平面向量的实际背景及基本概念 教学设计

1、2.1 平面向量的实际背景及基本概念 教学设计高一B7一、教材分析：向量是近代数学最重要和最基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的桥梁，对更新和完善中学数学知识结构起着重要的作用.向量集数与形于一身，有着极其丰富的实际背景，在现实生活中随处可见的位移、速度、力等既有大小又有方向的量是它的物理背景，有向线段是它的几何背景.向量就是从这些实际对象中抽象概括出来的数学概念，经过研究，建立起完整的知识体系之后，向量又作为数学模型，广泛地应用于解决数学、物理学科及实际生活中的问题，因此它在整个高中数学的地位是不言而喻的.本节从物理学中的速度、力等既有大小又有方向的量出发，抽象出向量的概念，并

2、重点说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度(模)、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念.本课包括“章引言”和“平面向量的实际背景及基本概念”两部分，是“平面向量”的概念课，具有“统领全局”的作用.不仅要让学生理解向量的形式化定义及几个相关概念，而且能让学生去体会认识与研究数学新对象的方法和基本思路，进而提高提出问题，解决问题的能力.二、学情分析:在学生的已有经验中，与本课相关的有：知道力、位移、速度等是既有大小又有方向的物理量（矢量），知道可以借助有向线段来求作力的图示；了解数的抽象过程、实数的绝对值（线段的长度）、数的相等、单位长度、0和1的特殊性、

3、线段的平行与共线； 对类比的思想方法有所了解等.虽然学生具备以上的认知基础，但是，由于学生处于高一年级，对于本节课的难点：向量概念的理解及形成过程、零向量、相等向量、共线向量等概念，尤其在思维辨析方面，总体情况可能不是太好.所以在分辨对向量的长度而不是对向量本身进行度量的问题上，适度加以引导和指导.三、教学目标：1知识与技能（1）理解向量的概念；理解数量与向量的区别；掌握向量的表示方法：几何表示、字母表示；（2）理解特殊的向量：零向量、单位向量；理解向量的几种特殊关系：平行（共线）向量、相等向量；揭示向量可以平移这一特性；（3）在学习的过程中，学生的观察、联系、类比、抽象、概括、归纳、实践等方

4、面的能力都能得到一定程度培养和提高.2过程与方法(1) 了解向量概念及其产生的实际背景，让学生经历向量学习的过程，能体会出向量来自于客观现实；(2) 能体会到研究一个新的量的基本套路、能体会认识数学新对象的基本方法；(3) 学生经历向量概念、表示，特殊向量和特殊关系的学习，感受到类比的思想和联系的观点是科学探究中常用的手段.3情感、态度与价值观(1)学生感受向量的概念、方法源于现实放世界，激发数学学习兴趣；经历用有向线段表示向量的操作过程，体会数学的实用性、表达的简洁美；(2) 在体会研究数学问题的基本套路的同时，进而提高提出问题、研究问题的能力.四、教学重、难点：教学重点：理解向量的概念、掌

5、握向量的几何表示、零向量、单位向量、相等向量、平行（共线）向量的概念突出策略：通过教师举例引导，启发学生联系既有经验，主动找寻实际生活中所存在的既有大小又有方向的量，让学生充分感知从而提炼出“向量”的概念；引导学生从向量的两个要素出发，启发学生联想到物理学中表示力的方式，引导学生借助有向线段来表示向量；并进一步启发学生，用类比的思想、联系的观点回忆在学习实数时，0与1的特殊性，从而发现长度（模）为零的向量（零向量），长度为1的向量（单位向量）是特殊的，至于方向，启发学生之间互相争论，让学生主动认识从“方向”的角度去认识平行向量；最后抓住向量的本质属性，理解相等向量、共线向量的概念.教学难点：让

6、学生感受抽象出向量概念的过程，平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系突破策略：通过演示实验抓住向量的内涵：既有大小又有方向；通过出示已经准备好的含有多个向量的PPT，让学生主动探求向量之间的特殊位置关系，用类比的思想、联系的观点，抓住向量的本质属性，启发学生结合图形实物去区分平行向量、相等向量、共线向量等概念；并揭示向量可以平移这一特性.五、教法学法：以学生为学习的主体，师生互动为主线，以问题导学，提高学习效率，探索高效的教学模式.启发式教学：学生在物理学中已经具备了一些感性经验，在生活实际中亦大量存在既有大小又有方向的量.另一方面，向量作为一个全新的概念，需要大量实例的引导、铺垫来抽象出这

