第5节直线、平面垂直的判定及其性质

1、2021新亮剑高考总复习立体几何第八章第5节直线、平面垂直的判定及其性质1磨剑课前自学目录CONTENTS2悟剑课堂精讲3目 录 磨剑课前自学高考动态拓展知识知识查缺补漏磨剑课前自学悟剑课堂精讲目 录4最新考纲考向分析1. 以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理2. 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题1. 线面垂直、面面垂直的判定.2. 线面垂直、面面垂直的证明.3. 线面垂直、面面垂直性质的应用.4. 直线与平面所成的角高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录一、直线与平面垂直1. 定义:如果直线 l 与平面 内的 任意一

2、条直线都垂直,则直线 l 与平面 垂直.2. 判定定理:如果一条直线与一个平面内的两条 相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直.3. 直线和平面垂直的性质平行(1)垂直于同一个平面的两条直线.任一(2) 直线垂直于平面,则垂直于这个平面内的(3) 垂直于同一条直线的两平面 平行.直线.高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录二、直线和平面所成的角1. 平面的一条斜线和它在 平面上的射影 所成的锐角叫作这条直线和这个平面所成的角.2. 当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时,规定直线和平面所成的角分别为 90和 0.三、二面角的有关概念1. 二面角:从一条直线出发的 两个半平面所组成的图形叫作二面角

3、.2. 二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱 的两条射线,这两条射线所成的角叫作二面角的平面角.高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录四、平面1.定义:如果两个平面所相垂直. 直二面角2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面 的 垂线,则这两个平面垂直 性质定理两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 l = 高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录1. 与线面垂直相关的两个常用结论:(1) 两平行线中的一条与平面垂直,则另一条也与这个平面垂直. (2)一条直线垂直于两平行平面中的一个,则与另一个平面

4、也垂直.2. 三种垂直关系的转化:线线垂直线面垂直面面垂直8高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录拓展知识查缺补漏高考动态知识【概念辨析】判断下列结论的正误.(对的打“”,错的打“”)(1) 直线 l 与平面 内的无数条直线都垂直,则 l.(2) 垂直于同一个平面的两平面平行.(3) 若两条直线与一个平面所成的角相等,则这两条直线平行.()(4)若两个平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.()答案解析9目 录拓展知识查缺补漏高考动态知识解析(1)错误.直线 l 与平面 内的两条相交直线垂直,才能得出 l.(2) 错误.垂直于同一平面的两平面可能平行或相交.(3) 错误.这两条直

5、线可能平行,相交或异面.(4) 错误.若两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.10目 录拓展知识查缺补漏高考动态知识【基础1.设 , 是两个不确的是(A).A. 若 l,则 B. 若 ,则 lmC. 若 l,则 D. 若 ,则 lm解析根据面面垂直的判定定理可得 A 正确.答案解析11目 录拓展知识查缺补漏高考动态知识2.已知互相垂直的平面 , 交于直线 l,若直线 m,n 满足 m,n,则().CA.mlC.nlB.mnD.mn解析=l,l.n,nl.答案解析12目 录拓展知识查缺补漏高考动态知识3.在三棱锥 P-ABC 中,点 P 在平面 ABC 中的射影为点 O.外

6、(1)若 PA=PB=PC,则点 O 是ABC 的心;垂(2)若 PAPB,PBPC,PCPA,则点 O 是ABC 的心.解析(1)如图,连接 OA,OB,OC,OP,在RtPOA,RtPOB 和 RtPOC 中 ,PA=PB=PC,所以 OA=OB=OC,即点 O 为ABC 的外心.答案解析13目 录拓展知识查缺补漏高考动态知识(2)如图,延长 AO,BO,CO 分别交 BC,AC,AB 于 H,D,G.因为 PCPA,PBPC,PAPB=P,所以 PC平面 PAB,又 AB平面 PAB, 所以 PCAB,因为 ABPO,POPC=P,所以 AB平面 PGC,又 CG平面 PGC,所以 AB

