轮)广西专版课件125导数的应用(第2课时).ppt

1、第十二章 极限与导数,导数的应用,第 讲,5,（第二课时）,题型4 利用导数求函数的极值和最值,1. 求函数 的极值. 解：,令f (x)=0，则x=-1或x=2. 所以当x-1时，f (x)0; 当-1x1时，f (x)0; 当x1且x2时，f (x)0. 因为x=1时函数无意义，根据极值点的特 点知x=-1是f(x)的极大值点， 即f(x)极大值=f(-1)=-34， 且f(x)无极小值.,点评：利用导数求函数的极值的步骤是：求导函数；解方程f (x)=0；判断f (x)在f (x)=0的根x0左右的符号，若左负右正，则此点为极小值点；若左正右负，则此点为极大值点；若左右同号，则非极值点.

2、若是求函数在闭区间上的最值，则先求极值，然后与两端点值进行比较可得最值.,题型5 利用导数转化极值与最值条件,2. 设a为实常数，已知函数f(x)=(x2+ax+a)e-x 有极小值0，求a的值. 解：f (x)=(2x+a)e-x+(x2+ax+a)(-e-x) =-e-xx2+(a-2)x. 令f (x)=0，则x2+(a-2)x=0， 所以x=0或x=2-a. (1)当a=2时，f (x)=-e-xx20， 所以f(x)无极值.,(2)当a2时，在(-，0)上，f (x)0; 在(0，2-a)上，f (x)0; 在(2-a，+)上，f (x)0. 所以f(x)极小值=f(0)=a.由已知

3、，a=0. (3)当a2时，在(-，2-a)上，f (x)0; 在(2-a，0)上，f (x)0; 在(0，+)上，f (x)0. 所以f(x)极小值=f(2-a).由已知，f(2-a)=0. 所以(2-a)2+a(2-a)+a=0，解得a=4. 综上分析，a=0或a=4.,点评：函数有极值的必要条件是：f (x)=0，由此可转化得到相应的等式或方程，再进一步转化为所需要的条件.需要注意的是在此条件下得到的结论要检验一下是否为极值.,已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x)在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0.若x= 时，y=f(x)有极值. (1)求a,b,c的值； (

4、2)求y=f(x)在-3，1上的最大值和最小值. 解：(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c, 得f (x)=3x2+2ax+b. 当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0; 当x= 时，y=f(x)有极值，则f ( )=0, 即4a+3b+4=0.,由解得a=2,b=-4. 由于切点的横坐标为x=1,所以f(1)=31+1=4. 所以1+a+b+c=4,所以c=5. (2)由(1)可得f(x)=x3+2x2-4x+5, 所以f (x)=3x2+4x-4. 令f (x)=0,得x=-2,x= . 当x变化时，y,y的变化情况如下表：,所以y=f(x)在-3，1上的最大值为13，最小值为

5、 .,1. 函数的极值是一个局部性概念，它反映出函数在某个局部的最大值和最小值情况.一个函数在其定义域内可以有多个极大值和极小值，且极大值与极小值之间没有必然的大小关系，即某个极大值可能小于另一个极小值. 2. 若函数f(x)在区间a，b内连续，且有有限个极值点，则f(x)在这个区间内的极大值点与极小值点是交替出现的(如正弦曲线).,3. 可导函数在极值点的导数一定为0，但导数为0的点(称为驻点)不一定是极值点(例如，函数f(x)=x3在x=0处的导数是0，但它不是极值点)，不可导的点可能是极值点(例如，函数f(x)=|x|在x=0处不可导，但它是极小值点)，因此，函数的极值点只能在导数为0的

6、点和不可导的点中产生.,4. 函数的最值是一个整体性概念，它反映函数在整个区域(或定义域)内的最大值和最小值情况，函数f(x)有极值未必有最值，反之亦然.极值与最值是两个不同的概念. 5. 若f(x)在闭区间a，b上连续且单调，则f(x)的最大值和最小值分别在区间的两个端点处取得；若连续函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则该点也是一个最值点.,6. 求可导函数在定义域内的极值的一般步骤是： (1)求f (x)，令f (x)=0，求此方程在定义域内的所有实根. (2)检查f (x)在方程f (x)=0的根左右取值的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.,7. 求可导函数在闭区间上的最值