7、个概念.教师可采取问题串的方式进行启发式教学,引导学生积极思考,让学生从生活实例中抽象、提炼出向量的概念.讨论、合作学习借助学生已有知识经验，用类比的思想、联系的观点来研究向量,让学生在互相讨论、合作学习的过程之中主动突破难点.在学习了相关概念之后，可以借助多媒体出示相关概念辨析题目，从而立即获取学生学习效果的反馈.六、教学过程：问题设置师生活动设计意图情境引入问题1 同学们，我用12N的力作用于桌面上一个小木块，结果小木块竟然纹丝不动，你们觉着奇怪吗？演示实验：(略)生：观察,思考（可能的回答）不奇怪！师:总结学生观点：力是既有大小又有方向的量，在物理学中叫矢量，为了更好地研究这些物理量,在

8、数学中我们叫向量.板书课题及向量的概念.激活学生的已有知识经验，激发学生数学学习兴趣,引入课题.向量概念的核心是具有方向,使学生体会到方向在一个物理量中的重要意义,为向量的学习作好准备.探究新知问题2 物理学中有很多的“量”，如速度、质量等，你还能列举出一些吗？并分类.探究：数量与向量的区别.两个向量是否可以比较大小？问题3数的概念中,实数与数轴上的点一一对应.类比:向量是否也可以用几何来表示呢? (几何表示和字母表示)生：（可能的回答）质量、温度、力、速度、加速度、位移、路程、密度、电流、压强、功等等.师: （追问）你能将这些物理量进行分组吗? 并总结出这各类物理量的特点.生:讨论、分组、总

9、结师: 引导学生总结：向量（矢量），数量（标量）.生:思考、讨论师:引导学生寻找数学中既能表示大小又能表示方向的符号有向线段.(追问)有向线段是怎么表示向量的大小与方向的呢?生:(可能的回答)线段长度表示向量的大小(模),箭头的指向表示向量的方向.师:介绍用字母表示向量,注意强调与上方和箭头不可不写.通过多个物理量(矢量)抽象出向量的概念,学生在思维过渡上合理、自然，并且与数量概念对比,学生对向量的内涵(既有大小又有方向)会有较深刻的认识.通过类比实数的表示方法，结合向量的概念，最后自觉接受用带有箭头的线段（有向线段）来表示向量. 有向线段能同时表示大小与方向,符合表示向量的需要,让学生进一步

10、体会向量的内涵.数学建构探究 实数中0、1，类比：向量中有与之相对应的向量吗？思考：零向量有没有方向?练习1. 如图2.1-6，试根据图中的比例尺以及三地的位置，在图中分别用向量表示A地至B、C两地的位移，并求出A地至B、C两地的实际距离（精确到1km）练习2.指出图中各向量的长度.IJ练习3.在的方格中有一个向量，分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与相等的向量有多少个？和长度相等的平行向量又有多少个？思考:这15个向量与共线吗？问题4 平行向量也叫共线向量,你将如何理解?判断：与共线,与共线,则与也共线.( )生：讨论 (可能的回答)长度为0的向量，师:反复引导，让学生亲自得出零向量的

11、模为0，方向为任意方向.师：强调零向量作为向量，同样需要具备两个要素（大小、方向），那么，还有特殊的向量吗？生:(可能的回答)长度等于1个单位的向量.生: 解：表示A地至B地的位移，且232km . 表示A地至C地的位移，且296km .师：（追问）向量有怎样的位置关系？生：(可能的回答)平行师：可不可以借助向量概念中的大小、方向对平行进行描述？ 生：讨论、思考（可能的回答）方向相同或相反的向量. 师：(追问)两个向量平行是从方向上对向量关系的刻画，与他们大小有关吗？生：没有.规定： 与任一向量平行.师：如果既考虑方向又考虑长度，向量与向量之间有没有更特殊的关系？生：相等师：(追问)理由是？生