7、CG,即 CG 为ABC 边 AB 上的高.同理可证 BD,AH 分别为ABC边 AC,BC 上的高,即点 O 为ABC 的垂心.14目 录拓展知识查缺补漏高考动态知识【易错检测】4.“直线 a 与平面 内的无数条直线都垂直”是“直线 a 与平面 垂直”必要不充分的条件.解析根据直线与平面垂直的定义知“直线 a 与平面 内的无数条直线都垂直”不能推出“直线 a 与平面 垂直”,反之则可以推出,所以是必要不充分条件.答案解析15目 录拓展知识查缺补漏高考动态知识5.如图,已知 PA平面 ABC,BCAC,则三棱锥 P-ABC 的各面中,直角三角4形的个数为.解析PA平面 ABC,PAAB,PAA

8、C,PABC,则PAB,PAC 为直角三角形.由 BCAC,且 ACPA=A,BC平面 PAC,从而 BCPC.因此ABC,PBC 也是直角三角形.故三棱锥 P-ABC 的各面中,直角三角形的个数为 4.答案解析1617目 录悟剑课堂精讲考点探究素养达成高考真题磨剑课前自学悟剑课堂精讲目 录考点 1直线与平面垂直的判定与性质例1 如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,PA底面 ABCD,ABAD,ACCD,ABC=60, PA=AB=BC,E 是 PC 的中点. 证明:(1)CDAE;(2)PD平面 ABE.分析(1)要证 CDAE,只需证明 CD 垂直AE 所在的平面 PAC,然后根据线面垂

9、直的判定定理证明;(2)要证 PD平面 ABE,只需证明 PD 垂直 AB,AE,再根据线面垂直的判定定理证明.解析18考点探究素养达成高考真题目 录解析(1)在四棱锥 P-ABCD 中,因为 PA底面 ABCD,CD平面 ABCD,所以 PACD.又因为 ACCD,PAAC=A,PA,AC平面 PAC,所以 CD平面 PAC.而 AE平面 PAC,所以 CDAE.(2)由 PA=AB=BC,ABC=60, 可得 AC=PA.因为 E 是 PC 的中点,所以 AEPC.由(1)知 AECD,且 PCCD=C,PC,CD平面 PCD,所以 AE平面 PCD,而 PD平面 PCD,所以 AEPD.

10、因为 PA底面 ABCD,AB平面 ABCD,所以 PAAB.又因为 ABAD,且 PAAD=A,所以 AB平面 PAD,而 PD平面 PAD,所以 ABPD.又因为 ABAE=A,AB,AE平面 ABE,所以 PD平面 ABE.19考点探究素养达成高考真题目 录方法总结：1.证明直线和平面垂直的常用方法:(1)判定定理;(2)垂直于平面的传递性(ab,ab);(3)面面平行的性质(a,a);(4)面面垂直的性质.2.证明线面垂直的关键是证线线垂直,而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此,判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.20考点探究素养达成高考真题目 录【针对训练 1

11、】已知平面 PAB平面 ABC,平面 PAC平面 ABC,AE平面 PBC,E 为垂足.(1) 求证:PA平面 ABC.(2) 当 E 为PBC 的垂心时,证明:ABC 是直角三角形.解析21考点探究素养达成高考真题目 录解析(1)如图,在平面 ABC 内取一点 D,作 DFAC 于点 F.平面 PAC平面 ABC,且交线为 AC,DF平面 PAC,PA平面 PAC,DFPA.作 DGAB 于点 G.平面 PAB平面 ABC,且交线为 AB.DG平面 PAB,PA平面 PAB,DGPA.又 DG平面 ABC,DF平面 ABC,PA平面 ABC.(2)连接 BE,并延长交 PC 于点 H.E 是

12、PBC 的垂心,BEPC. 又 AE平面 PBC,AEPC.AE平面 ABE,BE平面 ABE,且 AEBE=E,PC平面 ABE,PCAB.又 PA平面 ABC,PAAB,AB平面 PAC,ABAC,即ABC 为直角三角形.22考点探究素养达成高考真题目 录考点2例 2平面与平面垂直的判定与性质如图,在四棱锥 P-ABCD 中,ABAC,ABPA,ABCD,AB=2CD,E,F,G,M,N 分别为 PB,AB,BC,PD,PC 的中点.求证:(1) CE平面 PAD;(2) 平面 EFG平面 EMN.分析(1)取 PA 的中点 H四边形 DCEH 是平行四边形CEDH根据线面平行的判定定理可

