高考数学二轮复习专题二函数与导数第4讲导数的热点问题课件文.pptx

1、第4讲导数的热点问题,专题二函数与导数,热点分类突破,真题押题精练,热点一利用导数证明不等式 用导数证明不等式是导数的应用之一，可以间接考查用导数判定函数的单调性或求函数的最值，以及构造函数解题的能力.,例1(2017届云南省昆明市第一中学月考)设函数f(x)ax2 ln x，曲 线yf(x)在x2处与直线2x3y0垂直. (1)求函数f(x)的单调区间；,解答,解函数f(x)的定义域为(0，)，,由f(x)0，得x1，由f(x)0，得0x1. 所以函数f(x)的单调递增区间为(1，)，单调递减区间为(0,1).,证明,思维升华,令h(x)ex1x，则h(x)ex11， 当x1时，h(x)0，

2、所以h(x)在(1，)上为增函数，,所以g(x)0， 所以g(x)在(1，) 上为增函数，,思维升华用导数证明不等式的方法 (1)利用单调性：若f(x)在a，b上是增函数，则xa，b，则f(a)f(x)f(b)；对x1，x2a，b，且x1x2，则f(x1)f(x2).对于减函数有类似结论. (2)利用最值：若f(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m)，则对xD，有f(x)M(或f(x)m). (3)证明f(x)g(x)，可构造函数F(x)f(x)g(x)，证明F(x)0.,解答,当00；当x1时，f(x)0. 所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减. 所以f(x)在x1处

3、取得极大值.,解答,因为x1，所以h(x)0， 则h(x)在1，)上单调递增. 所以h(x)的最小值为h(1)10， 从而g(x)0，故g(x)在1，)上单调递增，,所以g(x)的最小值为g(1)2， 所以k3k2，即(k1)(k2k2)0， 解得k1. 故k的取值范围为(，1.,热点二利用导数讨论方程根的个数 方程的根、函数的零点、函数图象与x轴的交点的横坐标是三个等价的概念，解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值，画出函数图象的走势，通过数形结合思想直观求解.,例2(2017届汕头期末)设函数f(x) x2(a1)xaln x，a0. (1)求函数f(x)的单调区间；,解答,解函数f

4、(x)的定义域为(0，).,当00，得01， 所以函数f(x)的单调增区间为(0，a)和(1，)， 单调减区间为(a,1) ；,所以函数f(x)的单调增区间为(0，)，无减区间； 当a1时，令f(x)0，得0a， 所以函数f(x)的单调增区间为(0,1)和(a，)， 单调减区间为(1，a).,(2)讨论函数f(x)的零点个数.,解答,思维升华,解由(1)可知，当0a1时， 函数f(x)的单调增区间为(0，a)和(1，)， 单调减区间为(a,1)，,因为f(2a2)aln(2a2)0, 所以函数f(x)有唯一零点； 当a1时，函数f(x)在(0，)上单调递增，,所以函数f(x)有唯一零点； 当a

5、1时，函数f(x)的单调递增区间是(0,1)和(a，)，单调递减区间是(1，a)，,f(2a2)aln(2a2)0, 综上，函数f(x)有唯一零点.,思维升华(1)函数yf(x)k的零点问题，可转化为函数yf(x)和直线yk的交点问题. (2)研究函数yf(x)的值域，不仅要看最值，而且要观察随x值的变化y值的变化趋势.,解答,解f(x)ax2(a1)x1,当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,解答,(2)当a1时，判断函数f(x)在区间0,2上零点的个数.,当a0时，f(x)在0,1上单调递增，在1,2上单调递减.,所以f(x)在0,2上有两个零点；,f(x)在0,1上单调递增，

6、在1,2上单调递减，,所以f(x)在0,2上有两个零点；,所以f(x)在0,1上有且仅有一个零点，在1,2上没有零点， 所以f(x)在0,2上有且仅有一个零点； 当a1时，f(x)0恒成立，f(x)在0,2上单调递增，,所以f(x)在0,2上有且仅有一个零点，,热点三利用导数解决生活中的优化问题 生活中的实际问题受某些主要变量的制约，解决生活中的优化问题就是把制约问题的主要变量找出来，建立目标问题即关于这个变量的函数，然后通过研究这个函数的性质，从而找到变量在什么情况下可以达到目标最优.,例3在一张足够大的纸板上截取一个面积为3 600平方厘米的矩形纸板ABCD，然后在矩形纸板的四个角上切去边

7、长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒(如图).设小正方形边长为x厘米，矩形纸板的两边AB，BC的长分别为a厘米和b厘米，其中ab.,(1)当a90时，求纸盒侧面积的最大值；,解答,解因为矩形纸板ABCD的面积为3 600平方厘米， 故当a90时，b40， 从而包装盒子的侧面积 S2x(902x)2x(402x) 8x2260 x，x(0,20).,(2)试确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值.,解答,思维升华,x(3 600240 x4x2) 4x3240 x23 600 x. 当且仅当ab60时等号成立. 设f(x)4x3240 x23 600 x

8、，x(0,30). 则f(x)12(x10)(x30). 所以当0 x10时，f(x)0，f(x)在(0,10)上单调递增；,解包装盒子的体积V(a2x)(b2x)x,当10 x30时，f(x)0，f(x)在(10,30)上单调递减. 因此当x10时，f(x)有最大值f(10)16 000， 此时ab60，x10. 所以当ab60，x10时纸盒的体积最大，最大值为16 000立方厘米.,思维升华利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)建模：分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x). (2)求导：求函数的导数f(x)，解方程f(x)

9、0. (3)求最值：比较函数在区间端点和使f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值. (4)作答：回归实际问题作答.,跟踪演练3图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面(阴影部分)示意图，其中四边形ABCD是矩形，弧CmD是半圆，凹槽的横截面的周长为4.若凹槽的强度T等于横截面的面积S与边AB的乘积，设AB2x，BCy.,解答,(1)写出y关于x的函数表达式，并指出x的取值范围；,解易知半圆CmD的半径为x， 故半圆CmD的弧长为x. 所以42x2yx，,解答,(2)求当x取何值时，凹槽的强度最大.,解依题意，设凹槽的强度为T，横截面的面积为S，则有,真题体

10、验,(2017全国)已知函数f(x)ae2x(a2)exx. (1)讨论f(x)的单调性；,解f(x)的定义域为(，)， f(x)2ae2x(a2)ex1(aex1)(2ex1). (i)若a0，则f(x)0，则由f(x)0，得xln a. 当x(，ln a)时，f(x)0. 所以f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增.,解答,(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.,解答,解(i)若a0，由(1)知，f(x)至多有一个零点.,当a1时，由于f(ln a)0，故f(x)只有一个零点；,即f(ln a)0，故f(x)没有零点；,又f(2)ae4(a2)e222e220

11、，,故f(x)在(，ln a)上有一个零点.,因此f(x)在(ln a，)有一个零点.,综上，a的取值范围为(0,1).,押题预测,解答,押题依据有关导数的综合应用试题多考查导数的几何意义、导数与函数的单调性、导数与不等式等基础知识和基本方法，考查分类整合思想、转化与化归思想等数学思想方法.本题的命制正是根据这个要求进行的，全面考查了考生综合求解问题的能力.,押题依据,已知函数f(x)2xln xx22axa2，记g(x)为f(x)的导函数. (1)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线xy30，求a的值；,解由已知，可得函数f(x)的定义域为(0，)， g(x)2(x1ln xa)，所以yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率kg(1)2a. 又切线垂直于直线xy30，所以k1，,解答,(2)讨论g(x)0的解的个数；,解由(1)可得g(x)2(x1