5-9节生物、心理、药学、中药第2章随机变量及其分布

1、 二维随量在实际问题中，可能遇到多个随量的情形，如：1) 射击问题中,对于弹着点往往需要横坐标和纵坐 标描述;2) 研究学龄前儿童的发育情况，观察身高,体重等;3) 具体评价产品的质量,可能有多个评价指标如尺 寸,外形,外包装等.2018/10/11 二维随量及其分布函数1）定义：设 E 是一个随机试验，它的样本空间是S=e， 设 X=X(e) 和 Y=Y(e) 是定义在 S 上的随量。由它们构成的一个向量 (X, Y) ，叫做二维随机向量，或二维随量。eX(e)SY(e)2018/10/12 注 意 事 项(1) 我们应把二维随量(X，Y ) =(X (e)，Y (e)( e S )看作一个

2、整体，因为X 与Y之间是有联系的；(2)在几何上，二维随量(X， Y )可看作平面上的随机点2018/10/13 二维离散随量1. 二维离散随量的联合分布律定义 若X, Y均为离散随量，则 (X,Y ) 为二维离散随量,且( X,Y )的所有可能取值为( xi , y j )(i, j = 1,2,L)则称pi j= PX = xi ,Y = y j (i, j = 1,2,L)为(X，Y)的分布律或联合分布律.2018/10/14 XYy1p11p21x1 x2Mxipi1My212pp22pi 2LyjLpp21 jjpij其中 pij满足(1)pij 0,(i,j = 1,2,L);(2

3、) pij= 1.i =1 j=12018/10/15 例1 一枚硬币一面刻有数字1，另一面刻有数字2. 将硬币抛两次，以X表示第一次、第二次出现的 数字之和.以Y表示第一次出现的数字减去第二次出 现的数字，求（X,Y）的分布律，P(X+Y2).解： 所有样本点(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)=1 ,XY4-1011), (4, 0)201/401 31/401/4+ P=3322 401/406对应的X取值为：2， 3，3，4 Y取值为：0，-1，1，0P( X=i, Y=j )P2(i, j ) (2, 0), (3, -1), (3,P( X+ Y2018/10/12)=

4、二维连续随量1. 二维连续随量定义 设X, Y均为连续随量，若存在非负函数f(x,y),使得对于xOy平面上的任意区域 G有P(X ,Y ) G = Gf (x,y)dxdy则称( X ,Y )为二维连续型随量，f (x, y)称为联合密度函数(简称联合概率密度).2018/10/17 联合概率密度的性质：10f( x,y) 0 ;20-f ( x,y)dxdy= F (, )= 1 ;另外， 若f( x,y)在点(x,y) 连续，则有 2 F ( x, y) =xyf ( x,y).f (x, y)n 几何解释这个公式非常重要！P( X ,Y ) G = Gf ( x,y) dxdy.yG随

5、机的概率=曲顶柱体的体积x2018/10/18 pip1 p2MpiM二维离散型R.v.的边缘分布YXy1y2y jx1p11x2p21p12p22p1 jp2 jMMMMxipi1pi 2pijp jp1p2p jMMMMX的边缘分布P(X= xi )= jpij =pi (i= 1,2,L)Y的边缘分布P(Y= yj ) = ipij=p j ( j= 1,2,L)2018/10/19 例1设二维随量（X, Y）的联合概率分布如下XY0123010/506/504/501/5019/5010/503/50025/502/5000XY0123pi .010/506/504/501/5021/

6、5019/5010/503/50022/5025/502/50007/50p. j24/5018/507/501/501求随量X与Y的边缘概率函数。解：2018/10/110 二维连续随量的边缘分布二维连续型随量(X， Y )的联合密度函数为f( x,y),则随量 X、Y的边缘密度函数：f X (x) =fY (y) =+ f (x，-+ f (x，-y)dyy)dx2018/10/111 同理，由YF(y)=PYy=P(-X+ ,Yy)y+()= fx， vdx dv- -+得fY(y) = f (x，-y)dx2018/10/112 相互独立的随量定义 . 设X,Y是两个随量，若对于任意实

7、数a,b(ab),c,d(cd), 有P(aXb, cY d)= P(aXb) P( c 0, x 012X11X2290,12x其他.2=12dx2P(X1 + X21)=D f(x1,x2 )dx1dx2x1 + x2 =111- x1 - x /31- x1 - x /3D=dx11 e-( x1 + x2 )/3dx01 0920 303ox11 edx11 e0312110=1 1 e- x/3dx(-e- x/3 ) |1- x= 11 (e- x1 /3 - e-1/3 )dx= 1-4 e-1/33 0132018/10/116 随量函数的分布一、一维随量函数的分布例1 设随量

8、X的分布律如下，X-2123pk0.30.20.10.4求Y=X2-1的分布律解：Y的所有可能取值为0,3,8P(Y= 0) =P( X= 1)= 0.2P(Y= 3) =P( X= -2) +P( X= 2)= 0.3 + 0.1 =0.4P(Y= 8) =P( X= 3)= 0.42018/10/117 例2. 一提炼纯糖的生产过程，一天可生产纯糖1吨，但由于机器损坏和减速，一天实际产量X是一个随量,设X的概率密度为2x, 0 x 1f X (x) = 0,其他一天的利润Y=3X-1，Y也是随量，求Y的概率密度。解：分别记X，Y的分布函数为FX (x),FY ( y)当X 0,1时，Y -