12、：两个向量方向相同，长度相等.师：(追问)两个向量是否相等，取决于？生：大小、方向.师：如果任作一条与向量所在直线平行的直线，并在上任取一点，以为起点作有向线段，使其等于向量，可行吗？生：讨论、思考(保证大小相等，方向相同)师：相当于将向量平移到的位置.，我们也可以把向量平移到直线上。这时候，直线上的两个向量形成了什么关系？生：共线.师：(追问)还是平行向量吗？生：思考引导学生类比实数集合中的特殊元素0，从而想到长度为0的向量.与前面类似，启发学生通过类比的方法，发现单位向量.本例是一个简单的实际问题,要求画出有向线段表示位移,目的在于巩固向量概念及其几何表示.这样过渡学生不会感觉新的概念是从

13、天而降，而是进一步学习的需要适时提醒和加深对向量概念的认识.数学中的规定都有其合理性,适当让学生进行讨论,能使学生认识到数学的严密性与科学性.从大小与方向两个维度,给出两个特殊的向量:零向量、单位向量.几种特殊的关系:相等向量、平行向量、共线向量.帮助学生理清逻辑关系，有利于更好地掌握向量的概念.通过引导，让学生体会并讲出共线向量就是平行向量.与平面几何中直线的平行和共线不一致，有必要帮助学生正确理解.数学应用练习4.概念辨析:1 两个长度相等的向量一定相等相等向量的起点必定相同平行向量就是共线向量若与共线，则 A、B、C、D 四点必在同一条直线上向量与平行，则向量 与的方向相同或相反练习5.

14、如图2.1-10，设O是正六边形ABCDEF的中心,分别写出图中所示向量与相等的量. 变式:(1)与向量长度相等的向量有多少个？(2)与向量共线的向量有哪些？生：思考并回答师：引导学生分析，并鼓励性评价.生:思考并作答师：展台展示，激励性评价.生:思考并作答师：展台展示，激励性评价.本例是对向量概念的考查,可以从概念特征入手,也可以从反面进行考虑.即要判断一个结论不正确,只需举一个反例即可.要启发学生注意这两方面的结合.本例是结合正六边形的一些几何性质,让学生巩固相等向量和平行(共线)向量的概念.归纳总结问题5 你是怎样研究向量的，能理一理本节课所学的知识结构吗?生：师：这节课我们通过对既有大

15、小，又有方向的量（向量）进行了数学的归纳、抽象和定义.围绕这个概念，探究了它的表示及特殊向量零向量、单位向量，特殊关系平行（共线）、相等.实际上，今天我们不仅仅是在探究向量体系的基础，也经历了建立一个数学知识体系的过程，即“归纳共性抽象定义形象表示认识特殊研究一般归纳总结,形成知识结构体系,进一步加深对向量概念的理解.体会研究一个新的数学对象的基本套路、基本方法.作业教科书P77习题2.1A组板书设计 平面向量的实际背景及基本概念一、向量的概念: 三、零向量与单位向量：二、向量的表示: 四、平行（共线）向量：几何表示： 五、相等向量：字母表示： 练习2、练习1、 练习3、七、课后作业：1. 判

16、断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.(1)ABCD中,与是共线向量；(2)单位向量都相等.2. 下列命题正确的是( )A.与共线,与共线,则与也共线；B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点；C.向量与不共线,则与都是非零向量；D.有相同起点的两个非零向量不平行.3. 下列命题中，正确的是( )A|=|=B|=|且= C = D|=04.把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是（ ）A.一条线段 B.一段圆弧 C.圆上一群孤立点 D.一个单位圆5. 设在平面上给定了一个四边形ABCD,点K、L、M、N分别是AB、BC、CD、DA的中点,则

17、.6.根据下列的条件,分别判断四边形ABCD的形状:(1) ; (2).八、向量的发展历程：向量，最初被应用于物理学.很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量.大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到.“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段.最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿.从数学发展史来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家们所认识，直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系. 向量能够进入数学并得到发展，首先应从复数的几何表示谈起.18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数（为有理数，且不同时等于0），并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算.把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题.人们逐步接受了复数，也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样平静地进入了数学中.但复数的利用是受限制的，因为它仅能用于表示平面，若有不在同一平面上的力作用于同一物体，则需要寻找所谓三维“复数”以及相应的运算体系.19世纪中期，