4-1向量的内积 欧氏空间.ppt

1、1,第一节 向量的内积 vector inner product 欧氏空间 Euclid space,第四章 欧氏空间,几何向量的内积,n维向量的内积 欧氏空间,2,一、R3中向量的内积,1、几何向量内积的几何定义式,定义4.1,3,2、几何向量内积的坐标表示式,由余弦定理：,即,所以,即,上式称为几何向量内积的坐标表达式。,4,上式称为几何向量内积的坐标表达式。,5,把三维向量的内积的坐标表达式推广到n维向量 ，进而定义n维向量的长度和交角概念。,1、n维向量内积的概念vector inner product,定义4.2 设=(a1, a2, an)T，=(b1, b2, bn)TRn ,记

2、 ,称为向量与的内积，或数量积.内积也可记作 .,二、n维 向量的内积 欧氏空间,6,注 由矩阵乘法的定义，显然有 =T= T,内积的运算律（其中， R n，k，l R）： （1） = ； （2） = k ； （3） = + ； 或者 = = + （4） ，且 =0 = ；,7,2、n维向量的长度,定义 设 R n，令,称|为向量的长度,称长度为1的向量为单位向量.,|= = ,8,根据许瓦兹不等式，对任何非零向量，总有,定理4.1 许瓦兹 不等式,向量的内积满足 2 ， 即 |.,9,定理4.1 许瓦兹 不等式,向量的内积满足 2 ， 即 |.,证 当 = 时，显然成立.,当 时，对任意实数

3、k，恒有 0,即 k2 + 2k + 0.,左边是k的二次三项式,由于它非负,所以判别式 42 4 0,即 2 . 证毕,10,根据许瓦兹不等式，对任何非零向量，总有,定理4.1 许瓦兹 不等式,向量的内积满足 2 ， 即 |.,11,3、向量的夹角,定义3 当 ， 时，,称为n维向量与的夹角，记为().,说明 当=0时，称向量与正交（垂直），记为.,显然，零向量与任意向量正交。,12,第三章大作业 一 填空题,3、,13,4、欧氏空间,定义了内积的向量空间V称为欧几里德（Euclid）空间,简称欧氏空间，仍记作V .,注：1 、定义了内积的n维向量空间R n是一个欧氏空间,14,15,三、本

4、节课小结,几何向量的内积,n维向量的内积 欧氏空间,16,1、n维向量内积的概念vector inner product,定义4.2 设=(a1, a2, an)T，=(b1, b2, bn)TRn ,记 ,称为向量与的内积，或数量积.内积也可记作 .,2、n维向量的长度,定义 设 R n，令,称|为向量的长度,称长度为1的向量为单位向量.,|= = ,17,3、向量的夹角,定义3 当 ， 时，,称为n维向量与的夹角，记为().,18,第一节 向量及其线性运算,几何向量的基本概念,第三章 向量与向量空间,几何向量的线性运算,19,在数学中向量用有向线段来表示。在几何空间中引入坐标系后，有向线段

5、即向量可用三元有序数组来表示，这样几何问题可转化为代数问题来研究。,在自然界中，常会遇到这样一类量，它们既有大小又有方向。 例如：力、力矩、速度等，这类量称为向量。,20,一、几何向量(geometrical vector)的基本概念,向量：,既有大小又有方向的量.,向量表示：,或,以M1为起点， M2为终点的有向线段。,向量的大小.,向量的模：,或,模长为1的向量.,单位向量：,或,21,自由向量：,相等向量：,大小相等且方向相同的向量.,不考虑起点位置的向量.,22,二、几何向量的线性运算,1、向量的加减法,1 加法：,（平行四边形法则）,(三角形法则）,2 减法,23,2、向量与数的乘法

6、,向量的加法运算与向量的数乘运算统称为向量的线性运算。,向量 与实数的乘积记作 ，规定 是一个向量:,24,第二节 空间直角坐标系,空间直角坐标系,第三章 向量与向量空间,几何向量的坐标表示,用坐标进行向量的线性运算,25,一、空间直角坐标系space rectangular coordinate system,【定义3.4】 在空间中取定一点O及三个两两垂直的单位向量 则称,为空间的一个直角坐标系.点O称为坐标原点。,横轴,纵轴,竖轴,26,横轴,纵轴,竖轴,叫做基本向量，也称为自然基， 它们所在的直线分别叫做x轴（横轴）、y轴（纵轴） 和z轴（竖轴）.这三个坐标轴中的每两个都 决定一个平面，分别记作xOy，yOz，zOx，统称为坐标平面.,27,二、几何向量的坐标表示,1、几何向量的坐标表示,28,在坐标系 O