9、1,2当y 2时，FY( y) = 1= P( X y +1)=概率密度为= 2(+) 1，1 y 2y1330, 其他3F( y +1)X3将FY ( y)关于y求导数，得Y的2( y +1)f( y) = F( y) = f( y +1)( y +1 = 9，-1 y 2YY2018/10/1X33)0, 其他18 例3. 设随量X在区间(0,1)上服从均匀分布，(1) 求随量Y=eX的概率密度;解: (1)因为X在(0, 1)上取值，所以Y=eX在(1，e)上取值。 当y 1时，FY（y）= P(Y y) = 0;当1 y e时，FY（y）=P(Y y) =P(e X y)= P( X

10、lny) =FX (ln y)当y e时，FY（y）=P(Y y) = 1上式对y求导数，得Y的概率密度为XF (lny)(lny)= 1f(lny)=1 , 1 y 0时，FY（y）= P(Y y) =- yP(-2 ln X y)- y= P( X e2 ) = 1- P( X 0YYX 0,y 0222018/10/120 作业习题二(P70)：13,14,17(1),22,23(写出联合概率密度)，24，272018/10/121 思考题令F ( x,y) =1,0,x + y x + y -1,-1.请判断F ( x, y) 是否为某个二维随机向量的分布函数.不是, 虽然F( x,y

11、) 满足性质(1) - (4),但不满足性质(5),因为F (1,1) -F (1,-1) -F (-1,1) +F (-1,-1)= 1 - 1 - 1 + 0 = -1 k.k = 1,2,求X1和X2的联合分布列.解 ( X1, X2 )的联合分布列共有如下4种情况P( X1= 0, X2= 0) =P(Y 1,Y 2) =P(Y 1)= 1 - e-1 = 0.63212,2018/10/125 P( X1= 0, X2= 1) =P(Y 1,Y 2) = 0,P( X1= 1, X2= 0) =P(Y 1,Y 2) =P(1 Y 2)= e-1- e-2= 0.23254,P( X1

12、= 1, X2= 1) =P(Y 1,Y 2) =P(Y 2)= 1 -P(Y 2) =e-2= 0.13534.2018/10/126 所以( X1, X2 )的联合分布列为XX20100.6321210.0000010.232540.135342018/10/127 3. 设随机A,B满足P( A) =1 , P(B4A) =P( AB) = 1 .2令X =1， 0，若A发生, 若A不发生.1，Y = 0，若B发生, 若B不发生.求(X,Y)的分布列.解P( A) =1 , P(B4A) =P( AB) = 1 ,P( A)2，又所以P( AB) = 18P( A B) =P( AB)

13、= 1 ,P(B)22018/10/128 所以P(B) =1. .从而4P( X= 0,Y= 0) =P( AB )= 1 - P( A U B)= 1 -P( A) -P(B) +P( AB)= 1 - 1 - 1 + 1 = 5 .4488P( XP( XP( X= 0,Y= 1,Y= 1,Y= 1) = 0) = 1) =P( AB) =P( AB ) =P( AB) =P(B) -P( A) -1 .8P( AB) =P( AB) =1 - 1 = 1 .4881 - 1 = 1 .488所以(X,Y)的联合分布列为2018/10/129 所以(X,Y)的联合分布列为X Y01051

14、88111882018/10/130 4.在长为a的线段的中点的两边随机地各取一点，求两点间的距离小于a/3的概率.解 记X为线段中点左边所取点到端点0的距离，Y为线段中点右边所取点到端点0的距离，则X U(0,a / 2),Y U(a / 2,a),且X与Y相互独立，它们的联合密度函数为OXaYaxp( x,4y) = a2 ,0 x a , a 222y a,0,其他.2018/10/131 而p( x,y)的非零区域与 x - y a / 3的交集为图2.2的阴影部分，因此，所求概率为P(Y - X a )3yy - x = aa=a2dx6= 2 .9a + x43dyaa22a3a2

15、a3Oaax62图2-22018/10/132 5. 设随量(X,Y)的概率密度为p( x,y) =k(6 - x -y),0 x 2,2 y 4,0,其它.求：(1)常数k；(2)P X 1,Y 3;(3) P X+ Y +4(见图2.3).解(1)-p( x,y)dxdy42= 2 dy0k(6 - x -y)dx= k 2 (10 -2 y)dy= 8k,4故 k=1/8.2018/10/133 (2) P X 1,Y 0, y 0,(1) 确定常数k;0,其他.(2) 求( X ,Y )落在区域D的概率其中D= ( x,y);0 x 1,0 y 2.解 (1)由联合密度的性质知+-p( x,y)dxdy = 12018/10/135 +而p( x,y)dxdy =+ + ke-(3 x+4