线终端响应的基本理论。基于这两种方法，分别对无损终端匹配及有损终端不匹配传输线瞬态电压响应进行了仿真。将两种方法与解析解进行对比分析可知，格林函数方法仿真结果吻合度非常好，误差较小，波形稳定；而数值拉普拉斯反

3、变换的方法，在零点附近有很大的冲击及微弱振荡，在仿真结果后期有明显的衰减，中期的误差近似呈正弦变化，后期误差明显增大，难以反映实际终端响应。通过与解析解比较，不仅验证了基于格林函数方法的正确性，也体现出该方法其更能反映真实值，效果更好。关键词：格林函数；NILT；有损传输线 ；无损传输线zero. Besides, its wave is stabler. But the NILT method has a great impulse and some oscillation near zero point. The error in the middle area seems like as

4、ine wave, but during the later stage, it will risedramaticallyhard to reflect the practical situation.Through the comparison, we prove the correctness and superiority of the Green Function method overNILT method.0. 引言随着电磁频谱的不断扩大，高频的电磁干扰与电磁兼容越来越受到重视。为了更准确分析电磁干扰特征，许多实际电磁兼容问题不得不用传输线模型分析。格林函数1-4、快速傅立叶反变

5、换5和数值拉普拉斯反变换方法（NILT）6-7是两种被频繁使用的暂态响应分析方法。两种方各有优缺点，合理利用这两方方法对正确分析暂态响应和高效分析电磁暂态问题有着重要的影响。本文针对简单的传输线，详细研究了两种分析方法的不同及误差。Abstract: A Green Function method is derived to analyze the terminal response of simple transmission lines. And we also introduce the basic theory of the NILT method. By using the abov

6、e methods, we study two different simple situations: the lossless terminal matched transmission line and the lossy terminal not matched transmission line. The simulation results have good agreement with the analytical solutions. Compared with NILT, the Green Function method ismore accurate and its s

7、imulation error almost tends to格林函数法的公式推导无源的传输线（如图 1 所示）的频域方程为：1.学生作品 7-传输线时域响应格林函数分析法与数值拉普拉斯反变换方法的对比研究dU&u(x,t) = u+ (t) *G- (x, t) + u- (t) *G+ (x, t) （9）&+ ZI = 0dx(1)i(x,t) = 1 u+ (t) *G- (x,t) + u- (t) *G+ (x,t)（10） dI&dx&+ YU= 0Zc其 中 G- (x,t) 为e-g x 对应于时域中的函数，G+R sd = 3 m(x,t) 为eg x 对应于时域中的函数，

8、 G- (x, t) 和G+ (x,t) 即为传输线的格林函数。 x = 0 时得传输线始端电压、电流为：+V o u t ( t )V s ( t )R L-u(0,t) = u+ (t)*G- (0,t) +u- (t)*G+ (0,t)图 1 简单传输线电路模型 1 （11）i(0,t) =u (t)*G (0,t) +u (t)*G (0,t)+-+根据信号理论，时域方程为：Zcu + z(t)*i(x, t) = 0x = d 时得传输线末端电压、电流为： x(2)i u(d,t) =u (t)*G (d,t) +u (t)*G (d,t)+-+ y(t)*u(x, t) = 0x（

9、12）1i(d,t) =u (t)*G (d,t) +u (t)*G (d,t)+-+Zc“*”表示两函数的卷积。方程（1）频域解为：其中d 表示传输线的长度。简单传输线模型如图1 所示，其端接条件为：U& = 1 (U& +1&-g xg xZ I )e+ (U -Z I )e(3)1c 11c 122i(0, t) = vs (t) - u(0, t)U&1U&111&（13）-g xg xI =(+ I )e-(- I )e（4）R112 Zc2 Zcsi(d ,t) = u(d ,t)R L取基函数T (t) 为单位脉冲函数，则（5）、（6）可变为：= 1 (U& + Z I &)(1

10、4)V +（5）1c 12V - = 1 (U& - Z I& )（6）1c 12u+u +Nt上述中（3），（4）可以变为：（15）=T (t - iDt)-uuiU& 1Zci=1= V +e-g x +V -eg x（7）其中t = Nt Dt 。传输线各处电压的表达式为：u(x, t)= u+ (t) * G- (x, t) + u- (t) * G+ ( x, t)NtI& =(V + e-g x -V -eg x )（8）特性阻抗为 Z =Z / Y ，传播常数为c。其中 Z = R + jwL ,(16)g =ZYY = G +-= Dt (u (iDt)G (x, t - iD

11、t)jwC 。 R, G, L, C 分别为传输i=1+u- (iDt)G+ (x, t - iDt)x = 0, x = d ,得到传输线始末两端电压，写成矩阵形式为：线单位长度电阻，电导，电感，电容。对应的时域解为：2学生作品 7-传输线时域响应格林函数分析法与数值拉普拉斯反变换方法的对比研究u(0, t)12p jtV (z)e zdztc + j- v(t) =（21）u(d ,t) （17）对上式中的函数ez 进行Pade 逼近，得到有理函数形式如下：NtG- (0,t - iDt)G+ (0,t - iDt) u+ - i=1 G(d,t -iDt)G (d, t - iDt)u+