13、证;(2)先证明 ABEF,ABEGAB平面 EFG,且 MNABMN平面 EFG平面 EFG平面 EMN.解析23考点探究素养达成高考真题目 录解析(1)如图,取 PA 的中点 H,连接 EH,DH.E 为 PB 的中点,H 为 PA 的中点,EHAB,且 EH=1AB.2又 ABCD,且 CD=1AB,EHCD,2四边形 DCEH 是平行四边形,CEDH.又 DH平面 PAD,CE平面 PAD,CE平面 PAD.(2)E,F 分别为 PB,AB 的中点,EFPA.又 ABPA,且 EF,PA 共面,ABEF,同理可证 ABFG.又 EFFG=F,EF平面 EFG,FG平面 EFG,AB平面

14、 EFG.M,N 分别为 PD,PC 的中点,MNDC. 又 ABDC,MNAB,MN平面 EFG.又 MN平面 EMN,平面 EFG平面 EMN.24考点探究素养达成高考真题目 录方法总结：1.证明平面和平面垂直的方法:(1)面面垂直的定义;(2)面面垂直的判定定理.2.已知两平面垂直时,一般要用性质定理进行转化,在一个平面内作交线的垂线,转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.25考点探究素养达成高考真题目 录【针对训练 2】在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=AB,AB1B1C1. 求证:(1)AB平面 A1B1C;(2)平面 ABB1A1平面 A1BC.解析26考点

15、探究素养达成高考真题目 录解析(1)在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,ABA1B1.因为 AB平面A1B1C,A1B1平面 A1B1C,所以 AB平面 A1B1C.(2)在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,四边形 ABB1A1 为平行四边形. 又因为 AA1=AB,所以四边形 ABB1A1 为菱形,所以 AB1A1B.又因为 AB1B1C1,BCB1C1,所以 AB1BC.又因为 A1BBC=B,A1B平面 A1BC,BC平面 A1BC,所以 AB1平面A1BC.因为 AB1平面 ABB1A1,所以平面 ABB1A1平面 A1BC.27考点探究素养达成高考真题目 录考点

16、3平行与垂直关系的综合应用例 3如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D,E 分别为 AB,BC 的中点,点 F 在侧棱 B1B 上,且 B1DA1F,A1C1A1B1.求证:(1)直线 DE平面 A1C1F; (2)平面 B1DE平面 A1C1F.分析(1)要证直线 DE平面 A1C1F ,只需证明DEAC,然后根据平行线的传递性证明;(2)证明面面垂直转化为证明线面垂直,即证 B1D平面A1C1F.解析28考点探究素养达成高考真题目 录解析(1)在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,A1C1AC.在ABC 中,因为 D,E 分别为 AB,BC 的中点,所以 DEAC,于是 DEA1C

17、1.又因为 DE平面 A1C1F,A1C1平面 A1C1F,所以直线 DE平面 A1C1F.(2)在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,A1A平面 A1B1C1.因为 A1C1平面 A1B1C1,所以 A1AA1C1.又因为 A1C1A1B1,A1A平面 ABB1A1,A1B1平面 ABB1A1,A1AA1B1=A1,所以 A1C1平面 ABB1A1.因为 B1D平面 ABB1A1,所以 A1C1B1D.又因为 B1DA1F,A1C1平面 A1C1F,A1F平面 A1C1F,A1C1A1F=A1,所以 B1D平面 A1C1F.因为直线 B1D平面 B1DE,所以平面 B1DE平面 A1C1F.