12、PN (z)e(z) =（22）进一步整理得：N ,MQ (z)M其中PN（z）和QM（z）分别是 N，M 阶多项式。对上式取其前 M+N+1 阶的泰勒展开G- (0,G+ (0, 0) u(lDt)+Dt -G+D(d ,G (d , 0)u(l t)= u(0, lDt) 式来近似 e ，则可得下式：-z(18)u(d , lDt)N N N+ (M +N - 2)!G (0,lDt - iDt)-G (0,lDt - iDt) u+l -1(M + N)!+ (M + N -1)!2LM ! -N1 - e (z) = i=1 G(d, lDt - iDt)G (d ,lDt - iDt

13、)u+N ,MMMM(M + N)!- (M + N -1)! z + (M + N - 2)! z2 +L+ (-1)M12M 根据式（9）、（10）、（11）、（12）、（18）可得到最终求解电压的矩阵形式:（23） 式(23)中，在 M 和 N 差值很大的情况下，所有的极点均为简单的，为右半平面的数，而左半平面的极点不改变下面的结果。将式（23）带入到式（21）中得到：-1 0 1 0 Dt G- (0,0)DtG+ (0,0)+Dt 1G (0+, 0)ZcDt G (d+,0)Dt G- (d,0)-1 u(lDt)+ 1 u-0Dt G (0,0)Ru(0,lcZs1 1 1 -

14、u(d,lDt)L G+ (0,lDt - iDt) G+(d,lDt -iDt)Dt G-(d,0) c012p jtc + jzV ( )e N ,M (z)dzZZRv(t) =（24）c(19tc - jG- (0,lDt - iDt)G (d,lDt - iDt)0对式（24）利用闭合路径积分的留数定理进行积分计算，为了使圆弧路径不对积分结果有影响， 选取下式中 M 和 N 的值时，要求极点数至少比零点数多两个，且差值为有限个。0 u+l-1 1=-D- G (0+,lDt - iD t) v (lDt)t)t ZG (0,lDt -iDsZ-u R i=1 ccs01ZcG (d,

15、lDt - iDt)+ G-(d,lDt -iDt)-)F (z) = V ( z)et则积分结果为：(z)（25）N ,M通过矩阵求逆，即可求解出传输线始末端电压在各个时刻的值。2.NILT 方法数值拉普拉斯变换方法（即 NILT 法）是采用预先计算的数值方法来得到时域响应6。拉普拉斯反变换的积分公式为：F(z)dz = 2pj (Ki)（26）Ki 为极点对应的留数。上式中，取是正号时， 采用左半平面逆时针闭合路径，负号时用相 反的方法，这种方法的重点在于要求交替的产生包围两个平面的闭合路径。对 NM 时有：v(t) = 1c+ j V (s)esdt s2p jt c- j（20）M K

16、 e N ,M (z) =i（27）其中 s 是拉普拉斯算子，c 是任意正常数，对每一个 V（s）的极点 si 都有 Re(si)C。令 z=st，带入（20）式得z - zi=1i其中 z 是e(z) 的极点， K 是对应于极点的留iN ,Mi数。在右半平面围绕 e N ,M (z) 的极点做闭合路径3学生作品 7-传输线时域响应格林函数分析法与数值拉普拉斯反变换方法的对比研究图 3 NILT 仿真结果积分得，1Mzi表 1 格林函数法和 NILT 方法仿真结果与解析解的比较单位：Vv(t) = -KiV ( t )（28）ti=1时域函数的解可利用上半平面的极点来求解：M 1ziv(t)

17、= -ReK V ()t t（29）ii=13. 实例仿真分析3.1 无损终端匹配传输线终端响应如图 1 所示，传输线各参数值： Rs= 50 ，因为该传输线属于无损终端匹配传输线终端匹配情况，所以传输线始末端电压相等。从仿真结果看，格林函数法和 NILT 法与解析值偏差很小。由于NILT 方法有其明显的弊端，在零时刻附近， 其有很大的冲击值如图 4 所示，并且初期有明显的振荡如图 5 所示。为了便于比较，图 3 的结果是从第 10 个离散点取起的，下面 NILT 方法仿真 结果将按照从第 10 个离散点开始。RL = 50 ，d = 3m ， R = 0/m , G = 0S/m ，C =