18、29考点探究素养达成高考真题目 录方法总结：1.平行关系之间的转化在证明线面、面面平行时,一般遵循从“低维”到“高维”的转化,即从“线线平行”到“线面平行”,再到“面面平行”;而在应用性质定理时,其顺序恰好相反,但也要注意,转化的方向是由题目的具体条件而定的,不可过于“模式化”.30考点探究素养达成高考真题目 录2.垂直关系之间的转化在证明线面垂直、面面垂直时,一定要注意判定定理成立的条件.同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系,即:在证明两平面垂直时,一般先从现有的直线中寻找平面的垂线,若这样的直线在图中不存在,则可通过作辅助线来解决.31考点探究素养达成高考真题目 录【针对训练 3】如图,

19、在以 A,B,C,D,E,F 为顶点的多面体中,AF平面 ABCD,DE AF,ADBC,AB=CD,ABC=60, BC=2AD.(1) 请在图中作出平面 DEG,使得 BF平面 DEG,并说明理由.(2) 证明:AC平面 ABF.解析32考点探究素养达成高考真题目 录解析(1)如图,取 BC 的中点为 G,连接 DG,EG,则平面 DEG 为所求平面.理由如下:BC=2AD,ADBC,ADBG 且 AD=BG,四边形 ABGD 是平行四边形,ABDG.AB平面 DEG,DG平面 DEG,AB平面 DEG.AFDE,AF平面 DEG,DE平面 DEG,AF平面 DEG.AF平面 ABF,AB

20、平面 ABF,且 ABAF=A,平面 ABF平面 DEG.BF平面 ABF,BF平面 DEG.33考点探究素养达成高考真题目 录(2)由(1)知四边形 ABGD 是平行四边形,则 AB=DG,DGC=ABC=60,AB=CD,CDG 是正三角形.ADC=120, ACD=CAD=ACB=30,BAC=90, 即 ACAB.AF平面 ABCD,AC平面 ABCD,ACAF.AF平面 ABF,AB平面 ABF,ABAF=A,AC平面 ABF.34考点探究素养达成高考真题目 录考点 4平行与垂直中的探索性问题例 4如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PC平面 ABCD,ABDC,DCAC.(1) 求证

21、:DC平面 PAC.(2) 求证:平面 PAB平面 PAC.(3) 设点 E 为 AB 的中点,在棱 PB 上是否存在点 F,使得 PA平面 CEF?说明理由.分析(1)(2)根据线面、面面垂直的判定定理证明;(3)根据 E 为 AB 的中点,猜测 F 是 PB 的中点,然后说明理由.解析35考点探究素养达成高考真题目 录解析(1)因为 PC平面 ABCD,DC平面 ABCD,所以 PCDC.又因为 DCAC,且 PCAC=C,所以 DC平面 PAC.(2) 因为 ABDC,DC平面 PAC,所以 AB平面 PAC.又 AB平面 PAB,所以平面 PAB平面 PAC.(3) 在棱 PB 上存在

22、点 F,使得 PA平面 CEF.理由如下:取 PB 的中点 F,连接 EF,CE,CF,如图所示.因为 E 为 AB 的中点,F 为 PB 的中点, 所以 EFPA.又因为 PA平面 CEF,且 EF平面 CEF,所以 PA平面 CEF.36考点探究素养达成高考真题目 录方法总结：解决平行与垂直中的位置探索性问题,一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明,满足条件的点多为中点或三等分点,也可以根据相似的知识确定点.37考点探究素养达成高考真题目 录【针对训练 4】如图,O 的直径 AB=4,点 C,D 为O 上两点,且CAB=45, F 为 的中点.将上半圆沿直径 AB 折起,使两个半圆所在平面

23、互相垂直(如图).(1) 求证:OF平面 ACD.(2) 在 AD 上是否存在点 E,使得平面 OCE平面 ACD?若存在,试指出点 E 的位置;若不存在,请说明理由.解析38考点探究素养达成高考真题目 录解析(1)由CAB=45, 知COB=90,又因为 F 为 的中点,所以FOB=45, 因此 OFAC.又 AC平面 ACD,OF平面 ACD,所以 OF平面 ACD.(2)存在,E 为 AD 中点.因为 OA=OD,所以 OEAD.又 OCAB,且两半圆所在平面互相垂直,所以 OC平面 OAD.又 AD平面 OAD,所以 ADOC.因为 OEOC=O,且 OE平面 OCE,OC平面 OCE