18、83.9419 10-12 F/m ，L = 0.20985510-6 H/m，R, G, L, C 表示单位长度电阻、电导、电感、电容。电源为 vs (t) = 100 sin(2p ft)V ， f = 106 HZ 。图 2 和图 3 分别为格林函数法和NILT 方法的仿真结果。取图 2 和图 3 中第三个周波的幅值，并与解析解进行比较，如表 1 所示。85x 102NILT:u20-2-460Green:u1 Green:u2-640-820-100-120123t/s456-6x 10-20图 4 NILT 终端仿真图-40-600123t/s456-6x 10NILT:u254图

19、2 Green 函数法仿真结果5352605121NILT:u2 NILT:u150404948204746045440246t/s81012-20-8x 10-40图 5 图 3 中 1 处的放大图-600123t/s456-6x 104u2/Vu/Vu2/Vu2/V求解方法始端电压幅值终端电压幅值解析法5050格林函数法5050.04NILT50.0449.94学生作品 7-传输线时域响应格林函数分析法与数值拉普拉斯反变换方法的对比研究两种方法的仿真结果其始末端在中期电压几乎重叠，但实际两者之间有很小的相位差， 如图6 所示。Rs = 75W设 图 1 中传 输 线 参数 为 ：,RL =

20、 120 , d = 3m ,单位电阻、电导、电感、电G = 0.05S/m ，容为：R = 12/m,L = 0.20985510-6 s/m C = 83.9419 10-12 F/m，电源电压和 2.1 中所加的一样。仿真结果如图 8所示：5352512502549Green:u1 Green:u2 NILT:u1 NILT:u22048154746104551.81.85 1.91.9522.05 2.12.15 2.2t/sx 10-60-5图 6 图 3 中 2 处放大图-10误差分析：用表示偏差值，用 si 表示解du-15析理论值， u i 表示各个时刻的仿真终端电压值。du

21、= ui - si ，Green 函数法及 NILT 法误差见图7。从图中可以可以看出，NILT 在泰勒展开过程的近似会造成很大的误差，在零点附近有很大的冲击，在仿真到四个波头后，误差明显增大。中间的仿真误差分布近似呈正弦，所以NILT 方法在中期的仿真结果较为准确。格林函数的误差非常小，接近于零。所以从仿真结果的波形及误差上来看，格林函数法有其很大的优越性。-200123t/s456-6x 10图 8 Green 法和 NILT 法响应对比图从图 8 可以看出，格林函数法与 NILT 法的仿真结果在中间的三个波头吻合的非常好。如 3.1 中所述一样，NILT 终端响应在零点附近有大的冲击，在

22、第四个波头后误差明显增大。这里不再重复。取第三个波头的峰值数据及数值计算结果， 见表 2。从表中数据可以看出三种方法的仿真结果相差值非常小。60表 2 格林函数法和 NILT 方法仿真结果与解析解的比 Green:duNILT:du较单位：V40200-20-40-60误差分析的方法同 2.1，误差曲线如图 9 所示，从波形上看，图 7 和图 9 很相似，NILT 误差明显要大于格林函数法，且在第四个波头后误差明显增大。但图 9 中NILT 方法的误差最大值要远小于图 7 中的误差最大值。FFT 方法误差很小， 基本趋于零。-800123t/s456-6x 10图 7 Green 函数法及 N

23、ILT 法误差对比图3.2 有损耗终端不匹配传输线终端响应3.1 的例子是最理想的情况，实际情况下， 传输线一般都是有损耗，而且往往终端是不匹配的，所以本部分将用该方法分析了有损耗终端不匹配传输线的终端响应。5u2/Vdu/Vu/V仿真方法始端电压幅值末端电压幅值解析法17.36542.9812格林函数法17.332.984NILT 法17.392.982学生作品 7-传输线时域响应格林函数分析法与数值拉普拉斯反变换方法的对比研究3 Maio and F.G. Canavero. Transient field coupling and crosstalk in lossy lines wit

24、h arbitrary loadsJ. IEEE Transactions On Electromagnetic Compatibility. 1995,37(4): 599-606.3 NILT Green214 Patric S.Yeung. Lossy transmission lines: time domainformulation and simulation modelJ.IEEE Transaction On Microwave Theory And Techniques. 1993,41(8):1275-1279.0-1-25 卢斌先，衣斌，王泽忠.基于 FFT 的传输线串扰

25、时域相应分析与实验研究J.电波科学学报,2008,23(1).6 Kishore Singhal and Jiri Vlach. Computation of Time Domain Response by Numerical Inversion of the Laplace TransformJ. Journal of The Franklin Institute, 1975, 299(2): 109-112.-3-40123t/s456-6x 10图 9 Green 函数法与 NILT 法误差对比图4.结论本文对格林函数求解终端响应方法进行了推 导，并介绍了数值拉普拉斯反变换法（NILT）。 最后基于以上两种方法对简单无损终端匹配传输 线及有损终端不匹配传输线的终端的响应。从仿 真结果来看，格林函数法与解析解的吻合非常好， 波形稳定，能始终很好地反映实际电压。NILT 方法中期仿真值波形较稳定，与解