24、,所以 AD平面 OCE.又 AD平面 ACD,所以平面 OCE平面 ACD.39考点探究素养达成高考真题目 录数算等体积法求点到平面的距离(1)证明线面垂直的关键是证明线线垂直,而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质;(2)用等体积法求点到平面的距离时,通过换顶点和底面转化为底面积和高易求的锥体体积是关键.40考点探究素养达成高考真题目 录例如图,在直三棱柱 ABC-DEF 中,底面 ABC 的边 ABBC,且 AB=BC=2.点G,H 在侧棱 CF 上,且 CH=HG=GF=1.(1) 证明:EH平面 ABG;(2) 求点 C 到平面 ABG 的距离.解析41考点探究素养达成高考真题目 录解

25、析(1)ABC-DEF 是直三棱柱,FC平面 ABC.又 AB平面 ABC,FCAB.又ABBC,BCFC=C,AB平面 BCFE.又EH平面 BCFE,ABEH.由题设知EFH 与BCG 均为直角三角形,EF=2=FH,BC=2=CG,EHF=45, BGC=45.设 BGEH=P,则GPH=90, 即 EHBG.又 ABBG=B,EH平面 ABG.=1ABBC=2.(2)AB=BC=2,ABBC,SABC2CG平面 ABC,VG-ABC=1S ABCCG=4.33ABG=1ABBG=2 2.由(1)知 ABBG,CG=2=BC,BG= 2 + C2= 22+ 22=2 2,S2设点 C 到

26、平面 ABG 的距离为 h,则 VC-ABG=1S ABGh=2 2h=VG-ABC=4,h= 2.333即点 C 到平面 ABG 的距离为 2.42考点探究素养达成高考真题目 录【突破训练】已知三棱锥 A-BCD 中,ABC 是等腰直角三角形,且 ACBC,BC=2,AD平面 BCD,AD=1.(1) 求证:平面 ABC平面 ACD.(2) 若 E 为 AB 的中点,求点 A 到平面 CED 的距离.解析43考点探究素养达成高考真题目 录解析(1)因为 AD平面 BCD,BC平面 BCD,所以 ADBC.又因为ACBC,ACAD=A,所以 BC平面 ACD.又 BC平面 ABC,所以平面 A

27、BC平面 ACD.(2)由已知可得 CD= 3,如图,取 CD 的中点为 F,连接 EF,由于 ED=EC=1AB= 2,所以ECD 为等腰三角形,2从 而 EF= 5,S= 15.由(1)知 BC平面 ACD,所以点ECD24= 3,设点 A 到平面 CEDE 到平面 ACD 的距离为 1,SACD2的距离为 d,有 VA-ECD=1SECDd=VE-ACD=1SACD1, 解得33d=2 5.544考点探究素养达成高考真题目 录1.(2019 年全国卷)如图,点 N 为正方形 ABCD 的中心,ECD 为正三角形,平面 ECD平面 ABCD,M 是线段 ED 的中点,则( BA.BM=EN

28、,且直线 BM,EN 是相交直线B.BMEN,且直线 BM,EN 是相交直线C.BM=EN,且直线 BM,EN 是异面直线D.BMEN,且直线 BM,EN 是异面直线).解析设正方形 ABCD 的边长为 2,过点 E 作 EODC 于点 O,连接 CM,ON,则 ON=1,CM=EO= 3,由题意可证 EOON,BCCM,所以 EN=2,BM= 7,连接 BD,因为 N 为正方形的中心,所以 B,N,D 三点在同一条直线上,答案因为直线 ED 与直线 BD 共面,所以直线 BM,EN 相交.解析45考点探究素养达成高考真题目 录2.(2019 年全国卷)已知ACB=90, P 为平面 ABC 外一点,PC=2,点 P 到ACB 两边 AC,BC 的距离均为 3,那么 P 到平面 ABC 的距离为 2.解析作 PO平面 ABC,垂足为 O,PECB,